2021高考数学一轮复习 第四章 三角函数 解三角形 第5节 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及应

第四章三角函数解三角形第5节函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用课程标准考情索引核心素养1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，理解参数A，ω，φ的意义，了解参数对函数图象变化的影响.2.体会三角函数是构造刻画周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题.2019·天津卷，T72018·天津卷，T62017·全国卷Ⅰ，T92016·全国卷Ⅱ，T72016·全国卷Ⅲ，T141.数学运算2.直观想象1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示．x－φω－φω＋π2ωπ－φω3π2ω－φω2π－φωωx＋φ0π2π3π22πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A02.函数y＝Asin(ωx＋φ)中各量的物理意义简谐振动振幅周期频率相位初相y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)x∈[0，＋∞)AT＝2πωf＝1Tωx＋φφ3.函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象的两种途径1．由y＝sinωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω0，φ0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋π2，k∈Z确定；对称中心的横坐标由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定．[概念思辨]1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)将函数y＝3sin2x的图象左移π4个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin2x＋π4.()(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．()(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.()(4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的．()解析：(1)将函数y＝3sin2x的图象向左平移π4个单位长度后所得图象的解析式是y＝3cos2x.(2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为φω.故当ω≠1时平移的长度不相等．答案：(1)×(2)×(3)√(4)√[教材衍化]2．(人A必修4·习题改编)y＝2sin12x－π3的振幅、频率和初相分别为()A．2，4π，π3B．2，14π，π3C．2，14π，－π3D．2，4π，－π3解析：由题意知A＝2，f＝1T＝ω2π＝14π，初相为－π3.答案：C3．(人A必修4·习题改编)某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表是今年前四个月的统计情况：月份x1234收购价格y(元/斤)6765选用一个正弦型函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月价之间的函数关系：________．解析：设y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A0，ω0)，由题意得A＝1，B＝6，T＝4，因为T＝2πω，所以ω＝π2，所以y＝sinπ2x＋φ＋6.因为当x＝1时，y＝6，所以6＝sinπ2＋φ＋6，结合表中数据得π2＋φ＝2kπ，k∈Z，可取φ＝－π2，所以y＝sinπ2x－π2＋6＝6－cosπx2.答案：y＝6－cosπx2[典题体验]4．函数y＝2cos2x＋π6的部分图象是()解析：y＝2cos2x＋π6可知，函数的最大值为2，故排除D；又因为函数图象过点π6，0，故排除B；又因为函数图象过点－π12，2，故排除C.答案：A5．(2020·衡水大联考)将曲线C1：y＝2cos2x－π6上的点向右平移π6个单位长度，再将各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到曲线C2，则C2的方程为()A．y＝2sin4xB．y＝2sin4x－π3C．y＝2sinxD．y＝2sinx－π3解析：将曲线C1：y＝2cos2x－π6上的点向右平移π6个单位长度，可得y＝2sin2x的图象，再将各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，可得曲线C2：y＝2sin4x.答案：A6．若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，0φπ)的部分图象如图所示，则fπ4的值为________．解析：由题干图象可知A＝2，34T＝11π12－π6＝3π4，所以T＝π，所以ω＝2，因为当x＝π6时，函数f(x)取得最大值，所以2×π6＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝π6＋2kπ(k∈Z)，又0φπ，所以φ＝π6，所以f(x)＝2sin2x＋π6，则fπ4＝2sinπ2＋π6＝2cosπ6＝3.答案：3考点1函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换(讲练互动)[典例](2020·潍坊调研)已知函数f(x)＝－3cos(2x＋π2)＋1－2sin2x.(1)在给定的坐标系中，用“五点作图法”画出函数f(x)在[0，π]上的图象；(2)先将函数y＝f(x)的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)图象的对称中心．解：(1)f(x)＝－3cos2x＋π2＋1－2sin2x＝3sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π6.