2021高考数学一轮复习 第二章 函数 第4节 幂函数与二次函数课件

第二章函数第4节幂函数与二次函数课程标准考情索引核心素养1.通过具体实例，结合y＝x，y＝1x，y＝x2，y＝x，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数.2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.2019·浙江卷，T162018·上海卷，T72018·天津卷，T142017·浙江卷，T51.直观想象2.逻辑推理1．幂函数(1)幂函数的定义．一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)常见的5种幂函数的图象．(3)幂函数的性质．①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α＞0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α＜0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式．一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数的图象与性质.函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)y＝ax2＋bx＋c(a＜0)图象(抛物线)定义域R值域4ac－b24a，＋∞－∞，4ac－b24a对称轴x＝－b2a顶点坐标－b2a，4ac－b24a奇偶性当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数单调性在－∞，－b2a上递减在－b2a，＋∞上递增在－∞，－b2a上递增在－b2a，＋∞上递减1．二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向、对称轴及给定区间的范围有关．2．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当a＞0，Δ＜0时恒有f(x)＞0，当a＜0，Δ＜0时，恒有f(x)＜0.3．(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限；(2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．[概念思辨]1．判断下列结论正误(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)函数y＝2x13是幂函数．()(2)当n＞0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．()(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数．()(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是4ac－b24a.()解析：(1)由于幂函数的解析式为f(x)＝xα，故y＝2x13不是幂函数，(1)错．(3)由于当b＝0时，y＝ax2＋bx＋c＝ax2＋c为偶函数，故(3)错．(4)对称轴x＝－b2a，当－b2a小于a或大于b时，最值不是4ac－b24a，故(4)错．答案：(1)×(2)√(3)×(4)×[教材衍化]2．(人A必修1·习题改编)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点12，22，则k＋α＝()A.12B．1C.32D．2解析：因为f(x)＝k·xα是幂函数，所以k＝1.又f(x)的图象过点12，22，所以12α＝22，所以α＝12，所以k＋α＝1＋12＝32.答案：C3．(人A必修第一册·习题改编)如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a的取值范围是________．解析：当a＝0时，f(x)＝2x－3在(－∞，4)单调递增．当a≠0时，f(x)在(－∞，4)上单调递增．则a满足a0，－1a≥4.解之得－14≤a0.综上可知，－14≤a≤0.答案：－14，0[典题体验]4．已知a＝243，b＝323，c＝2513，则()A．bacB．abcC．bcaD．cab解析：因为a＝243＝423，b＝323，c＝523，又y＝x23在(0，＋∞)上是增函数，所以cab.答案：A5．(2020·河南省实验中学质检)已知函数f(x)＝3x2－2(m＋3)x＋m＋3的值域为[0，＋∞)，则实数m的取值范围为()A．{0，－3}B．[－3，0]C．{0，3}D．(－∞，－3]∪[0，＋∞)解析：依题意，Δ＝4(m＋3)2－4×3(m＋3)＝0，则m＝0或m＝－3.所以实数m的取值范围是{0，－3}．答案：A6．(2018·上海卷)已知α∈{－2，－1，－12，12，1，2，3}．若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝________．解析：由幂函数y＝xα是奇函数，知α可取－1，1，3.又y＝xα在(0，＋∞)上是减函数，所以α0，即α＝－1.答案：－1考点1幂函数的图象和性质(自主演练)1．幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的图象是()解析：设幂函数的解析式为y＝xα，因为幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，所以2＝4α，解得α＝12.所以y＝x，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当0＜x＜1时，其图象在直线y＝x的上方，对照选项，C正确．答案：C2．已知点a，12在幂函数f(x)＝(a－1)xb的图象上，则f(x)是()A．奇函数B．偶函数C．定义域内的减函数D．定义域内的增函数解析：因为点a，12在幂函数f(x)＝(a－1)xb的图象上，所以a－1＝1且ab＝12，解之得a＝2，且b＝－1.故f(x)＝x－1为奇函数，在(－∞，0)与(0，＋∞)上是减函数．答案：A3．(2020·惠州调研)已知点(m，8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，设a＝f13，b＝f(lnπ)，c＝f2－12，则a，b，c的大小关系是()A．acbB．abcC．bcaD．bac解析：由于f(x)＝(m－1)xn为幂函数，所以m－1＝1，则m＝2，f(x)＝xn，又点(2，8)在函数f(x)＝xn的图象上，所以8＝2n，知n＝3，故f(x)＝x3是增函数．