2021高考数学一轮复习 第一章 集合、常用逻辑用语和不等式 第5节 从函数观点看一元二次不等式课件

第一章集合、常用逻辑用语和不等式第5节从函数观点看一元二次不等式课程标准考情索引核心素养1.会结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系.2.了解一元二次不等式的现实意义，能借助函数求解一元二次不等式，能用集合表示一元二次不等式的解集.3.了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.2019·天津卷，T102019·全国卷Ⅰ，T12018·全国卷Ⅰ，T22018·全国卷Ⅰ，T211.数学运算2.直观想象3.数学抽象1．一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫做一元二次不等式．2．三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c0(a0)的解集{x|xx1或xx2}{x|x≠x1}Rax2＋bx＋c0(a0)的解集{x|x1xx2}∅∅3.分式不等式与整式不等式的转化(1)f（x）g（x）＞0(＜0)⇔f(x)·g(x)＞0(＜0)．(2)f（x）g（x）≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.4．(x－a)(x－b)0或(x－a)(x－b)0型不等式解法解集不等式aba＝bab(x－a)(x－b)0{x|xa或xb}{x|x≠a}{x|xb或xa}(x－a)(x－b)0{x|axb}∅{x|bxa}1．解不等式ax2＋bx＋c0(0)时不要忘记当a＝0时的情形．2．不等式ax2＋bx＋c0(0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定．(1)不等式ax2＋bx＋c0对任意实数x恒成立⇔a＝b＝0，c0或a0，Δ0.(2)不等式ax2＋bx＋c0对任意实数x恒成立⇔a＝b＝0，c0或a0，Δ0.[概念思辨]1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)若不等式ax2＋bx＋c0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.()(2)若不等式ax2＋bx＋c0的解集为(x1，x2)，则必有a0.()(3)不等式x2≤a的解集为[－a，a]．()(4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c0(a0)的解集为R.()解析：由方程与不等式的关系，易知(1)，(2)均正确．(3)错误，当a＝0时，不等式的解集为{0}．(4)错误，若方程ax2＋bx＋c＝0(a0)没有实根，则不等式ax2＋bx＋c0(a0)的解集为∅.答案：(1)√(2)√(3)×(4)×[教材衍化]2．(人A必修5·习题改编)已知集合A＝{x|12x－1≤0}，B＝{x|x2－x－60}，则A∩B＝()A．(－2，3)B．(－2，2)C．(－2，2]D．[－2，2]解析：易知A＝{x|x≤2}，B＝{x|－2x3}，所以A∩B＝{x|－2x≤2}＝(－2，2]．答案：C3．(人A必修5·习题改编)y＝log2(3x2－2x－2)的定义域是________．解析：由题意，得3x2－2x－20，令3x2－2x－2＝0，得x1＝1－73，x2＝1＋73，所以3x2－2x－20的解集为－∞，1－73∪1＋73，＋∞.答案：－∞，1－73∪1＋73，＋∞[典题体验]4．不等式2x2－x－3＞0的解集为()A.x－1＜x＜32B.xx＞32或x＜－1C.x－32＜x＜1D.xx＞1或x＜－32解析：由2x2－x－3＞0，得(x＋1)(2x－3)＞0，解得x＞32或x＜－1.所以不等式2x2－x－3＞0的解集为xx＞32或x＜－1.故选B.答案：B5．(2019·天津卷)设x∈R，使不等式3x2＋x－20成立的x的取值范围是________．解析：3x2＋x－20⇔(x＋1)(3x－2)0，所以原不等式的解集为－1，23.答案：－1，236．(2020·日照一中月考)已知函数f(x)＝ax2＋ax－1，若对任意实数x，恒有f(x)≤0，则实数a的取值范围是________．解析：若a＝0，则f(x)＝－1≤0恒成立，若a≠0，则由题意，得a0，Δ＝a2＋4a≤0，解得－4≤a0.综上，得a的取值范围为[－4，0]．答案：[－4，0]考点1一元二次不等式的解法(自主演练)1．(2020·石家庄调研)关于x的不等式ax＋b0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－2)0的解集是()A．(－∞，1)∪(2，＋∞)B．(－1，2)C．(1，2)D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析：因为关于x的不等式ax＋b0的解集是(1，＋∞)，所以a0，且－ba＝1，则b＝－a0.所以关于x的不等式(ax＋b)(x－2)0化为(x－1)(x－2)0，所以不等式的解集为{x|1x2}．答案：C2．(2020·江淮十校第三次联考)|x|(1－2x)0的解集为()A．(－∞，0)∪0，12B.－∞，12C.12，＋∞D.0，12解析：当x≥0时，原不等式即为x(1－2x)0，所以0x12.当x0时，原不等式即为－x(1－2x)0，所以x0.综上，原不等式的解集为(－∞，0)∪0，12.答案：A3．已知不等式ax2－bx－10的解集是{x|－12x－13}，则不等式x2－bx－a≥0的解集是________．