2021版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第4讲 三角函数的图象与性质课件 理 北师大

数学第四章三角函数、解三角形第4讲三角函数的图象与性质01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析04高效演练分层突破03方法素养助学培优一、知识梳理1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图在正弦函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：(0，0)，(π2，1)，(π，0)，_________，(2π，0)．(3π2，－1)在余弦函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：(0，1)，(π2，0)，_________，(3π2，0)，(2π，1)．五点法作图有三步：列表、描点、连线(注意光滑)．(π，－1)2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR{x|x∈R，且x≠kπ＋π2，k∈Z}值域___________________________[－1，1][－1，1]R函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx奇偶性___________________________单调性在______________________上是增函数，在_______________________上是减函数在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减函数在____________________________上是增函数奇函数偶函数奇函数[－π2＋2kπ，π2＋2kπ](k∈Z)[π2＋2kπ，3π2＋2kπ](k∈Z)(－π2＋kπ，π2＋kπ)(k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx周期性周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是_________周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是_________周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是_________对称性对称轴是x＝π2＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z)对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ＋π2，0)(k∈Z)对称中心是(kπ2，0)(k∈Z)2π2ππ常用结论1．函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期T＝2π|ω|，函数y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期T＝π|ω|.2．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14周期．正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期．3．三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式．二、教材衍化1．若函数y＝2sin2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则T＝________，A＝________．解析：最小正周期T＝2π2＝π，最大值A＝2－1＝1.答案：π12．下列关于函数y＝4sinx，x∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是________(填序号)．①在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数；②在－π2，π2上是增函数，在－π，－π2及π2，π上是减函数；③在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数；④在π2，π及－π，－π2上是增函数，在－π2，π2上是减函数．解析：函数y＝4sinx在－π，－π2和π2，π上是减少的，在－π2，π2上是增加的．答案：②3．y＝tan2x的定义域是________．解析：由2x≠kπ＋π2，k∈Z，得x≠kπ2＋π4，k∈Z，所以y＝tan2x的定义域是xx≠kπ2＋π4，k∈Z.答案：xx≠kπ2＋π4，k∈Z一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y＝sinx在第一、第四象限是增函数．()(2)余弦函数y＝cosx的对称轴是y轴．()(3)正切函数y＝tanx在定义域内是增函数．()(4)已知y＝ksinx＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.()(5)y＝sin|x|是偶函数．()(6)若sinx22，则xπ4.()×√××××二、易错纠偏常见误区(1)忽视y＝Asinx(或y＝Acosx)中A对函数单调性的影响；(2)忽视定义域的限制；(3)忽视正切函数的周期；(4)不化为同名函数以及同一单调区间导致比较大小出错．1．函数y＝1－2cosx的减区间为________．解析：函数y＝1－2cosx的减区间为函数y＝cosx的增区间．答案：[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)2．函数f(x)＝3sin(2x－π6)在区间[0，π2]上的值域为________．解析：当x∈[0，π2]时，2x－π6∈[－π6，5π6]，所以sin2x－π6∈[－12，1]，故3sin2x－π6∈[－32，3]，所以函数f(x)在区间[0，π2]上的值域是[－32，3]．答案：[－32，3]3．函数y＝tanx＋π4图象的对称中心是________．解析：由x＋π4＝k2π，得x＝k2π－π4，k∈Z.答案：kπ2－π4，0(k∈Z)4．cos23°，sin68°，cos97°的大小关系是________．解析：sin68°＝cos22°，又y＝cosx在[0°，180°]上是减函数，所以sin68°cos23°cos97°.答案：sin68°cos23°cos97°三角函数的定义域(自主练透)1．