2021高考数学一轮复习 第四章 三角函数 解三角形 第1节 任意角与弧度制、三角函数的概念课件

第四章三角函数解三角形第1节任意角与弧度制、三角函数的概念课程标准考情索引核心素养1.了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.2018·全国卷Ⅰ，T112018·浙江卷，T181.数学运算2.直观想象1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式．角α的弧度数公式|α|＝lr(弧长用l表示)角度与弧度的换算①1°＝π180rad；②1rad＝180π°弧长公式弧长l＝|α|r扇形面积公式S＝12lr＝12|α|r23.任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx(x≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．1．三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦．2．若α∈0，π2，则tanααsinα.3．角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．4．象限角的集合．[概念思辨]1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)小于90°的角是锐角．()(2)锐角是第一象限角，反之亦然．()(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.()(4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．()解析：(1)锐角的取值范围是0，π2.(2)第一象限角不一定是锐角．(3)顺时针旋转得到的角是负角．(4)终边相同的角不一定相等．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×[教材衍化]2．(人A必修4·习题改编)已知角α的终边过点P(8m，3)，且cosα＝－45，则m的值为()A．－12B.12C．－32D.32解析：由题意得m0且8m（8m）2＋32＝－45，解得m＝－12.答案：A3．(人A必修4·习题改编)在－720°～0°范围内，所有与角α＝45°终边相同的角β构成的集合为_________．解析：所以与角α终边相同的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°0°(k∈Z)，得－765°≤k×360°－45°(k∈Z)．解得k＝－2或k＝－1，所以β＝－675°或β＝－315°.答案：{－675°，－315°}[典题体验]4．(2020·衡水模拟)若sinθ·cosθ0，tanθsinθ0，则角θ是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：由tanθsinθ0，得1cosθ0，故cosθ0.又sinθ·cosθ0，所以sinθ0，所以θ为第四象限角．答案：D5．(2020·日照一中质检)若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为________．解析：设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为3r，所以3r＝α·r，所以α＝3.答案：36．(2020·佛山一中检测)已知角α的终边在直线y＝－x上，且cosα0，则tanα＝________．解析：如图，由题意知，角α的终边在第二象限，在其上任取一点P(x，y)，由y＝－x及三角函数的定义得tanα＝yx＝－xx＝－1.答案：－1考点1角的概念及其集合表示(自主演练)1．若角α是第二象限角，则α2是()A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角解析：因为α是第二象限角，所以π2＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，所以π4＋kπ＜α2＜π2＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，α2是第一象限角；当k为奇数时，α2是第三象限角．综上，α2是第一或第三象限角．答案：C2．设集合M＝xx＝k2·180°＋45°，k∈Z，N＝{x|x＝k4·180°＋45°，k∈Z}，那么()A．M＝NB．M⊆NC．N⊆MD．M∩N＝∅解析：由于M＝xx＝k2·180°＋45°，k∈Z＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N＝xx＝k4·180°＋45°，k∈Z＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M⊆N.答案：B3．(2020·青岛二中月考)终边在直线y＝3x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为__________________．解析：如图，在坐标系中画出直线y＝3x，可以发现它与x轴的夹角是π3，在[0，2π)内，终边在直线y＝3x上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的集合为－53π，－23π，π3，43π.答案：－53π，－23π，π3，43π1．利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角：先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角．2．若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为2kπ＋α(0≤α2π)(k∈Z)的形式，然后再根据α所在的象限予以判断．考点2弧度制及其应用(典例迁移)[典例](经典母题)已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.若α＝π3，R＝10cm，求扇形的面积．解：由已知得α＝π3，R＝10，所以S扇形＝12α·R2＝12·π3·102＝50π3(cm2)．[迁移探究]1．若典例条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积．解：l＝α·R＝π3×10＝10π3(cm)，S弓形＝S扇形－S三角形＝12·l·R－12·R2·sinπ3＝12×10π3×10－12×102×32＝50π－7533(cm2)．2．若典例条件改为：“若扇形周长为20cm”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解：由已知得，l＋2R＝20.所以S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当R＝5cm时，S取得最大值25cm2，此时l＝10cm，α＝2rad.1．应用弧度制解决问题的方法．(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．2．求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为________.解析：设圆的半径为r，则扇形的半径为2r3，记扇形的圆心角为α，由扇形面积等于圆面积的527，可得12α2r32πr2＝527，解得α＝5π6.所以扇形的弧长与圆周长之比为lC＝5π6·2r32πr＝518.答案：518考点3三角函数的定义(讲练互动)[典例1](2020·合肥质检)已知角α的终边与单位圆的交点为P－12，y，则sinα·tanα等于()A．－33B．±33C．－32D．±32解析：由OP2＝14＋y2＝1，得y2＝34，y＝±32.当y＝32时，sinα＝32，tanα＝－3，此时，sinα·tanα＝－32.当y＝－32时，sinα＝－32，tanα＝3，此时，sinα·tanα＝－32.所以sinα·tanα＝－32.答案：C[典例2]设θ是第三象限角，且cosθ2＝－cosθ2，则θ2是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：由θ是第三象限角知，θ2为第二或第四象限角，因为cosθ2＝－cosθ2，所以cosθ20，综上可知，θ2为第二象限角．答案：B1．三角函数定义的应用．(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值．(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出参数的方程，求参数的值．2．三角函数线的应用问题的求解思路．确定单位圆与角的终边的交点，作出所需要的三角函数线，然后求解．1．(2020·北京师大附中期中考试)在平面直角坐标系中，角α的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，角α的终边经过点M－cosπ8，sinπ8，且0α2π，则α＝()A.π8B.3π8C.5π8D.7π8解析：因为角α的终边经过点M－cosπ8，sinπ8，且0α2π，所以根据三角函数的定义，可知cosα＝－cosπ8＝cosπ－π8＝cos7π8，则α＝7π8.答案：D2．若sinαtanα＜0，且cosαtanα＜0，则角α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：由sinαtanα＜0可知sinα，tanα异号，则α为第二或第三象限角．由cosαtanα＜0可知cosα，tanα异号，则α为第三或第四象限角．综上可知，α为第三象限角．答案：C