又lnπ12－12＝2213，所以f(lnπ)f(2－12)f13，因此bca.答案：A4.若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为()A．－1m0n1B．－1n0mC．－1m0nD．－1n0m1解析：幂函数y＝xα，当α0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，且0α1时，图象上凸，所以0m1；当α0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，不妨令x＝2，由图象可得2－12n，所以－1n0，综上所述，－1n0m1.答案：D1．对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α＜0，0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．考点2二次函数的解析式(讲练互动)[典例](一题多解)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．解：法一(利用“一般式”解题)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得4a＋2b＋c＝－1，a－b＋c＝－1，4ac－b24a＝8，解得a＝－4，b＝4，c＝7.所以所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.法二(用“顶点式”解题)设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．因为f(2)＝f(－1)，f(－1)＝－1，所以抛物线的对称轴为x＝2＋（－1）2＝12，所以m＝12.又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，所以y＝f(x)＝ax－122＋8.由f(2)＝－1，所以a2－122＋8＝－1，解得a＝－4.所以f(x)＝－4x－122＋8＝－4x2＋4x＋7.法三(利用“零点式”解题)由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，即4a（－2a－1）－a24a＝8.解得a＝－4或a＝0(舍)．所以所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：1．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R，若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，则f(x)＝________．解析：依题意，设f(x)＝a(x＋1)2，所以ax2＋2ax＋a＝ax2＋bx＋1，因此a＝1，b＝2.故f(x)＝x2＋2x＋1.答案：x2＋2x＋12．已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝________．解析：因为f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，所以y＝f(x)的图象关于x＝2对称．又y＝f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2，所以f(x)＝0的两根为2－22＝1和2＋22＝3.所以二次函数f(x)与x轴的两交点坐标为(1，0)和(3，0)．因此设f(x)＝a(x－1)(x－3)．又点(4，3)在y＝f(x)的图象上，所以3a＝3，则a＝1.故f(x)＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3.答案：x2－4x＋3考点3二次函数的图象及应用[典例1]对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是()解析：若0a1，则y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，y＝(a－1)x2－x开口向下，其图象的对称轴在y轴左侧，排除C、D.若a1，则y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，y＝(a－1)x2－x的图象开口向上，且对称轴在y轴右侧，因此B项不正确，只有选项A满足．答案：A[典例2]设函数f(x)＝x2＋x＋a(a0)，已知f(m)0，则()A．f(m＋1)≥0B．f(m＋1)≤0C．f(m＋1)0D．f(m＋1)0解析：因为f(x)的对称轴为x＝－12，f(0)＝a0，所以f(x)的大致图象如图所示．由f(m)0，得－1m0，所以m＋10，所以f(m＋1)f(0)0.答案：C1．研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向．2．求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是()解析：若a0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的开口向上，故可排除A；若a0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a0，b0，从而－b2a0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B，只有选项C适合．答案：C考点4二次函数的性质(多维探究)角度二次函数的单调性与最值[典例1]已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R且a≠0)，x∈R.(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f(x)＞x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的取值范围．解：(1)由题意知a0，－b2a＝－1，f（－1）＝a－b＋1＝0，解得a＝1，b＝2.所以f(x)＝x2＋2x＋1，由f(x)＝(x＋1)2知，函数f(x)的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]．(2)由题意知，x2＋2x＋1＞x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，即k＜x2＋x＋