2021高考数学一轮复习 第四章 三角函数 解三角形 第4节 三角函数的图象与性质课件

第四章三角函数解三角形第4节三角函数的图象与性质课程标准考情索引核心素养1.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值.2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在－π2，π2上的性质.2019·全国卷Ⅰ，T112019·全国卷Ⅱ，T92019·全国卷Ⅲ，T122019·浙江卷，T182018·全国卷Ⅱ，T101.数学运算2.逻辑推理3.直观想象1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，π2，1，(π，0)，3π2，－1，(2π，0)．(2)余弦函数y＝cosx，x∈[0，2π]图象中，五个关键点是：(0，1)，π2，0，(π，－1)，3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR{x|x∈R，且x≠kπ＋π2}值域[－1，1][－1，1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间2kπ－π2，2kπ＋π2[2kπ－π，2kπ](kπ－π2，kπ＋π2)递减区间2kπ＋π2，2kπ＋3π2[2kπ，2kπ＋π]无对称中心(kπ，0)kπ＋π2，0kπ2，0对称轴方x＝kπ＋π2x＝kπ无1．对称与周期．(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．2．要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时A和ω的符号，尽量化成ω0时情况，避免出现增减区间的混淆．3．对于y＝tanx不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)内为增函数．[概念思辨]1．判断下列说法的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)余弦函数y＝cosx的对称轴是y轴．()(2)正切函数y＝tanx的定义域内是增函数．()(3)已知y＝ksinx＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.()(4)y＝sin|x|是偶函数．()解析：(1)余弦函数y＝cosx的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条．(2)正切函数y＝tanx在每一个区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数．(3)当k0时，ymax＝k＋1；当k0时，ymax＝－k＋1.答案：(1)×(2)×(3)×(4)√[教材衍化]2．(人A必修4·习题改编)若函数y＝2sin2x－1的最小值正周期为T，最大值为A，则()A．T＝π，A＝1B．T＝2π，A＝1C．T＝π，A＝2D．T＝2π，A＝2解析：最小正周期T＝2π2＝π，最大值A＝2－1＝1.答案：A3．(人A必修4·习题改编)函数y＝－tan2x－3π4的单调递减区间为________．解析：因为y＝tanx的单调递增区间为－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)，所以由－π2＋kπ2x－3π4π2＋kπ(k∈Z)，得π8＋kπ2x5π8＋kπ2(k∈Z)，所以y＝－tan2x－3π4的单调递减区间为π8＋kπ2，5π8＋kπ2(k∈Z)．答案：π8＋kπ2，5π8＋kπ2(k∈Z)[典题体验]4．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋π3的最小正周期为()A．4πB．2πC．πD.π2解析：函数f(x)＝sin2x＋π3的最小正周期T＝2π2＝π.故选C.答案：C5．(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sin2x＋3π2－3cosx的最小值为________．解析：f(x)＝sin2x＋3π2－3cosx＝－cos2x－3cosx＝－2cos2x－3cosx＋1＝－2cosx＋342＋178.因为cosx∈[－1，1]，所以当cosx＝1时，f(x)有最小值－4.答案：－46．(2018·江苏卷)已知函数y＝sin(2x＋φ)(－π2＜φ＜π2)的图象关于直线x＝π3对称，则φ的值为________．解析：由题意得f(π3)＝sin(2π3＋φ)＝±1，所以2π3＋φ＝kπ＋π2，所以φ＝kπ－π6，k∈Z.因为φ∈(－π2，π2)，所以取k＝0得φ＝－π6.答案：－π6考点1三角函数的定义域、值域(最值)(自主演练)1．函数f(x)＝－2tan2x＋π6的定义域是()A.xx≠π6B.xx≠－π12C.xx≠kπ＋π6，k∈ZD.xx≠kπ2＋π6，k∈Z解析：由正切函数的定义域，得2x＋π6≠kπ＋π2，k∈Z，即x≠kπ2＋π6，k∈Z，故选D.答案：D2．(2020·衡水中学质检)将函数f(x)＝sinx的图象向右平移π4个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则函数y＝f(x)·g(x)的最大值为()A.2＋24B.2－24C．1D.12解析：易知g(x)＝sinx－π4，所以y＝f(x)·g(x)＝sinx－π4sinx＝22sin2x－22sinxcosx＝2－2sin2x－2cos2x4＝2－2sin2x＋π44，所以y＝f(x)g(x)的最大值为2＋24.答案：A3．函数f(x)＝lg(3＋2x－x3)＋sinx的定义域为________________．解析：由题意得3＋2x－x20，sinx≥0，即－1x3，2kπ≤x≤2kπ＋π（k∈Z）解得0≤x3，所以函数f(x)的定义域为[0，3)．