八年级数学下册 第十八章 平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.3 正方形第2课时 正方形的

第十八章平行四边形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结18.2.3正方形第2课时正方形的判定情境引入学习目标1．掌握正方形的判定方法．（重点）2．会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算.(难点)问题：什么是正方形？正方形有哪些性质？ABCD正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形.正方形性质：①四个角都是直角;②四条边都相等;③对角线相等且互相垂直平分.O导入新课复习引入讲授新课正方形的判定活动1：准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，得到一个四边形.问题1：折叠后得到的特殊四边形是什么四边形？为什么？正方形活动2：把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.问题2：经过变化后得到特殊四边形是什么四边形？正方形正方形判定的两条途径：正方形正方形++先判定菱形先判定矩形矩形条件菱形条件(1)(2)一个直角一组邻边相等总结归纳对角线相等对角线垂直在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（）A．AC=BD，AB∥CD，AB=CDB．AD∥BC，∠A=∠CC．AO=BO=CO=DO，AC⊥BDD．AO=CO，BO=DO，AB=BC练一练CABCDO例1在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗?为什么?HGFEDABCMN证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，∵AE=BF=CM=DN，∴AN=BE=CF=DM.分析：由已知可证△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，得四边形EFMN是菱形，再证有一个角是直角即可.典例精析在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，AE=BF=CM=DN∠A=∠B=∠C=∠DAN=BE=CF=DM∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF∴四边形EFMN是菱形，∠NEF=180°-（∠AEN+∠BEF）=180°-（∠AEN+∠ANE）=180°-90°=90°.∴四边形EFMN是正方形.HGFEDABCMN证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB∴∠DEC=∠DFC=90°.又∵∠C=90°∴四边形ADFC是矩形.过点D作DG⊥AB，垂足为G∵AD是∠CAB的平分线DE⊥AC，DG⊥AB∴DE=DG同理：DG=DF∴ED=DF∴四边形ADFC是正方形.例2如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D.DE⊥AC，DF⊥AB.求证:四边形CEDF为正方形.ABCDEFG例3如图，EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且EG⊥FH.求证：四边形EFGH是正方形.证明：∵四边形ABCD为正方形,∴OB=OC,∠ABO=∠BCO=45°,∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.∵EG⊥FH,∴∠BOE+∠BOH=90°,∴∠COH=∠BOE,∴△CHO≌△BEO,∴OE=OH.同理可证：OE=OF=OG,BACBOEHGF∴OE=OF=OG=OH.又∵EG⊥FH,∴四边形EFGH为菱形.∵EO+GO=FO+HO,即EG=HF,∴四边形EFGH为正方形.BACBOEHGF做一做：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形.顺次连接矩形、正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形？ABCDABCDABCD矩形正方形任意四边形平行四边形菱形正方形EFGHEFGHEFGH当堂练习1.下列命题正确的是（）A.四个角都相等的四边形是正方形B.四条边都相等的四边形是正方形C.对角线相等的平行四边形是正方形D.对角线互相垂直的矩形是正方形2．四个内角都相等的四边形一定是（）A.正方形B.菱形C.矩形D.平行四边形DC3.以△ABC的边AB、AC为边的等边三角形ABD和等边三角形ACE，四边形ADFE是平行四边形.（1）当∠BAC等于时，四边形ADFE是矩形；（2）当∠BAC等于时，平行四边形ADFE不存在；（3）当△ABC分别满足什么条件时，ADFE是菱形、正方形？BCAEFD解:（3）AB=AC时，平行四边形ADFE时菱形；AB=AC且∠BAC=150°时，平行四边形ADFE是正方形.150°60°60°60°4.如图，在四边形ABCD中,AB=BC,对角线BD平分ABC,P是BD上一点,过点P作PMAD,PNCD,垂足分别为M、N.(1)求证：ADB=CDB;(2)若ADC=90,求证：四边形MPND是正方形.CABDPMN证明：（1）∵AB=BC,BD平分∠ABC.∴∠1=∠2.∴△ABD≌△CBD(AAS).∴∠ADB=∠CDB.12CABDPMN（2）∵∠ADC=90°;又∵PM⊥AD,PN⊥CD;∴∠PMD=∠PND=90°.∴四边形NPMD是矩形.∵∠ADB=∠CDB;∴∠ADB=∠CDB=45°.∴∠MPD=∠NPD=45°.∴DM=PM,DN=PN.∴四边形NPMD是矩形（有一组邻边相等的矩形是正方形）.课堂小结5种判定方法一个角是直角且一组邻边相等平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结