2021版高考数学一轮复习 第五章 平面向量 第1讲 平面向量的概念及线性运算课件 理 北师大版

数学第五章平面向量第1讲平面向量的概念及线性运算01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析04高效演练分层突破03方法素养助学培优一、知识梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有_________的量叫做向量，向量的大小叫做向量的_______．(2)零向量：长度为_________的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于_________的向量．方向模01个单位(4)平行向量：方向相同或_________的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向_________的向量．(6)相反向量：长度相等且方向_________的向量．相反相同相反2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝_________；结合律：(a＋b)＋c＝_________减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)b＋aa＋(b＋c)向量运算定义法则(或几何意义)运算律数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝_________，当λ0时，λa与a的方向_________；当λ0时，λa与a的方向_________；当λ＝0时，λa＝______λ(μa)＝_________；(λ＋μ)a＝_________；λ(a＋b)＝_________|λ||a|相同相反0(λμ)aλa＋μaλa＋λb3.向量共线的判定定理和性质定理(1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得_______，则向量b与非零向量a共线．(2)性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数，使得b＝λa.b＝λa常用结论1．几个特殊向量(1)要注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0.(2)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同．(3)任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量．(4)与向量a平行的单位向量有两个，即向量a|a|和－a|a|.2．五个常用结论(1)一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即A1A2→＋A2A3→＋A3A4→＋…＋An－1An→＝A1An→.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．(2)若P为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则OP→＝12(OA→＋OB→)．(3)若A，B，C是平面内不共线的三点，则PA→＋PB→＋PC→＝0⇔P为△ABC的重心．(4)在△ABC中，AD，BE，CF分别为三角形三边上的中线，它们交于点G(如图所示)，易知G为△ABC的重心，则有如下结论：①GA→＋GB→＋GC→＝0；②AG→＝13(AB→＋AC→)；③GD→＝12(GB→＋GC→)，GD→＝16(AB→＋AC→)．(5)若OA→＝λOB→＋μOC→(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.二、教材衍化1．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O，且OA→＝a，OB→＝b，则DC→＝________，BC→＝________(用a，b表示)．解析：如图，DC→＝AB→＝OB→－OA→＝b－a，BC→＝OC→－OB→＝－OA→－OB→＝－a－b.答案：b－a－a－b2．在平行四边形ABCD中，若|AB→＋AD→|＝|AB→－AD→|，则四边形ABCD的形状为________．解析：如图，因为AB→＋AD→＝AC→，AB→－AD→＝DB→，所以|AC→|＝|DB→|.由对角线相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形．答案：矩形一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．()(2)零向量与任意向量平行．()(3)若a∥b，b∥c，则a∥c.()××√(4)若向量AB→与向量CD→是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．()(5)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．()(6)在△ABC中，D是BC的中点，则AD→＝12(AB→＋AC→)．()×√√二、易错纠偏常见误区(1)对向量共线定理认识不准确；(2)向量线性运算不熟致错；(3)向量三角不等式认识不清致错．1．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b.若a∥b，则a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．2．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE→＝λ1AB→＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＝________，λ2＝________．解析：DE→＝DB→＋BE→＝12AB→＋23BC→＝12AB→＋23(BA→＋AC→)＝－16AB→＋23AC→，所以λ1＝－16，λ2＝23.答案：－16233．已知向量a，b，若|a|＝2，|b|＝4，则|a－b|的取值范围为________．解析：当a与b方向相同时，|a－b|＝2，当a与b方向相反时，|a－b|＝6，当a与b不共线时，2|a－b|6，所以|a－b|的取值范围为[2，6]．此题易忽视a与b方向相同和a与b方向相反两种情况．答案：[2，6]平面向量的有关概念(自主练透)1．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：选D.