答案：[0，3)4．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋3cosx－34x∈0，π2的最大值是________．解析：f(x)＝1－cos2x＋3cosx－34＝－cosx－322＋1.因为x∈0，π2，所以cosx∈[0，1]，所以当cosx＝32时，f(x)取得最大值，最大值为1.答案：11．求三角函数的定义域其实质是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数的图象求解．2．求三角函数的值域(最值)常见三种类型．(1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)．考点2奇偶性、周期性与对称性(多维探究)角度三角函数的周期性[典例1](2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则()A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4解析：因为f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝1＋cos2x－1－cos2x2＋2＝32cos2x＋52，所以f(x)的最小正周期为π，最大值为4.故选B.答案：B[典例2](2019·全国卷Ⅱ)若x1＝π4，x2＝3π4是函数f(x)＝sinωx(ω＞0)两个相邻的极值点，则ω＝()A．2B.32C．1D.12解析：依题意，x1＝π4，x2＝3π4是函数f(x)的两个相邻的最值点，则12T＝3π4－π4，所以T＝π，所以2πω＝π，所以ω＝2.答案：A角度三角函数的奇偶性[典例3]设函数f(x)＝sin12＋θ－3cos(12x＋θ)|θ|π2的图象关于y轴对称，则θ＝()A．－π6B.π6C．－π3D.π3解析：f(x)＝sinx2＋θ－3cosx2＋θ＝2sin(x2＋θ－π3)．依题设知，f(x)是偶函数．所以θ－π3＝kπ＋π2(k∈Z)，则θ＝kπ＋5π6(k∈Z)．又|θ|π2，所以取k＝－1，得θ＝－π6.答案：BD角度三角函数图象的对称性[典例4](多选题)(2020·衡水中学质检)若将函数f(x)＝sinωx＋cosωx＋π6(ω0)的图象向左平移π6个单位长度后的图象关于y轴对称，则当ω取最小整数时，函数f(x)的图象的对称中心是()A.4π3，0B.5π3，0C.π3，0D.－π3，0解析：因为f(x)＝sinωx＋cosωx＋π6＝sinωx＋32cosωx－12sinωx＝12sinωx＋32cosωx＝sinωx＋π3，将函数f(x)的图象向左平移π6个单位长度后的图象对应函数的解析式为y＝sinωx＋π6ω＋π3，因为y＝sinωx＋π6ω＋π3的图象关于y轴对称，所以π6ω＋π3＝kπ＋π2(k∈Z)，即ω＝6k＋1(k∈Z)．因为ω0，所以ωmin＝1，此时f(x)＝sinx＋π3，令x＋π3＝kπ，得x＝kπ－π3(k∈Z)．取k＝2，k＝0图象的对称中心为5π3，0和－π3，0.答案：BD1．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则：(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝π2＋kπ(k∈Z)．(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．2．函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期T＝2π|ω|，y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝π|ω|.3．(1)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点．(2)令ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，ωx＋φ＝kπ，可分别确定对称轴和对称中心．1．(角度1)(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝tanx1＋tan2x的最小正周期为()A.π4B.π2C．πD．2π解析：由已知得f(x)＝tanx1＋tan2x＝sinxcosx1＋（sinxcosx）2＝sinxcosxcos2x＋sin2xcos2x＝sinx·cosx＝12sin2x，所以f(x)的最小正周期为T＝2π2＝π.答案：C2．(角度2)(2019·上海卷)已知ω∈R，函数f(x)＝(x－6)2·sin(ωx)，存在常数a∈R，使得f(x＋a)为偶函数，则ω的值可能为()A.π2B.π3C.π4D.π5解析：f(x＋a)＝(x＋a－6)2·sin(ωx＋ωa)，因为f(x＋a)为偶函数，所以y1＝(x＋a－6)2与y2＝sin(ωx＋ωa)均为偶函数．由y1＝(x＋a－6)2为偶函数，得a＝6.此时y2＝sin(ωx＋6ω)为偶函数，则6ω＝kπ＋π2，ω＝π12＋kπ6(k∈Z)．当k＝1时，ω＝π4，所以ω的值可能为π4.答案：C3．(角度3)(多选题)已知函数f(x)＝asinx＋cosx(a为常数，x∈R)的图象关于直线x＝π6对称，则函数g(x)＝sinx＋acosx的图象()A．关于点π3，0对称B．关于点56π，0对称C．关于直线x＝π3对称D．关于直线x＝π6对称解析：因为函数f(x)＝asinx＋cosx(a为常数，x∈R)的图象关于直线x＝π6对称，所以f(0)＝fπ3，即1＝32a＋12，所以a＝33，所以g(x)＝sinx＋33cosx＝233sinx＋π6，令x＋π6＝kπ(k∈Z)，知56π，0为对称中心．函数g(x)的对称轴方程为x＋π6＝kπ＋π2，k∈Z，即x＝kπ＋π3，k∈Z，当k＝0时，对称轴为直