解析：由题意，知－12，－13是方程ax2－bx－1＝0的两个根，且a0，所以－12＋－13＝ba，－12×－13＝－1a，解得a＝－6，b＝5.故不等式x2－bx－a≥0为x2－5x＋6≥0，解得x≥3或x≤2.答案：{x|x≥3或x≤2}4．解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋10(a0)．解：原不等式变为(ax－1)(x－1)0，因为a0，所以x－1a(x－1)0，所以当a1时，解为1ax1；当a＝1时，解集为∅；当0a1时，解为1x1a.综上，当0a1时，不等式的解集为x|1x1a；当a＝1时，不等式的解集为∅；当a1时，不等式的解集为x|1ax1.1．解一元二次不等式的一般方法和步骤．(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．(2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式解集为R或∅)．(3)求：求出对应的一元二次方程的根．(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．2．含有参数的不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，比较(相应方程)根的大小，注意分类讨论思想的应用．考点2一元二次不等式恒成立问题(多维探究)角度在实数集R上恒成立[典例1]对于任意实数x，不等式(a－2)·x2－2(a－2)x－40恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，2)B．(－∞，2]C．(－2，－2)D．(－2，2]解析：当a－2＝0,即a＝2时，－40恒成立；当a－2≠0，即a≠2时，则有a－20，Δ＝[－2（a－2）]2－4×（a－2）×（－4）0，解得－2a2.综上，实数a的取值范围是(－2，2]．答案：D角度形如f(x)≥0(x∈[a，b])求参数的范围[典例2](一题多解)设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1，3]，f(x)－m＋5恒成立，则m的取值范围是________．解析：要使f(x)－m＋5在[1，3]上恒成立，故mx2－mx＋m－60，则mx－122＋34m－60在x∈[1，3]上恒成立．法一令g(x)＝mx－122＋34m－6，x∈[1，3]．当m0时，g(x)在[1，3]上是增函数，所以g(x)max＝g(3)＝7m－60.所以m67，则0m67.当m0时，g(x)在[1，3]上是减函数，所以g(x)max＝g(1)＝m－60.所以m6，所以m0.综上所述，m的取值范围是m|0m67或m0.法二因为x2－x＋1＝x－122＋340，又因为m(x2－x＋1)－60，所以m6x2－x＋1.因为函数y＝6x2－x＋1＝6x－122＋34在[1，3]上的最小值为67，所以只需m67即可．因为m≠0，所以m的取值范围是m|0m67或m0.答案：m|0m67或m0角度给定参数范围的恒成立问题[典例3]已知a∈[－1，1]时不等式x2＋(a－4)x＋4－2a0恒成立，则x的取值范围为()A．(－∞，2)∪(3，＋∞)B．(－∞，1)∪(2，＋∞)C．(－∞，1)∪(3，＋∞)D．(1，3)解析：把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，则由f(a)0对于任意的a∈[－1，1]恒成立，得f(－1)＝x2－5x＋60，且f(1)＝x2－3x＋20即可，解不等式组x2－5x＋60，x2－3x＋20，得x1或x3.答案：C1．对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．2．解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．1．(角度2)若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈0，12恒成立，则a的最小值是()A．0B．－2C．－52D．－3解析：由于x∈0，12，若不等式x2＋ax＋1≥0恒成立，则a≥－x＋1x，x∈0，12时恒成立，令g(x)＝x＋1x，x∈0，12，易知g(x)在0，12上是减函数，则y＝－g(x)在0，12上是增函数．所以y＝－g(x)的最大值是－12＋2＝－52.因此a≥－52，则a的最小值为－52.答案：C2．(角度1，3)已知不等式mx2－2x－m＋10.(1)若对于所有的实数x，不等式恒成立，求m的取值范围；(2)设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围．解：(1)当m＝0时，不等式mx2－2x－m＋10可化为1－2x0，显然对所有的实数x不等式不恒成立．所以m≠0.设f(x)＝mx2－2x－m＋1，因为f(x)0恒成立，所以m0，4－4m（1－m）0，解得m∈∅.综上可知，不存在使不等式恒成立的实数m.(2)由题意得，－2≤m≤2，设g(m)＝(x2－1)m＋(1－2x)，则由题意可得g(m)0，故有g（－2）0，g（2）0，即－2x2－2x＋30，2x2－2x－10，解得－1＋72x1＋32，故实数x的取值范围为x|－1＋72x1＋32.考点3一元二次不等式的应用[典例]甲厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得利润100(5x＋1－3x)元．(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．解：(1)由题意，得2005x＋1－3x≥3000，整理得5x－14－3x≥0，即5x2－14