函数f(x)＝－2tan2x＋π6的定义域是()A.xx≠π6B.xx≠－π12C.xx≠kπ＋π6(k∈Z)D.xx≠kπ2＋π6(k∈Z)解析：选D.由2x＋π6≠kπ＋π2，得x≠kπ2＋π6(k∈Z)．2．函数y＝lgsinx＋cosx－12的定义域为________．解析：要使函数有意义，则有sinx0，cosx－12≥0，即sinx0，cosx≥12，解得2kπxπ＋2kπ，－π3＋2kπ≤x≤π3＋2kπ(k∈Z)，所以2kπx≤π3＋2kπ，k∈Z.所以函数y的定义域为x2kπx≤π3＋2kπ，k∈Z.答案：x2kπx≤π3＋2kπ，k∈Z3．(一题多解)函数y＝sinx－cosx的定义域为________．解析：法一：要使函数有意义，必须使sinx－cosx≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示．在[0，2π]内，满足sinx＝cosx的x为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为{x|2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k∈Z}．法二：利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．所以定义域为{x|2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k∈Z}．法三：sinx－cosx＝2sin(x－π4)≥0，将x－π4视为一个整体，由正弦函数y＝sinx的图象和性质可知2kπ≤x－π4≤π＋2kπ(k∈Z)，解得2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4(k∈Z)．所以定义域为{x|2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k∈Z}．答案：{x|2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k∈Z}求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．三角函数的值域(师生共研)(1)已知函数f(x)＝cosxsin2x，则函数f(x)的最大值为________．(2)已知函数f(x)＝(sinx＋cosx)2＋cos2x，求f(x)在区间0，π2上的最大值和最小值．【解】(1)(换元法)因为y＝f(x)＝cosxsin2x＝2cos2xsinx＝2(1－sin2x)·sinx＝2(sinx－sin3x)，令t＝sinx，则y＝g(t)＝2(t－t3)，－1≤t≤1.令g′(t)＝2(1－3t2)＝0，得t＝±33.当t∈－1，－33时，g′(t)0，g(t)在－1，－33上是减函数；当t∈－33，33时，g′(t)0，g(t)在－33，33上是增函数；当t∈33，1时，g′(t)0，g(t)在33，1上是减函数．由此可知y＝g(t)在t＝33时取得最大值，最大值为439.故f(x)的最大值为439.故填439.(2)因为f(x)＝sin2x＋cos2x＋2sinxcosx＋cos2x＝1＋sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π4＋1，当x∈0，π2时，2x＋π4∈π4，5π4.由正弦函数y＝sinx在π4，5π4上的图象知，当2x＋π4＝π2，即x＝π8时，f(x)取得最大值2＋1；当2x＋π4＝5π4，即x＝π2时，f(x)取最小值0.综上，f(x)在0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0.求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型(1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．(3)形如y＝asin3x＋bsin2x＋csinx＋d，类似于(2)进行换元，然后用导数法求最值．1．若函数f(x)＝(1＋3tanx)cosx，－π3≤x≤π6，则f(x)的最大值为()A．1B．2C.3D．3＋1解析：选C.f(x)＝(1＋3tanx)cosx＝cosx＋3sinx＝2sinx＋π6.因为－π3≤x≤π6，所以－π6≤x＋π6≤π3，故当x＝π6时，f(x)取最大值3，故选C.2．函数f(x)＝sin2x＋3sinxcosx在区间－π3，m上的最大值为32，求m的最小值．解：f(x)＝12－12cos2x＋32sin2x＝sin2x－π6＋12.由题意知－π3≤x≤m.所以－5π6≤2x－π6≤2m－π6.要使得f(x)在－π3，m上的最大值为32，则sin2x－π6在－π3，m上的最大值为1.所以2m－π6≥π2，即m≥π3.所以m的最小值为π3.函数的单调性(多维探究)角度一求三角函数的单调区间(1)(2019·高考全国卷Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间π4，π2单调递增的是()A．f(x)＝|cos2x|B．f(x)＝|sin2x|C．f(x)＝cos|x|D．f(x)＝sin|x|(2)函数y＝12sinx＋32cosx(x∈[0，π2])的增区间是________．【解析】(1)A中，函数f(x)＝|cos2x|的周期为π2，当x∈π4，π2时，2x∈π2，π，函数f(x)是增加的，故A正确；B中，函数f(x)＝|sin2x|的周期为π2，当x∈π4，π2时，2x∈π2，π，函数f(x)是减少的，故B不正确；C中，函数f(x)＝cos|x|＝cosx的周期为2π，故C不正确；D中，f(x)＝sin|x|＝sinx，x≥0，－sinx，x0，由正弦函数图象知，在x≥0和x0时，f(x)均以2π为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故D不正确．故选A.(2)因为y＝12sinx＋32cosx＝sin(x＋π3)，由2kπ－π2≤x＋π3≤2kπ＋π2(k∈Z)，解得2kπ－5π6≤x≤2kπ＋π6(k∈Z)，所以函数的增区间为[2kπ－5π6，2kπ＋π6](k∈Z)，又x∈[0，π2]，所以增区间为[0，π6]．【答案】(1)A(2)[0，π6]三角函数单调性的求法(1)形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数的单调性问题，一般是将ωx＋φ看成一个整体，再结合图象利用y＝sinx的单调性求解．(2)如果函数中自变量的系数为负值，要根据诱导公式