2021高考数学一轮复习 第9章 平面解析几何 第6节 抛物线课件 文 北师大版

第九章平面解析几何第六节抛物线2[最新考纲]1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解数形结合思想.3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用．3课前自主回顾41．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的，直线l叫做抛物线的______．相等焦点准线52．抛物线的标准方程与几何性质y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)标准方程p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形6顶点坐标_______对称轴x轴y轴焦点坐标Fp2，0F－p2，0F0，p2F0，－p2离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2O(0,0)7范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下焦半径P(x0，y0)|PF|＝________|PF|＝__________|PF|＝_________|PF|＝__________x0＋p2－x0＋p2y0＋p2－y0＋p28[常用结论]与抛物线焦点弦有关的几个常用结论设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α为弦AB的倾斜角．则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.9(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α.(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦．10一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．()(2)抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是4.()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．()11(4)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是a4，0，准线方程是x＝－a4.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×12二、教材改编1．抛物线y＝14x2的准线方程是()A．y＝－1B．y＝－2C．x＝－1D．x＝－2A[∵y＝14x2，∴x2＝4y，∴准线方程为y＝－1.]132．若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()A.1716B.1516C.78D．0B[M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝－116，设M(x，y)，则y＋116＝1，∴y＝1516.]143．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于()A．9B．8C．7D．6B[抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.]154．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________．y2＝－8x或x2＝－y[设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)．将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y.]16课堂考点探究17⊙考点1抛物线的定义及应用与抛物线有关的最值问题的解题策略(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中，垂线段最短”解决．18(1)(2019·长春模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，抛物线上一点P.若|PF|＝5，则△PFK的面积为()A．4B．5C．8D．1019(2)(2019·福州模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点F，点A(4，3)，P为抛物线上一点，且点P不在直线AF上，则当△PAF周长取最小值时，线段PF的长为()A．1B.134C．5D.21420(1)A(2)B[(1)由抛物线的方程y2＝4x，可得F(1,0)，K(－1,0)，准线方程为x＝－1.设P(x0，y0)，则|PF|＝x0＋1＝5，即x0＝4，不妨设P(x0，y0)在第一象限，则P(4，4)，所以S△PKF＝12|FK||y0|＝12×2×4＝4.故选A.21(2)如图，求△PAF周长的最小值，即求|PA|＋|PF|的最小值．设点P在准线上的投影为D，根据抛物线的定义，可知|PF|＝|PD|，因此|PA|＋|PF|的最小值，即|PA|＋|PD|的最小值，可得当D，P，A三点共线时，|PA|＋|PD|最小，此时P94，3，F(1,0)，线段PF的长为94＋1＝134.故选B.]22抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相互转化是解题的关键．231.(2019·临川模拟)若抛物线y2＝2px(p＞0)上的点A(x0，2)到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍，则p等于()A.12B．1C.32D．224D[由抛物线y2＝2px知其准线方程为x＝－p2.又点A到准线的距离等于点A到焦点的距离，∴3x0＝x0＋p2，∴x0＝p4，∴Ap4，2.∵点A在抛物线y2＝2px上，∴p22＝2.∵p＞0，∴p＝2.故选D.]252．动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________.y2＝4x[设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.]263．已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________．2732－1[由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋|PF|的最小值为|1＋5|12＋－12＝32，所以d1＋d2的最小值为32－1.]28⊙考点2抛物线的标准方程与几何性质1．求抛物线标准方程的方法求抛物线的标准方程的主要方法是定义法和待定系数法．若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可；若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)，这样就减少了不必要的讨论．292．抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．30(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是()A．y2＝－xB．x2＝－8yC．y2＝－8x或x2＝－yD．y2＝－x或x2＝－8y(2)(2018·北京高考)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴，若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．31(1)D(2)(1,0)[(1)(待定系数法)设抛物线为y2＝mx，代入点P(－4，－2)，解得m＝－1，则抛物线方程为y2＝－x；设抛物线为x2＝ny，代入点P(－4，－2)，解得n＝－8，则抛物线方程为x2＝－8y.(2)由题知直线l的方程为x＝1，则直线与抛物线的交点为(1，±2a)(a＞0)．又直线被抛物线截得的线段长为4，所以4a＝4，即a＝1.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．]32若抛物线的焦点位置不确定，应分焦点在x轴和y轴两种情况求解，如本例(1)．331.若双曲线C：2x2－y2＝m(m＞0)与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，且|AB|＝43，则m的值是________．3420[y2＝16x的准线l：x＝－4，因为C与抛物线y2＝16x的准线l：x＝－4交于A，B两点，|AB|＝43，设A在x轴上方，所以A(－4,23)，B(－4，－23)，将A点坐标代入双曲线方程得2×(－4)2－(23)2＝m，所以m＝20.]352．已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为________．36x2＝4y[由△FPM为等边三角形，得|PM|＝|PF|，由抛物线的定义得PM垂直于抛物线的准线，设Pm，m22p，则点Mm，－p2，因为焦点F0，p2，△FPM是等边三角形，所以m22p＋p2＝4，p2＋p22＋m2＝4，解得m2＝12，p＝2，因此抛物线方程为x2＝4y.]37⊙考点3直线与抛物线的综合问题直线与抛物线的交点问题直线与抛物线交点问题的解题思路(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组．(2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决．38(2017·全国卷Ⅰ)设A，B为曲线C：y＝x24上两点，A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率；(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．39[解](1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≠x2，y1＝x214，y2＝x224，x1＋x2＝4，于是直线AB的斜率k＝y1－y2x1－x2＝x1＋x24＝1.40(2)由y＝x24，得y′＝x2.设M(x3，y3)，由题设知x32＝1，解得x3＝2，于是M(2,1)．设直线AB的方程为y＝x＋m，故线段AB的中点为N(2,2＋m)，|MN|＝|m＋1|.将y＝x＋m代入y＝x24得x2－4x－4m＝0.41当Δ＝16(m＋1)0，即m－1时，x1,2＝2±2m＋1.从而|AB|＝2|x1－x2|＝42m＋1.由题设知|AB|＝2|MN|，即42m＋1＝2(m＋1)，解得m＝7.所以直线AB的方程为y＝x＋7.42(1)对于抛物线x2＝ay(a≠0)，直线与抛物线相切问题多用到导数的有关知识．(2)本例第(2)问中，找出隐含条件|AB|＝2|MN|是解题的关键．43抛物线的焦点弦问题解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．44(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．45[解](1)由题意得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)(k0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由y＝kx－1，y2＝4x得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.Δ＝16k2＋160，故x1＋x2＝2k2＋4k2.46所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝4k2＋4k2.由题设知4k2＋4k2＝8，解得k＝1或k＝－1(舍去)．因此l的方程为y＝x－1.47(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则y0＝－x0＋5，x0＋12＝y0－x0＋122＋16.解得x0＝3，y0＝2或x0＝11，y0＝－6.因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.48(1)本例第(1)问中，x1＋x2是建立等式的纽带．(2)本例第(2)问中，设出圆