九年级数学上册 第21章 一元二次方程 21.2 解一元一次方程 21.2.1 配方法（第2课时 配

21.2.1配方法第二十一章一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时配方法学习目标1.了解配方的概念.2.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.(重点）3.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.（难点）导入新课复习引入(1)9x2=1；(2)(x-2)2=2.2.下列方程能用直接开平方法来解吗?1.用直接开平方法解下列方程:(1)x2+6x+9=5；(2)x2+6x+4=0.把两题转化成(x+n)2=p(p≥0)的形式，再利用开平方讲授新课配方的方法一问题1.你还记得吗？填一填下列完全平方公式.(1)a2+2ab+b2=()2；(2)a2-2ab+b2=()2.a+ba-b探究交流问题2.填上适当的数或式,使下列各等式成立.（1）x2+4x+=(x+)2（2）x2-6x+=(x-)2（3）x2+8x+=(x+)2（4）43x2-x+=(x-)2你发现了什么规律？22232342422()323二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方.归纳总结想一想：x2+px+()2=(x+)22p2p配方的方法用配方法解方程二合作探究怎样解方程:x2+6x+4=0(1)问题1方程(1)怎样变成（x+n)2=p的形式呢？解：x2+6x+4=0x2+6x=-4移项x2+6x+9=-4+9两边都加上9二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方.方法归纳在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是在二次项系数为1的前提下进行的.问题2为什么在方程x2+6x=-4的两边加上9？加其他数行吗？不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能变成完成平方x2+2bx+b2的形式.方程配方的方法：要点归纳像上面这样通过配成完全平方式来解一元二次方程，叫做配方法.配方法的定义配方法解方程的基本思路把方程化为（x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解．45,x１例1解下列方程：21810xx　；12415,415.xx解：（1）移项，得x2－8x=－1,配方，得x2－8x+42=－1+42,(x－4)2=15由此可得即配方，得2223313,2424xx231,416x31,44x由此可得2111,.2xx二次项系数化为1，得231,22xx22213xx　　；解：移项，得2x2－3x=－1,即移项和二次项系数化为1这两个步骤能不能交换一下呢?配方，得2224211,3xx211.3x因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根．解：移项，得2364,xx二次项系数化为1，得242,3xx233640.xx　　为什么方程两边都加12？即思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要注意些什么？思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤.移项时需注意改变符号.①移项，二次项系数化为1；②左边配成完全平方式；③左边写成完全平方形式；④降次；⑤解一次方程.一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x+n)2=p.①当p0时,则,方程的两个根为②当p=0时,则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两个根为x1=x2=-n.③当p0时,则方程(x+n)2=p无实数根.xnp12,xnpxnp规律总结例2.试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5的值必定大于零.解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1=（k－2）2＋1因为（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1.所以k2－4k＋5的值必定大于零.配方法的应用二例3.若a,b,c为△ABC的三边长，且试判断△ABC的形状.解：对原式配方，得由代数式的性质可知,054322cba,05,04,0322cba,543cba，，所以，△ABC为直角三角形.,02558622cbbaa,543222222cba1.方程2x2-3m-x+m2+2=0有一根为x=0，则m的值为（）A.1B.1C.1或2D.1或-22.应用配方法求最值.(1)2x2-4x+5的最小值；(2)-3x2+5x+1的最大值.练一练C解：原式=2(x-1)2+3当x=1时有最小值3解：原式=-3(x-2)2-4当x=2时有最大值-4归纳总结配方法的应用类别解题策略1.求最值或证明代数式的值为恒正（或负）对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2＋n的形式后，(x+m)2≥0，n为常数，当a＞0时，可知其最小值；当a＜0时，可知其最大值.2.完全平方式中的配方如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4.3.利用配方构成非负数和的形式对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0,则a2＋(b－2)2=0,即a=0，b=2.例4.读诗词解题：（通过列方程，算出周瑜去世时的年龄.）大江东去浪淘尽，千古风流数人物。而立之年督东吴，早逝英年两位数。十位恰小个位三，个位平方与寿符。哪位学子算得快，多少年华属周瑜？解：设个位数字为x，十位数字为(x-3)x1=6,x2=5x2-11x=-30x2-11x+5.52=-30+5.52(x-5.5)2=0.25x-5.5=0.5,或x-5.5=-0.5x2=10(x-3)+x∴这个两位数为36或25，∴周瑜去世的年龄为36岁.∵周瑜30岁还攻打过东吴，1.解下列方程：（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12；（3）4x2-6x-3=0；（4）3x2+6x-9=0.解：x2+2x+2=0，(x+1)2=-1.此方程无解；解：x2-4x-12=0，(x-2)2=16.x1=6,x2=-2；233024xx解：，2321().416x12321321,44xx；解：x2+2x-3=0，(x+1)2=4.x1=-3,x2=1.当堂练习2.利用配方法证明：不论x取何值，代数式－x2－x－1的值总是负数，并求出它的最大值.解：－x2－x－1=－(x2+x+)+－1所以－x2－x－1的值必定小于零.141421()0,2x+213(),24=x+213()0,24x+＜当时，－x2－x－1有最大值12x=3.43.若，求(xy)z的值.01326422zyyxx解：对原式配方，得023222zyx由代数式的性质可知02,03,0222zyx.2,3,2zyx.3663222zxy4.如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850m2，道路的宽应为多少？解：设道路的宽为xm,根据题意得（35-x)(26-x)=850，整理得x2-61x+60=0.解得x1=60（不合题意，舍去）,x2=1.答：道路的宽为1m.5.已知a,b,c为△ABC的三边长，且试判断△ABC的形状.,0222bcacabcba解：对原式配方，得由代数式的性质可知,021222cbcaba,0,0,0222cbcaba,cba所以，△ABC为等边三角形.课堂小结配方法定义通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法.步骤一移常数项；二配方[配上]；三写成（x+n)2=p(p≥0);四直接开平方法解方程.22二次项系数（）特别提醒：在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式.应用求代数式的最值或证明