二次函数的知识点归纳总结

精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜二次函数的知识点归纳总结篇一：二次函数知识点概括总结二次函数知识点总结及相关典型题目第一部分二次函数基础知识?相关概念及定义b，c是常数，a?0）的函数，叫做二次函数。这?二次函数的概念：一般地，形如y?ax2?bx?c（a，c可以为零．二次函数的定义域是全体实里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a?0，而b，数．?二次函数y?ax2?bx?c的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．⑵a，?二次函数各种形式之间的变换?二次函数y?ax2?bx?c用配方法可化成：y?a?x?h??k的形式，其中2b4ac?b2h??，k?.精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜2a4a?二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y?ax2；②y?ax2?k；③y?a?x?h?；④2y?a?x?h??k；⑤y?ax2?bx?c.2?二次函数解析式的表示方法?一般式：y?ax2?bx?c（a，b，c为常数，a?0）；?顶点式：y?a(x?h)2?k（a，h，k为常数，a?0）；?两根式：y?a(x?x1)(x?x2)（a?0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.?注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2?4ac?0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.?抛物线y?ax2?bx?c的三要素：开口方向、对称轴、顶点.?a的符号决定抛物线的开口方向：当a?0时，开口向上；当a?0时，开口向下；b.特别地，y轴记作直线x?0.2a精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜a相等，抛物线的开口大小、形状相同.?对称轴：平行于y轴（或重合）的直线记作x??b4ac?b2（?）?顶点坐标坐标：2a4a?顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.?抛物线y?ax2?bx?c中，a,b,c与函数图像的关系?二次项系数a二次函数y?ax2?bx?c中，a作为二次项系数，显然a?0．⑴当a?0时，抛物线开口向上，a越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；⑵当a?0时，抛物线开口向下，a越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小．?一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．⑴在a?0的前提下，b当b?0时，??0，即抛物线的对称轴在y轴左侧；2ab当b?0时，??0，即抛物线的对称轴就是y轴；精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜2ab?0，即抛物线对称轴在y轴的右侧．2a⑵在a?0的前提下，结论刚好与上述相反，即b当b?0时，??0，即抛物线的对称轴在y轴右侧；2ab当b?0时，??0，即抛物线的对称轴就是y轴；2ab当b?0时，??0，即抛物线对称轴在y轴的左侧．2a总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．总结：?常数项c⑴当c?0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵当c?0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶当c?0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．总之，只要a，?求抛物线的顶点、对称轴的方法精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜当b?0时，?b4ac?b2b?4ac?b2?（?）?公式法：y?ax?bx?c?a?x?，∴顶点是，对称轴是直线??2a4a2a?4a?bx??.2a2?配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y?a?x?h??k的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线x?h.22?运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.?用待定系数法求二次函数的解析式?一般式：y?ax?bx?c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.?顶点式：y?a?x?h??k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.22精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜?交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：y?a?x?x1??x?x2?.?直线与抛物线的交点?y轴与抛物线y?ax2?bx?c得交点为(0,c).222?与y轴平行的直线x?h与抛物线y?ax?bx?c有且只有一个交点(h,ah?bh?c).?抛物线与x轴的交点:二次函数y?ax?bx?c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程ax?bx?c?0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点???0?抛物线与x轴相交；②有一个交点（顶点在x轴上）???0?抛物线与x轴相切；③没有交点???0?抛物线与x轴相离.?平行于x轴的直线与抛物线的交点可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax?bx?c?k的两个实数根.2一次函数y?kx?n?k?0?的图像l与二次函数y?ax?bx?c?a?0?的图像G的交点，精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜22?由方程组??y?kx?n?y?ax?bx?c2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时?l与G有两个交点;②方程组只有一组解时?l与G只有一个交点；③方程组无解时?l与G没有交点.?抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y?ax2?bx?c与x轴两交点为A?x1，0?，B?x2，0?，由于x1、x2是方程ax2?bx?c?0的两个根，故bcx1?x2??,x1?x2?aaAB?x1?x2?x1?x22?x1?x22b2?4ac??b?4c?4x1x2???????aaaa??精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜2?二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达?关于x轴对称y?a2x?bx?关于cx轴对称后，得到的解析式是y??ax2?bx?c；y?a?x?h??k关于x轴对称后，得到的解析式是y??a?x?h??k；?关于y轴对称y?a2x?bx?关于cy轴对称后，得到的解析式是y?ax2?bx?c；22y?a?x?h??k关于y轴对称后，得到的解析式是y?a?x?h??k；?关于原点对称y?a2x?bx?关于原点对称后，得到的解析式是cy??ax2?bx?c；y?a?x??h?关于原点对称后，得到的解析式是ky??a?x?h??k；?关于顶点对称2222b2y?ax?bx?关于顶点对称后，得到的解析式是cy??ax?bx?c?；2a22y?a?x?h??k关于顶点对称后，得到的解析式是y??a?x?h??k．2精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜2?关于点?m，n?对称n?对称后，得到的解析式是y??a?x?h?2m??2n?ky?a?x?h??k关于点?m，22?总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．?二次函数图象的平移?平移规律在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．?根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。?三点式。1，已知抛物线y=ax+bx+c经过A（，0），B（2，0），C（0，-3）三点，求抛物线的解析式。２精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜2，已知抛物线y=a(x-1)+4，经过点A（2，3），求抛物线的解析式。?顶点式。221，已知抛物线y=x-2ax+a+b顶点为A（2，1），求抛物线的解析式。22，已知抛物线y=4(x+a)-2a的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。?交点式。1，已知抛物线与x轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。22，已知抛物线线与x轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=?定点式。1，在直角坐标系中，不论a取何值，抛物线y??1a(x-2a)(x-b)的解析式。2125?ax?x?2a?2经过x轴上一定点Q，直线22y?(a?2)x?2经过点Q,求抛物线的解析式。2，抛物线y=x+(2m-1)x-2m与x轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。23，抛物线y=ax+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A，求抛物精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜线的解析式。?平移式。221，把抛物线y=-2x向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线y=a(x-h)+k,求此抛物线解析式。2，抛物线y??x2?x?3向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式.?距离式。21，抛物线y=ax+4ax+1(a﹥0)与x轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。22，已知抛物线y=mx+3mx-4m(m﹥0)与x轴交于A、B两点，与轴交于C点，且AB=BC,求此抛物线的解析式。?对称轴式。221、抛物线y=x-2x+(m-4m+4)与x轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y轴距离的2倍，求抛物线的解析式。2、已知抛物线y=-x+ax+4,交x轴于A,B（点A在点B左边）两点，交y轴于点C,且OB-OA=223OC，求此抛物4精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜线的解析式。?对称式。1，平行四边形ABCD对角线AC在x轴上，且A（-10，0），AC=16，D（2，6）。AD交y轴于E，将三角形ABC沿x轴折叠，点B到B1的位置，求经过A,B,E三点的抛物线的解析式。22，求与抛物线y=x+4x+3关于y轴（或x轴）对称的抛物线的解析式。?切点式。221，已知直线y=ax-a(a≠0)与抛物线y=mx有唯一公共点，求抛物线的解析式。22，直线y=x+a与抛物线y=ax+k的唯一公共点A（2，1）,求抛物线的解析式。?判别式式。221、已知关于X的一元二次方程（m+1）x+2(m+1)x+2=0有两个相等的实数根，求抛物线y=-x+(m+1)x+3解析式。22、已知抛物线y=(a+2)x-(a+1)x+2a的顶点在x轴上,求抛物线的解析式。23、已知抛物线y=(m+1)x+(m+2)x+1与x轴有唯一公共点，求精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜抛物线的解析式。知识点一、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：口诀-----一般两根三顶点（1）一般一般式：y?ax?bx?c(a,b,c是常数，a?0)2（2）两根当抛物线y?ax2?bx?c与x轴有交点时，即对应二次好方程ax?bx?c?0有实根x1和2x2存在时，根据二次三项式的分解因式ax2?bx?c?a(x?x1)(x?x2)，二次函数y?ax2?bx?c可转化为两根式y?a(x?x1)(x?x2)。如果没有交点，则不能这样表示。a的绝对值越大，抛物线的开口越小,a的绝对值越大，抛物线的开口越小.（3）三顶点顶点式：y?a(x?h)?k(a,h,k是常数，a?0)2知识点二、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x??b时，2ay最值4a