2021高考数学一轮复习 第7章 不等式、推理与证明 第5节 综合法、分析法、反证法、数学归纳法课件

第七章不等式、推理与证明第五节综合法、分析法、反证法、数学归纳法2[最新考纲]1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点.2.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程和特点.3.了解数学归纳法的原理.4.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．3课前自主回顾41．综合法、分析法内容综合法分析法定义从命题的_____出发，利用____________________________，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的_____，直到完成命题的证明．我们把这样的思维方法称为综合法从____________出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的__________，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．我们把这样的思维方法称为分析法条件定义、公理、定理及运算法则结论求证的结论充分条件5实质由因导果执果索因框图表示P⇒Q1→Q1⇒Q2→…→Qn⇒QQ⇐P1→P1⇐P2→…→得到一个明显成立的条件文字语言因为……所以……或由……得……要证……只需证……即证……62．反证法(1)反证法的定义：在假定命题结论的__________的前提下，经过推理，若推出的结果与定义、公理、定理矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题结论成立的方法叫反证法．(2)反证法的证题步骤：①作出否定结论的假设；②进行推理，导出矛盾；③否定假设，肯定结论．反面成立73．数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)归纳奠基：证明当n取第一个值n0(n0∈N＋)时命题成立；(2)归纳递推：假设n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命题成立，证明当_________时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．n＝k＋18[答案](1)×(2)×(3)×(4)×一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．()(2)综合法是直接证明，分析法是间接证明．()(3)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．()(4)用反证法证明结论“ab”时，应假设“ab”．()9C[凸n边形边数最小时是三角形，故第一步检验n＝3.]二、教材改编1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n－3)条时，第一步检验n等于()A．1B．2C．3D．410B[“至少有一个”的否定为“都不是”，故B正确．]2．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a，b，c中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是()A．假设a，b，c都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个偶数D．假设a，b，c至多有两个偶数11A[假设PQ，只需P2Q2，即2a＋13＋2a＋6a＋72a＋13＋2a＋8a＋5，只需a2＋13a＋42a2＋13a＋40.因为4240成立，所以PQ成立．故选A.]3．若P＝a＋6＋a＋7，Q＝a＋8＋a＋5(a≥0)，则P，Q的大小关系是()A．PQB．P＝QC．PQD．不能确定12345n＋1[易得a2＝3，a3＝4，a4＝5，故猜想an＝n＋1.]4．已知数列{an}满足an＋1＝a2n－nan＋1，n∈N＋，且a1＝2，则a2＝________，a3＝________，a4＝________，猜想an＝________.13课堂考点探究14考点1综合法的应用掌握综合法证明问题的思路综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．15设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：(1)ab＋bc＋ac≤13；(2)a2b＋b2c＋c2a≥1.[证明](1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤13.16(2)因为a，b，c均为正数，a2b＋b≥2a，b2c＋c≥2b，c2a＋a≥2c，故a2b＋b2c＋c2a＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c，所以a2b＋b2c＋c2a≥1.17[母题探究]本例的条件不变，证明a2＋b2＋c2≥13.[证明]因为a＋b＋c＝1，所以1＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac，因为2ab≤a2＋b2,2bc≤b2＋c2,2ac≤a2＋c2，所以2ab＋2bc＋2ac≤2(a2＋b2＋c2)，所以1≤a2＋b2＋c2＋2(a2＋b2＋c2)，即a2＋b2＋c2≥13.18(1)不等式的证明常借助基本不等式，注意其使用的前提条件“一正、二定、三相等”；(2)应用重要不等式a2＋b2≥2ab放缩时要注意待证不等式的方向性．19在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1.(1)求证：a，b，c成等差数列；(2)若C＝2π3，求证：5a＝3b.20[证明](1)由已知得sinAsinB＋sinBsinC＝2sin2B，因为sinB≠0，所以sinA＋sinC＝2sinB，由正弦定理，得a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列．(2)由C＝2π3，c＝2b－a及余弦定理得(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，即有5ab－3b2＝0，即5a＝3b.21考点2分析法的应用分析法证明问题的思路及适用范围利用分析法证明问题，先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件；当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法．