2021版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第3讲 简单的三角恒等变形 第1课时 两角和

数学第四章三角函数、解三角形第3讲简单的三角恒等变形第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析03高效演练分层突破一、知识梳理1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)：cos(α－β)＝_____________________________．C(α＋β)：cos(α＋β)＝_____________________________．S(α＋β)：sin(α＋β)＝_____________________________．S(α－β)：sin(α－β)＝_____________________________．cosαcosβ＋sinαsinβcosαcosβ－sinαsinβsinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβT(α＋β)：tan(α＋β)＝__________________α，β，α＋β≠π2＋kπ，k∈Z.T(α－β)：tan(α－β)＝_____________α，β，α－β≠π2＋kπ，k∈Z.tanα＋tanβ1－tanαtanβtanα－tanβ1＋tanαtanβ2．二倍角的正弦、余弦、正切公式S2α：sin2α＝_________．C2α：cos2α＝____________＝_______________＝_______________．T2α：tan2α＝________________α≠π4＋kπ2，且α≠kπ＋π2，k∈Z.2sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α2tanα1－tan2α常用结论记准四个必备结论(1)降幂公式：cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2.(2)升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.(3)公式变形：tanα±tanβ＝tan(a±β)(1∓tanαtanβ)．(4)辅助角公式：asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)(其中sinφ＝ba2＋b2，cosφ＝aa2＋b2)．二、教材衍化1．若cosα＝－45.α是第三象限的角，则sinα＋π4＝________．解析：因为α是第三象限角，所以sinα＝－1－cos2α＝－35，所以sinα＋π4＝－35×22＋－45×22＝－7210.答案：－72102．sin347°cos148°＋sin77°·cos58°＝________．解析：sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin77°cos58°＝(－cos77°)·(－sin58°)＋sin77°cos58°＝sin58°cos77°＋cos58°sin77°＝sin(58°＋77°)＝sin135°＝22.答案：223．tan20°＋tan40°＋3tan20°·tan40°＝________．解析：因为tan60°＝tan(20°＋40°)＝tan20°＋tan40°1－tan20°tan40°，所以tan20°＋tan40°＝tan60°(1－tan20°tan40°)＝3－3tan20°tan40°，所以原式＝3－3tan20°tan40°＋3tan20°tan40°＝3.答案：3一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．()(2)对任意角α都有1＋sinα＝sinα2＋cosα22.()(3)y＝3sinx＋4cosx的最大值是7.()(4)公式tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．()√√××二、易错纠偏常见误区(1)不会逆用公式，找不到思路；(2)不会合理配角出错；(3)忽视角的范围用错公式．1．化简：sin50°sin65°·1－cos50°＝________．解析：原式＝cos40°cos25°1－cos50°＝cos40°cos25°·2sin25°＝cos40°22sin50°＝2.答案：22．若tanα＝3，tan(α－β)＝2，则tanβ＝________．解析：tanβ＝tan[α－(α－β)]＝tanα－tan(α－β)1＋tanα·tan(α－β)＝3－21＋3×2＝17.答案：173．已知θ∈0，π2，且sinθ－π4＝210，则tan2θ＝________．解析：法一：sinθ－π4＝210，得sinθ－cosθ＝15，①θ∈0，π2，①平方得2sinθcosθ＝2425，可求得sinθ＋cosθ＝75，所以sinθ＝45，cosθ＝35，所以tanθ＝43，tan2θ＝2tanθ1－tan2θ＝－247.法二：因为θ∈0，π2且sinθ－π4＝210，所以cosθ－π4＝7210，所以tanθ－π4＝17＝tanθ－11＋tanθ，所以tanθ＝43.故tan2θ＝2tanθ1－tan2θ＝－247.答案：－247和差公式的直接应用(自主练透)1．已知sinα＝35，α∈π2，π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为()A．－211B．211C.112D．－112解析：选A.因为sinα＝35，α∈π2，π，所以cosα＝－1－sin2α＝－45，所以tanα＝sinαcosα＝－34.因为tan(π－β)＝12＝－tanβ，所以tanβ＝－12，则tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝－211.2．