八年级数学下册 第1章 直角三角形 1.2直角三角形的性质和判定(Ⅱ)第1课时教学课件 （新版）湘教

1.2直角三角形的性质和判定(Ⅱ)第1课时1.掌握勾股定理的内容.2.理解勾股定理的证明.3.应用勾股定理进行有关计算与证明.星期日老师带领初二全体学生去凌峰山风景区游玩,同学们看到山势险峻,查看景区示意图得知:凌峰山主峰高约为900米,如图:为了方便游人,此景区从主峰A处向地面B处架了一条缆车线路,已知山底端C处与地面B处相距1200米,∠ACB=90°,请问缆车路线AB长应为多少？读一读我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.图1-1称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽作出的.图1-2是在北京召开的2002年国际数学家大会（TCM－2002）的会标，其图案正是“弦图”，它标志着中国古代的数学成就.图1-1图1-2相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋友家的用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系．我们也来观察图中的地面，看看能发现些什么？数学家毕达哥拉斯的发现：A、B、C的面积有什么关系？直角三角形三边有什么关系？SA+SB=SC两直角边的平方和等于斜边的平方ABCABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）图1图2让我们一起再探究：等腰直角三角形三边关系A的面积(单位面积)B的面积(单位面积)C的面积(单位面积)图1图29918448ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）图1图21SC正方形图中1433182分“割”成若干个直角边为整数的三角形ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）图1图21SC正方形图中216218把C“补”成边长为6的正方形ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）图1图2SA+SB=SCA的面积(单位面积)B的面积(单位面积)C的面积(单位面积)图19918图2A、B、C面积关系直角三角形三边关系448两直角边的平方和等于斜边的平方ABC图1ABC图21.观察右边两个图并填写下表：A的面积B的面积C的面积图1图2169254913你是怎样得到表中的结果的？与同伴交流交流．做一做ABC图1ABC图22．如图,三个正方形A，B，C面积之间有什么关系？SA+SB=SC即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积．议一议ABCacbSA+SB=SC3.设直角三角形的三边长分别是a，b，c，猜想:两直角边a，b与斜边c之间的关系？a2+b2=c2这是2002年国际数学家大会会标赵爽弦图∵ab×4+(b-a)²=c²，∴a²+b²=c².abc即2ab+（b²-2ab+a²）=c²，12此结论被称为“勾股定理”.在Rt△ABC中，∠C=90°，边BC，AC，AB所对应的边分别为a，b，c,则存在下列关系，结论：直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方.a2+b2=c2.勾股弦cabBCA如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理∵∠C＝90°，∴a2+b2=c2.cabBCA勾股定理的运用1:已知直角三角形的任意两条边长，求第三条边长.a2=c2-b2b2=c2-a2c2=a2+b2在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a，b，c.(1)已知a=1，b=2，求c.(2)已知a=10，c=15，求b.ACBbac例：将长为5米的梯子AC斜靠在墙上，BC长为2米，求梯子上端A到墙的底端B的距离.CAB解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°.∵BC=2，AC=5，∴AB2=AC²-BC²=5²-2²=21，∴AB=（米）（舍去负值）.21【跟踪训练】3.在等腰Rt△ABC中,a=b=1,则c=＿＿＿CAB第3题图第4题图abcCBA25.在一个直角三角形中,两边长分别为3，4,则第三边的长为________5或4.在Rt△ABC中,∠A=30°，AB=2，则BC=＿＿AC=＿＿＿1736.求下列图中表示边的未知数x，y，z的值.①81144y②625576x=15y=7DABC7.蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，最少一共爬了多少厘米？（小方格的边长为1厘米）GFE3412568答：最少一共爬了28厘米【解析】选D.∵∠B=30°,AC⊥AB,AC=5米,所以BC=10米，米.大树折断前的高度为AC+BC=15(米).2222AB=BC-AC=10-5=753.如图所示，一棵大树在一次强台风中离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，则这棵大树在折断前的高度和AB的长分别为（）（A）10米，米（B）15米，米（C）10米，米（D）15米，米75125125754.(广东·中考）如图（1），已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2（如图（2））；···以此下去，则正方形A4B4C4D4的面积为__________.图（1）A1B1C1D1ABCDD2A2B2C2D1C1B1A1ABCD图（2）【解析】由勾股定理得：新正方形A1B1C1D1边长为，正方形A2B2C2D2边长为5，···，正方形A4B4C4D4的边长为25，正方形A4B4C4D4的面积为625.答案：62555.（宜宾·中考）已知，在△ABC中，∠A=45°，AB=+1，则边BC的长为____.【解析】过点C作CD⊥AB,∵∠A=45°,∴AD=CD,∴2AD2=AC2=2,∴DC=AD=1,∴BD=AB-AD=+1-1=在Rt△CDB中，答案：2AC=2,333.22CB=CD+BD=1+3=4=2.6.请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）；以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理.【解析】［定理表述］如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2,证明：∵Rt△ABE≌Rt△ECD,∴∠AEB=∠EDC,又∠EDC+∠DEC=90°，∴∠AEB+∠DEC=90°,∴∠AED=90°.∵S梯形ABCD=SRt△ABE+SRt△DEC+SRt△AED，∴（a+b)(a+b)=ab+ab+c2.整理，得a2+b2=c2.12121212通过本课时的学习，需要我们1.掌握勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2.理解勾股定理的证明过程.3.应用勾股定理计算线段的长度.注意使用勾股定理的前提条件是在直角三角形中.理想是指路明灯.没有理想，就没有坚定的方向，而没有方向，就没有生活.——托尔斯泰