九年级数学下册 第3章圆 3.1圆 3.1.2圆周角课件 湘教版

3.1.2圆周角1.理解圆周角的概念，掌握圆周角的性质.(重点)2.能运用圆周角的性质及相关的结论解决问题.(重点、难点)1.圆周角：顶点在___上，并且两边都与圆_____的角.2.圆周角定理：如图，∠BOC与∠BAC分别是所对的圆心角和圆周角，圆心O在圆周角∠BAC的一边上.因为OA=OC,所以∠A=∠C,因为∠BOC=∠A+∠C,所以∠BOC=2∠A,所以∠BAC=∠BOC.圆相交BC12【思考】(1)当圆心O在∠BAC的内部时,∠BAC与∠BOC的上述关系是否成立?为什么?提示:成立.理由如下:如图,作直径AD,由图形可知:∠BAD=∠BOD.同理:∠CAD=∠COD,∴∠BAD+∠CAD=∠BOD+∠COD,即∠BAC=∠BOC.1212121212(2)当圆心O在∠BAC的外部时,∠BAC与∠BOC的上述关系是否成立?为什么?提示:成立.理由如下:如图,作直径AD,由图形可知:∠BAD=∠BOD,同理:∠CAD=∠COD,∴∠CAD-∠BAD=∠COD-∠BOD,∴∠BAC=∠BOC.1212121212【总结】1.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的_____.2.在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角_____;反之,_____的圆周角所对的弧相等.3.直径(或半圆)所对的圆周角是_____;反之,_____的圆周角所对的弦是直径.一半相等相等直角90°(1)顶点在圆上的角叫做圆周角.()(2)一条弧所对的圆心角是圆周角的一半.()(3)在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弦也相等.()(4)圆周角相等,则圆周角所对的弧相等.()×××√知识点1圆周角及圆周角定理【例1】(2013·湛江中考)如图，AB是⊙O的直径，∠AOC=110°，则∠D的度数为()A.25°B.35°C.55°D.70°【思路点拨】找出∠D所对弧，然后确定弧所对的圆心角∠BOC，结合条件∠AOC=110°，可知∠D所对的弧所对的圆心角∠BOC的度数，进而确定∠D的度数.【自主解答】选B.∵∠AOC=110°,∴∠BOC=180°－∠AOC=70°,∵∠BOC和∠D所对的弧是∴∠BDC=∠BOC=35°.BC,12【总结提升】圆周角与圆心角的区别与联系知识点2圆周角定理结论的应用【例2】(2013·黔西南州中考)如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1=∠C.(1)求证：CB∥PD.(2)若BC=3，sinP=求⊙O的直径.3,5【解题探究】1.∠1与∠D各是什么角？有什么关系？∠D与∠C相等吗？为什么？提示：∠1和∠D都是圆周角，它们都是所对的角，所以∠1=∠D，由条件知∠1=∠C，等量代换得∠C=∠D.2.由1知：∠C=∠D，所以_______.PCCB∥PD3.连结AC,如图，∠P与∠CAB有什么关系？提示：∵直径AB⊥弦CD，∴AB平分，∴∠P=∠CAB.CBDBCBD，4.在△ACB中，AB为直径，∴∠ACB=_____，∵sinP=,∴sin∠CAB=___,∵BC=3,∴=sin∠CAB,∴AB=5.90°35353AB【互动探究】问题中的相等吗？为什么？提示：∵直径AB⊥CD，PCBC与BCBD，CD,BDPC,BCPC.【总结提升】同一圆中证明两角相等、两弧相等的两种方法1.证明两角相等.(1)同弧或者等弧所对的圆心角相等；(2)同弧或者等弧所对的圆周角相等(在同圆或者等圆中，同弧或者等弧所对的圆周角都等于这条弧所对圆心角的一半).2.证明两弧相等.(1)垂径定理及其推论中弧、弦、圆心角三者之间的关系；(2)在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.即由弧找角、由角找弧是证明弧相等或者角相等常用的思维方法.题组一：圆周角及圆周角定理1.如图，点A，B，C，D是⊙O上的点，AC与BD相交于点E，则图中圆周角的个数为()A.3B.4C.8D.9【解析】选C.以点D为顶点的圆周角为∠ADB,∠BDC和∠ADC;以点C为顶点的圆周角为∠ACD,∠ACB和∠DCB,以点A为顶点的圆周角是∠A;以点B为顶点的圆周角是∠B,共8个.2.(2013·滨州中考)如图,在☉O中,圆心角∠BOC=78°,则圆周角∠BAC的大小为()A.156°B.78°C.39°D.12°【解析】选C.根据在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半,所以∠BAC=∠BOC=39°.123.(2013·娄底中考)如图,将直角三角板60°角的顶点放在圆心O上,斜边和一直角边分别与☉O相交于A,B两点,P是优弧AB上任意一点(与A,B不重合),则∠APB=.【解析】因为∠APB与∠AOB所对的弧都是，根据圆周角定理知：∠APB=∠AOB，因为∠AOB=60°，所以∠APB=30°.答案：30°AB124.AB，AC为⊙O中的两条弦，延长CA到点D,使AD=AB，若∠ADB=35°，求∠BOC的度数.【解析】在△ABD中，AB=AD，则∠ABD=∠D=35°，∴∠BAC=2∠D=70°，∴∠BOC=2∠BAC=140°．题组二：圆周角定理结论的应用1.如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的对角线把四个内角分成八个角，其中一定相等的角有()A.2对B.4对C.6对D.8对【解析】选B.由圆周角定理知:∠ADB=∠ACB,∠CBD=∠CAD,∠BDC=∠BAC,∠ABD=∠ACD,共有4对相等的角.2.(2013·苏州中考)如图,AB是半圆的直径,点D是弧AC的中点,∠ABC=50°,则∠DAB等于()A.55°B.60°C.65°D.70°【解析】选C.如图,连结BD,点D是弧AC的中点,所以∠CBD=∠DBA=25°.又因为AB是直径,所以∠ADB=90°,所以∠DAB=90°-25°=65°.3.(2013·益阳中考)如图,若AB是☉O的直径,AB=10cm,∠CAB=30°,则BC=cm.【解析】因为AB是☉O的直径,AB=10cm,∠CAB=30°,所以在直角三角形ABC中,BC=AB=×10=5(cm).答案:512124.如图,AB是☉O的直径,若AB=4cm,∠D=30°,求∠B的度数及AC的长.【解析】∵∠D和∠B是所对的圆周角，∴∠B=∠D=30°.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°.在Rt△ACB中，sinB=∴AC=AB×sinB=4×sin30°=2(cm).ACAC,AB【想一想错在哪？】在半径为R的圆中，有一条弦分圆周为1∶2两部分，则弦所对的圆周角为______.提示：弦所对的圆周角有两种，忽略了优弧所对的圆周角.