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知α∈0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝()A.15B．55C.33D．255解析：选B.由2sin2α＝cos2α＋1，得4sinαcosα＝1－2sin2α＋1，即2sinαcosα＝1－sin2α.因为α∈0，π2，所以cosα＝1－sin2α，所以2sinα1－sin2α＝1－sin2α，解得sinα＝55，故选B.3．已知α∈π2，π，sinα＝55.(1)求sinπ4＋α的值；(2)求cos5π6－2α的值．解：(1)因为α∈π2，π，sinα＝55，所以cosα＝－1－sin2α＝－255，故sinπ4＋α＝sinπ4cosα＋cosπ4sinα＝22×－255＋22×55＝－1010.(2)由(1)知sin2α＝2sinαcosα＝2×55×－255＝－45，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×552＝35，所以cos5π6－2α＝cos5π6cos2α＋sin5π6sin2α＝－32×35＋12×－45＝－4＋3310.三角函数公式的应用策略(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．三角函数公式的逆用与变形用(多维探究)角度一公式的逆用(1)化简sin10°1－3tan10°＝________．(2)在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC＝________．【解析】(1)sin10°1－3tan10°＝sin10°cos10°cos10°－3sin10°＝2sin10°cos10°412cos10°－32sin10°＝sin20°4sin(30°－10°)＝14.(2)由tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，可得tanA＋tanB1－tanAtanB＝－1，即tan(A＋B)＝－1，又A＋B∈(0，π)，所以A＋B＝3π4，则C＝π4，cosC＝22.【答案】(1)14(2)22角度二公式的变形用(1)化简sin235°－12cos10°cos80°＝________．(2)化简sin2α－π6＋sin2α＋π6－sin2α的结果是________．【解析】(1)sin235°－12cos10°cos80°＝1－cos70°2－12cos10°sin10°＝－12cos70°12sin20°＝－1.(2)原式＝1－cos2α－π32＋1－cos2α＋π32－sin2α＝1－12cos2α－π3＋cos2α＋π3－sin2α＝1－cos2α·cosπ3－sin2α＝1－cos2α2－1－cos2α2＝12.【答案】(1)－1(2)12(1)和差角公式的常见变形①sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ；②cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ；③tanα±tanβ＝tan(α±β)·(1∓tanαtanβ)．(2)二倍角正、余弦公式的常见变形方式①配方变形：1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2；②因式分解变形：cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α＝cos2α－sin2α＝(cosα＋sinα)(cosα－sinα)；③降幂扩角变形：cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2；④升幂缩角变形：1＋cosα＝2cos2α2，1－cosα＝2sin2α2；⑤公式变形：cosα＝sin2α2sinα，sinα＝sin2α2cosα.1．(一题多解)3cos15°－4sin215°cos15°＝()A.12B．22C．1D．2解析：选D.法一：3cos15°－4sin215°cos15°＝3cos15°－2sin15°·2sin15°cos15°＝3cos15°－2sin15°·sin30°＝3cos15°－sin15°＝2cos(15°＋30°)＝2cos45°＝2.故选D.法二：因为cos15°＝6＋24，sin15°＝6－24，所以3cos15°－4sin215°·cos15°＝3×6＋24－4×6－242×6＋24＝6＋24×(3－2＋3)＝6＋24×(23－2)＝2.故选D.2．计算sin110°sin20°cos2155°－sin2155°的值为________．解析：sin110°sin20°cos2155°－sin2155°＝sin70°sin20°cos310°＝cos20°sin20°cos50°＝12sin40°sin40°＝12.答案：12和差公式的灵活运用(多维探究)角度一变角问题(1)设α，β都是锐角，且cosα＝55，sin(α＋β)＝35，则cosβ＝________．(2)已知cos(75°＋α)＝13，则cos(30°－2α)的值为________．【解析】(1)依题意得sinα＝1－cos2α＝255，因为sin(α＋β)＝35sinα且α＋βα，所以α＋β∈π2，π，所以cos(α＋β)＝－45.于是cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－45×55＋35×255＝2525.(2)cos(75°＋α)＝sin(15°－α)＝13，所以cos(30°－2α)＝1－2sin2(15°－α)＝1－29＝79.【答案】(1)2525(2)79角度二变名问题求值：1＋cos20°2sin20°－sin10°1tan5°－tan5°.【解】原式＝2cos210°2×2sin10°cos10°－sin10°cos5°sin5°－sin5°cos5°＝cos10°2sin10°－sin10°·cos25°－sin25°sin5°cos5°＝cos10°2sin10°－sin10°·cos10°12sin10°