八年级数学下册 第1章 直角三角形1.1 直角三角形的性质与判定（Ⅰ）第2课时习题课件 （新版）湘教

1.1直角三角形的性质和判定(Ⅰ)第2课时1.知道含有30°角的直角三角形的性质.(重点)2.会利用直角三角形的性质解决实际问题.(难点)含有30°角的直角三角形的性质如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°.延长BC到D,使BD=AB,连接AD.∵∠ACB=90°,∠BAC=30°,∴∠B=90°-∠BAC=_____,∵BD=AB,∴△ABD是_____三角形.∵AC⊥BC,∴BC=_______.60°等边1AB2【思考】在上面的问题中,如果BC=AB,那么∠BAC=30°吗?提示:∠BAC=30°.12【总结】(1)含有30°角的直角三角形的性质:在直角三角形中,如果一个内角等于30°,那么它所对的_______等于_____的一半.(2)含有30°角的直角三角形的性质的逆运用:在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于_____.直角边斜边30°(打“√”或“×”)(1)直角三角形中,若有一锐角为30°,则它所对的直角边等于另一直角边的一半.()(2)在一个三角形中,若有一锐角为30°,则它所对的边等于最长边的一半.()(3)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,如果AB=2,那么AC=1.()(4)在直角三角形中,若最短边的长是最长边的长的一半,则最小角是30°.()×××√知识点1含有30°角的直角三角形的性质应用【例1】如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,点D在BC上,且∠BAD=15°.(1)求∠CAD的度数.(2)若AC=m,BD=n,求AD的长.【解题探究】(1)①∵AC=BC,由等边对等角可得∠CAB=____.②由∠C=90°,可得∠CAB=____=_____,∴∠CAD=_____.(2)①由AC=m,BD=n,可知CD=BC-BD=___-BD=____.②由(1)中的结果可知CD=___AD,∴AD=__CD=_______.12∠B∠B45°30°ACm-n22(m-n)【互动探究】在(2)中,如果已知AD=a,那么CD的长是多少?提示:CD=a.12【总结提升】含30°角的直角三角形性质的“两种应用”1.证明:用来证明三角形中线段的倍分问题.2.求解:知道30°角所对的直角边的长,求斜边的长,或知道斜边的长,求30°角所对的直角边的长.知识点2直角三角形性质的综合应用【例2】在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥AC于点A,(1)求∠BAD的度数.(2)证明:DC=2BD.【思路点拨】(1)根据垂直的定义可得∠DAC=90°,再由∠BAD=∠BAC-∠DAC即可得出结果.(2)先得出∠B=∠C=30°,再在直角△ADC中运用30°角所对的直角边等于斜边的一半得出DC=2AD,然后在△ABD中由等角对等边得出AD=BD,从而证明出DC=2BD.【自主解答】(1)∵AD⊥AC,∴∠DAC=90°.∵∠BAC=120°,∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=120°-90°=30°.(2)∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°.∵∠DAC=90°,∴DC=2AD.∵∠BAD=∠B=30°,∴AD=BD,∴DC=2BD.【总结提升】直角三角形性质的应用及注意事项1.性质应用:30°角的直角三角形的性质是直角三角形中含有特殊度数的角(30°或60°)的特殊定理,反映了直角三角形中边角之间的关系,主要作用是解决直角三角形中的有关计算或证明问题.2.两点注意:(1)必须在直角三角形中,非直角三角形不具备该性质.(2)只有30°的角所对的直角边等于斜边的一半,其他度数的角所对的直角边和斜边不满足该关系.题组一:含有30°角的直角三角形的性质应用1.已知△ABC≌△DEF,若∠A=60°,∠F=90°,DE=6cm,则AC=()A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm【解析】选A.∵△ABC≌△DEF,∠F=90°,DE=6cm,∴∠C=∠F=90°,AB=DE=6cm,∵∠A=60°,∴∠B=30°,∴AC=AB=3cm.122.如图,等腰△ABC中,∠BAC=120°,BC中点为D,过D作DE⊥AB于E,AE=4cm,则AD等于()A.8cmB.7cmC.6cmD.4cm【解析】选A.∵△ABC中,∠BAC=120°,BC中点为D,∴∠BAD=∠CAD=60°,∵DE⊥AB,∴∠ADE=30°,∴AD=2AE=8cm.【变式备选】在上面的问题中,AC的长是多少?【解析】∵△ABC是等腰三角形,∠BAC=120°,∴∠C=∠B=30°,∴AC=2AD=16cm.3.如图所示,△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD平分∠ABC,若AD=8,则CD=.【解析】在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,所以∠ABC=60°,因为BD平分∠ABC,所以∠ABD=∠CBD=30°,所以∠A=∠ABD,所以AD=BD=8,所以CD=BD=4.答案:4124.(2013·泰安中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB的垂直平分线DE交AC于点E,交BC的延长线于F,若∠F=30°,DE=1,则BE的长是.【解析】在Rt△FDB中,∵∠F=30°,∴∠DBF=60°,在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,∠ABC=60°,∴∠A=30°.在Rt△AED中,∵∠A=30°,DE=1,∴AE=2.∵DE垂直平分AB,∴BE=AE=2.答案:25.如图,△ABC中,D为BC边上一点,BD=DC,DA⊥AC,DA=AB.求∠BAD的大小.14【解析】延长AD至E,使DE=AD,连接BE.因为AD=DE,∠ADC=∠EDB,CD=BD,所以△ADC≌△EDB,(SAS)所以∠DAC=∠E.因为DA⊥AC,所以∠DAC=∠E=90°.因为AD=AE,AD=AB,所以AE=AB,所以在Rt△ABE中,∠ABE=30°,所以∠BAD=60°.121412题组二:直角三角形性质的综合应用1.在△ABC中,若BC=AC,则∠A的度数为()A.30°B.60°C.90°D.无法确定【解析】选D.由题意虽然知道BC=AC,而∠B的大小不确定,所以∠A无法确定.12122.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠1=120°,如果BC=1,则AB=.【解析】∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠1=120°,∴∠A=∠1-∠C=120°-90°=30°,∴AB=2BC=2×1=2.答案:23.△ABC中,∠A=30°,∠C=90°,若AB=12cm,则BC=.【解析】因为∠A=30°,∠C=90°,所以BC=AB=×12=6(cm).答案:6cm12124.如图,在等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,AD=2CD,则∠DAB的度数是.【解析】因为∠C=90°,AD=2CD,所以∠CAD=30°.又因为∠B=∠CAB==45°,所以∠DAB=∠CAB-∠CAD=45°-30°=15°.答案:15°9025.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,D是直角边AC上的点,且AD=BD=2a,∠A=15°,求BC边的长.【解析】由AD=BD可推出∠2=∠A=15°,所以∠1=∠2+∠A=15°+15°=30°.在Rt△BCD中,∠1=30°,可推出BC=BD=×2a=a.1212【想一想错在哪？】如图,AD∥BC,BD平分∠ABC,∠A=120°,∠C=60°,CD=4cm,求BC的长.提示:没说明△BDC是直角三角形,就直接利用“30°角所对的直角边是斜边的一半”解题.