列表如下：x0π65π122π311π12πf(x)120－201描点、连线，函数f(x)在区间[0，π]上的图象如图所示．(2)将函数f(x)＝2sin2x＋π6的图象向右平移π6个单位后得到y＝2sin2x－π6＋π6＝2sin2x－π6的图象，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g(x)＝2sinx2－π6的图象．令x2－π6＝kπ(k∈Z)得x＝2kπ＋π3(k∈Z)，故g(x)图象的对称中心为2kπ＋π3，0(k∈Z)．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的作法1．五点作图法：主要是通过变量代换，令z＝ωx＋φ，由z取0，π2，π，3π2，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．2．图象的变换法：由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．1．(2020·合肥质检)将函数f(x)＝sinx＋cosx的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12，再将函数图象向左平移π3个单位后，得到的函数g(x)的解析式为()A．g(x)＝2sin2x＋π3B．g(x)＝2sin2x＋11π12C．g(x)＝2sinx2＋π3D．g(x)＝2sin2x＋5π12解析：f(x)＝sinx＋cosx＝2sinx＋π4的图象――――――→纵坐标不变横坐标缩小为原来的12y＝2sin2x＋π4的图象――→向左平移π3个单位g(x)＝2sin[2(x＋π3)＋π4]＝2sin2x＋1112π.答案：B2．将函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω0，|φ|≤π2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y＝Asinx的图象，则ω＝________，φ＝________．解析：依题意，把y＝Asinx的图象向左平移π6个单位，得y＝Asin(x＋π6)的图象，再将图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，得y＝Asinx2＋π6的图象，所以f(x)＝Asin(ωx＋φ)＝Asinx2＋π6.又ω0，|φ|≤π2，所以ω＝12，且φ＝π6.答案：12π6考点2确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式(自主演练)1．(一题多解)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为____．解析：由题图可知A＝2，法一T4＝7π12－π3＝π4，所以T＝π，故ω＝2，因此f(x)＝2sin(2x＋φ)，又π3，0对应五点法作图中的第三个点，因此2×π3＋φ＝π，所以φ＝π3，故f(x)＝2sin2x＋π3.法二以π3，0为第二个“零点”，7π12，－2为最小值点，列方程组ω·π3＋φ＝π，ω·7π12＋φ＝3π2，解得ω＝2，φ＝π3，故f(x)＝2sin2x＋π3.答案：f(x)＝2sin2x＋π32．(2020·衡水质检)已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋BA0，ω0，|φ|π2的部分图象如图，则f(x)图象的一个对称中心是()A.5π6，－1B.π12，0C.π12，－1D.5π6，0解析：由函数y＝f(x)图象知π3，－1为y＝f(x)图象的一个对称中心，所以T4＝π3－π12＝π4，所以T＝π.从而f(x)图象的对称中心为π3＋kπ2，－1，k∈Z，取k＝1，得到一个对称中心为5π6，－1.答案：A3.(2020·韶关调研)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，0≤φ2π)的部分图象如图所示，则f(2020)的值为________．解析：由题意可知T4＝52－1＝32，得T＝6，又知T＝2π|ω|，ω0，所以ω＝π3，所以f(x)＝Asinπ3x＋φ.又因为f(1)＝A，所以Asinπ3＋φ＝A，即sinπ3＋φ＝1.所以π3＋φ＝π2＋2kπ，所以φ＝2kπ＋π6.因为0≤φ2π，所以φ＝π6.所以f(x)＝Asinπ3x＋π6.又知f(0)＝1，所以Asinπ6＝1，得A＝2，所以f(x)＝2sinπ3x＋π6.所以f(2020)＝2sin20203π＋π6＝2sin(673π＋π3＋π6)＝2cos673π＝2cosπ＝－2.答案：－21．已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的部分图象求其解析式时，A看图比较容易得出，同时利用周期性求ω，难点是φ的确定．2．y＝Asin(ωx＋φ)中φ的确定方法．(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．考点3三角函数性质及图象的综合应用(多维探究)角度图象与性质的综合问题[典例1]已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)(ω0，－π2≤φπ2)的图象关于直线x＝π3对称，且图象上相邻最高点的距离为π.(1)求fπ4的值；(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移π12个单位后，得到y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间．解：(1)因为f(x)的图象上相邻最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝2πT＝2.又f(x)的图象关于直线x＝π3对称，所以2×π3＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，所以φ＝－π6＋kπ，(k∈Z)．因为－π2≤φπ2，所以φ＝－π6，所以f(x)＝3sin2x－π6，则fπ4＝3sin2×π4－π6＝3sinπ3＝32.(2)将f(x)的图象向右平移π12个单位后，得到fx－π12的图象，所以g(x)＝fx－π12＝3sin2x－π12－π6＝3sin2x－π3.当2kπ＋π2≤2x－π3≤2kπ＋3π2(k∈Z)，即kπ＋5π12≤x≤kπ＋11π12(k∈Z)时，g(x)单调递减．所以g(x)的单调递