向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.2．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使a|a|＝b|b|成立的充分条件是()A．a＝－bB．a∥bC．a＝2bD．a∥b且|a|＝|b|解析：选C.因为向量a|a|的方向与向量a相同，向量b|b|的方向与向量b相同，且a|a|＝b|b|，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D.当a＝2b时，a|a|＝2b|2b|＝b|b|，故“a＝2b”是“a|a|＝b|b|”成立的充分条件．3．给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若A，B，C，D是不共线的四点，且AB→＝DC→，则ABCD为平行四边形；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；⑤已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中真命题的序号是________．解析：①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．②是错误的，|a|＝|b|，但a，b方向不确定，所以a，b的方向不一定相等或相反．③是正确的，因为AB→＝DC→，所以|AB→|＝|DC→|且AB→∥DC→；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形．④是错误的，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．⑤是错误的，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．答案：③辨析向量有关概念的五个关键点(1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．(4)单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线．平面向量的线性运算(多维探究)角度一向量的线性运算(1)(2018·高考全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB→＝()A.34AB→－14AC→B．14AB→－34AC→C.34AB→＋14AC→D．14AB→＋34AC→(2)在四边形ABCD中，BC→＝AD→，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，则()A.AF→＝13AC→＋23BD→B．AF→＝23AC→＋13BD→C.AF→＝14AC→＋23BD→D．AF→＝23AC→＋14BD→【解析】(1)法一：如图所示，EB→＝ED→＋DB→＝12AD→＋12CB→＝12×12(AB→＋AC→)＋12(AB→－AC→)＝34AB→－14AC→，故选A.法二：EB→＝AB→－AE→＝AB→－12AD→＝AB→－12×12(AB→＋AC→)＝34AB→－14AC→，故选A.(2)在四边形ABCD中，如图所示，因为BC→＝AD→，所以四边形ABCD为平行四边形．由已知得DE→＝13EB→，由题意知△DEF∽△BEA，则DF→＝13AB→，所以CF→＝23CD→＝23(OD→－OC→)＝23×BD→－AC→2＝BD→－AC→3，所以AF→＝AC→＋CF→＝AC→＋BD→－AC→3＝23AC→＋13BD→，故选B.【答案】(1)A(2)B角度二根据向量线性运算求参数(一题多解)如图，在直角梯形ABCD中，DC→＝14AB→，BE→＝2EC→，且AE→＝rAB→＋sAD→，则2r＋3s＝()A．1B．2C．3D．4【解析】法一：由题图可得AE→＝AB→＋BE→＝AB→＋23BC→＝AB→＋23(BA→＋AD→＋DC→)＝13AB→＋23(AD→＋DC→)＝13AB→＋23(AD→＋14AB→)＝12AB→＋23AD→.因为AE→＝rAB→＋sAD→，所以r＝12，s＝23，则2r＋3s＝1＋2＝3.法二：因为BE→＝2EC→，所以AE→－AB→＝2(AC→－AE→)，整理，得AE→＝13AB→＋23AC→＝13AB→＋23(AD→＋DC→)＝12AB→＋23AD→，以下同法一．法三：如图，延长AD，BC交于点P，则由DC→＝14AB→得DC∥AB，且AB＝4DC.又BE→＝2EC→，所以E为PB的中点，且AP→＝43AD→.于是，AE→＝12(AB→＋AP→)＝12AB→＋43AD→＝12AB→＋23AD→.以下同法一．法四：如图，建立平面直角坐标系xAy，依题意可设点B(4m，0)，D(3m，3h)，E(4m，2h)，其中m＞0，h＞0.由AE→＝rAB→＋sAD→，得(4m，2h)＝r(4m，0)＋s(3m，3h)，所以4m＝4mr＋3ms，2h＝3hs，解得r＝12，s＝23，所以2r＋3s＝1＋2＝3.【答案】C平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义：向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和：一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．1.(2020·福州模拟)庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且PTAT＝5－12.则下列关系中正确的是()A.BP→－TS→＝5＋12RS→B．CQ→＋TP→＝5＋12TS→C.ES→－AP→＝5－12BQ→D．AT→＋BQ→＝5－12CR→解析：选A.由题意得，BP→－TS→＝TE→－TS→＝SE→＝RS→5－12＝5＋12RS→，所以A正确；CQ→＋TP→＝PA→＋TP→＝TA→＝5＋12ST→，所以B错误；ES→－AP→＝RC→－QC→＝RQ→＝5－12QB→，所以C错误；AT→＋BQ→＝SD→＋RD→，5－12CR→＝RS→＝RD→－SD→，若AT→＋BQ→＝5－12CR→，则SD→＝0，不合题意，所以D错误．故选A.2．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC→＝3CD→，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若AO→＝xAB→＋(1－x)AC→，则x的取值范围是________．解析：设