22已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c.[证明]要证1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c，即证a＋b＋ca＋b＋a＋b＋cb＋c＝3，也就是ca＋b＋ab＋c＝1，23只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，需证c2＋a2＝ac＋b2，又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．于是原等式成立．24(1)用分析法证明时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”“即证……”“只需证……”等，逐步分析，直到一个明显成立的结论．(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，如本例中，通过分析法找出与结论等价(或充分)的中间结论“c2＋a2＝ac＋b2”，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．25若a，b∈(1，＋∞)，证明a＋b＜1＋ab.[证明]要证a＋b＜1＋ab，只需证(a＋b)2＜(1＋ab)2，只需证a＋b－1－ab＜0，即证(a－1)(1－b)＜0.因为a＞1，b＞1，所以a－1＞0,1－b＜0，即(a－1)(1－b)＜0成立，所以原不等式成立．26考点3反证法的应用用反证法证明问题的步骤(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立．(否定结论)27(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾，矛盾可以是与已知条件、定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾．(推导矛盾)(3)立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立．(命题成立)28设a0，b0，且a＋b＝1a＋1b.证明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a2与b2＋b2不可能同时成立．[证明]由a＋b＝1a＋1b＝a＋bab，a0，b0，得ab＝1.(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2ab＝2，即a＋b≥2.29(2)假设a2＋a2与b2＋b2同时成立，则由a2＋a2及a0，得0a1；同理，0b1，从而ab1，这与ab＝1矛盾．故a2＋a2与b2＋b2不可能同时成立．30(1)当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证．(2)在使用反证法证明数学命题时，反设必须恰当，如“都是”的否定是“不都是”“至少一个”的否定是“不存在”等．31等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋2，S3＝9＋32.(1)求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn；(2)设bn＝Snn(n∈N＋)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．[解](1)设等差数列{an}的公差为d.由已知得a1＝2＋1，3a1＋3d＝9＋32，所以d＝2，故an＝2n－1＋2，Sn＝n(n＋2)(n∈N＋)．32(2)证明：由(1)得bn＝Snn＝n＋2，假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r∈N＋，且互不相等)成等比数列，则b2q＝bpbr.即(q＋2)2＝(p＋2)(r＋2)，所以(q2－pr)＋2(2q－p－r)＝0，因为p，q，r∈N＋，33所以q2－pr＝0，2q－p－r＝0，所以p＋r22＝pr，(p－r)2＝0，所以p＝r，与p≠r矛盾，所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．34考点4数学归纳法的应用(1)应用数学归纳法证明不等式应注意的问题①当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．②用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法、构造函数法等证明方法．35(2)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理论证结论的正确性．36(2019·浙江高考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝4，a4＝S3.数列{bn}满足：对每个n∈N＋，Sn＋bn，Sn＋1＋bn，Sn＋2＋bn成等比数列．(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)记cn＝an2bn，n∈N＋，证明：c1＋c2＋…＋cn＜2n，n∈N＋.[解](1)设数列{an}的公差为d，由题意得a1＋2d＝4，a1＋3d＝3a1＋3d，解得a1＝0，d＝2，37∴an＝2n－2，n∈N＋.∴Sn＝n2－n，n∈N＋.∵数列{bn}满足：对每个n∈N＋，Sn＋bn，Sn＋1＋bn，Sn＋2＋bn成等比数列，∴(Sn＋1＋bn)2＝(Sn＋bn)(Sn＋2＋bn)，解得bn＝1d(S2n＋2－SnSn＋2)，即bn＝n2＋n，n∈N＋.38(2)证明：cn＝an2bn＝2n－22nn＋1＝n－1nn＋1，n∈N＋，用数学归纳法证明：①当n＝1时，c1＝0＜2，不等式成立；②假设当n＝k(k∈N＋)时不等式成立，即c1＋c2＋…＋ck＜2k，则当n＝k＋1时，39c1＋c2＋…＋ck＋ck＋1＜2k＋kk＋1k＋2＜2k＋1k＋1＜2k＋2k＋1＋k＝2k＋2(k＋1－k)＝2k＋1，即n＝k＋1时，不等式也成立．由①②得c1＋c2＋…＋cn＜2n，n∈N＋.40用数学归纳法证明与n有关的不等式，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用均值不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化．41[教师备选例题]1．用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n2n＋2＝n4n＋1(n∈N＋)．[证明]①当n＝1时，左边＝12×1×2×1＋2＝18，右边＝1