2021版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第2讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式课件

数学第四章三角函数、解三角形第2讲同角三角函数的基本关系及诱导公式01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析03高效演练分层突破一、知识梳理1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：___________________．(2)商数关系：_______________________________________．sin2α＋cos2α＝1sinαcosα＝tanα(α≠π2＋kπ，k∈Z)2．三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sinα_____________________________________________余弦____________________________________________________正切tanα___________________________口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限－sinα－sinαsinαcosαcosαcosα－cosαcosα－cosαsinα－sinαtanα－tanα－tanα常用结论1．诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．2．同角三角函数的基本关系式的几种变形(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)；(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.(2)sinα＝tanαcosαα≠π2＋kπ，k∈Z.(3)sin2α＝sin2αsin2α＋cos2α＝tan2αtan2α＋1；cos2α＝cos2αsin2α＋cos2α＝1tan2α＋1.二、教材衍化1．若sinα＝55，π2απ，则tanα＝________．解析：因为π2απ，所以cosα＝－1－sin2α＝－255，所以tanα＝sinαcosα＝－12.答案：－122．已知tanα＝2，则sinα＋cosαsinα－cosα的值为________．解析：原式＝tanα＋1tanα－1＝2＋12－1＝3.答案：33．化简cosα－π2sin52π＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________．解析：原式＝sinαcosα·(－sinα)·cosα＝－sin2α.答案：－sin2α一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．()(2)六组诱导公式中的角α可以是任意角．()(3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．()(4)若sin(kπ－α)＝13(k∈Z)，则sinα＝13.()×√√×二、易错纠偏常见误区(1)平方关系没有考虑角的范围导致出错；(2)不会运用消元的思想；(3)π±α的形式没有把k按奇数和偶数进行分类讨论导致出错．1．已知sinαcosα＝18，且5π4α3π2，则cosα－sinα＝______．解析：因为5π4α3π2，所以cosα0，sinα0且cosαsinα，所以cosα－sinα0.又(cosα－sinα)2＝1－2sinα·cosα＝1－2×18＝34，所以cosα－sinα＝32.答案：322．已知tanx＝2，则1＋sin2x的值为________．解析：1＋sin2x＝cos2x＋2sin2x＝cos2x＋2sin2xsin2x＋cos2x＝1＋2tan2x1＋tan2x＝95.答案：953．已知A＝sin(kπ＋α)sinα＋cos(kπ＋α)cosα(k∈Z)，则A的值构成的集合是________．解析：k＝2n(n∈Z)时，A＝sin(2nπ＋α)sinα＋cos(2nπ＋α)cosα＝sinαsinα＋cosαcosα＝2.当k＝2n＋1(n∈Z)时，A＝sin(π＋α)sinα＋cos(π＋α)cosα＝－sinαsinα＋－cosαcosα＝－1＋(－1)＝－2.答案：{2，－2}同角三角函数基本关系式的应用(多维探究)角度一“知一求二”问题(1)已知cosα＝k，k∈R，α∈π2，π，则sin(π＋α)＝()A．－1－k2B．1－k2C．±1－k2D．－k(2)若α∈π2，π，sin(π－α)＝35，则tanα＝()A．－43B．43C．－34D．34【解析】(1)由cosα＝k，α∈π2，π得sinα＝1－k2，所以sin(π＋α)＝－sinα＝－1－k2.故选A.(2)因为α∈π2，π，sinα＝35，所以cosα＝－45，所以tanα＝－34.【答案】(1)A(2)C利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些问题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．角度二弦切互化(1)已知sinα＋3cosα3cosα－sinα＝5，则cos2α＋12sin2α的值是()A.35B．－35C．－3D．3(2)已知θ为第四象限角，sinθ＋3cosθ＝1，则tanθ＝________．【解析】(1)由sinα＋3cosα3cosα－sinα＝5得tanα＋33－tanα＝5，可得tanα＝2，则cos2α＋12sin2α＝cos2α＋sinαcosα＝cos2α＋sinαcosαcos2α＋sin2α＝1＋tanα1＋tan2α＝35.故选A.(2)由(sinθ＋3cosθ)2＝1＝sin2θ＋cos2θ，得6sinθcosθ＝－8cos2θ，又因为θ为第四象限角，所以cosθ≠0，所以6sinθ＝－8cosθ，所以tanθ＝－43.【答案】(1)A(2)－43若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型．角度三sinα±cosα，sinαcosα之间的关系(1)(一题多解)(2020·四川成都二诊)已知α为第二象限角，且sinα＋cosα＝15，则cosα－sinα＝()A.75B．－75C．±75D．－15(2)(2020·河南中原名校联盟联考)已知θ为第二象限角，sinθ，cosθ是关于x的方程2x2＋x＋m＝0(m∈R)的两根，则sinθ－cosθ＝()A.62B．72C.52D．1【解析】(1)法一：(整体代入法)由sinα＋cosα＝15两边同时平方，得1＋2sinαcosα＝125，则2sinαcosα＝－2425，所以(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1＋2425＝4925.因为α为第二象限角，所以cosα－sinα＝－75.故选B.法二：(换元法)sinα＋cosα＝15，①令cosα－sinα＝t.②由①2＋②2，得2sin2α＋2cos2α＝125＋t2，即2＝125＋t2，整理得t2＝2－125＝4925，解得t＝±75.因为α为第二象限角，所以cosα－sinα0，故cosα－sinα＝－75.故选B.法三：(列方程法)由sinα＋cosα＝15两边同时平方，得1＋2sinαcosα＝125，则2sinαcosα＝－2425，即sinαcosα＝－1225.所以sinα，cosα是方程x2－15x－1225＝0的两根，解方程得x1＝－35，x2＝45.因为α是第二象限角，所以sinα＝45，cosα＝－35，所以cosα－sinα＝－75.故选B.(2)因为sinθ，cosθ是方程2x2＋x＋m＝0(m∈R)的两根，所以sinθ＋cosθ＝－12，sinθ·cosθ＝m2，可得(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθ·cosθ＝1＋m＝14，解得m＝－34.因为θ为第二象限角，所以sinθ0，cosθ0，即sinθ－cosθ0，因为(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθ·cosθ＝1－m＝1＋34＝74，所以sinθ－cosθ＝72.故选B.【答案】(1)B(2)B对于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα这三个式子，知一可求二，若令sinα＋cosα＝t，则sinαcosα＝t2－12，sinα－cosα＝±2－t2(注意根据α的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用．1．已知sin(π＋α)＝－13，则tan(π2－α)的值为()A．22B．－22C.24D．±22解析：选D.因为sin(π＋α)＝－13，所以sinα＝13，则cosα＝±223，所以tan(π2－α)＝sin(π2－α)cos(π2－α)＝cosαsinα＝±22.故选D.2．(2020·安阳模拟)已知sinx＋cosx＝3－12，x∈(0，π)，则tanx＝()A．－33B．33C.3D．－3解析：选D.因为sinx＋cosx＝3－12，且x∈(0，π)，所以1＋2sinxcosx＝1－32，所以2sinxcosx＝－320，所以x为钝角，所以sinx－cosx＝(sinx－cosx)2＝1＋32，结合已知解得sinx＝32，cosx＝－12，则tanx＝sinxcosx＝－3.3．若3sinα＋cosα＝0，则1cos2α＋2sinαcosα的值为________．解析：3sinα＋cosα＝0⇒cosα≠0⇒tanα＝－13，1cos2α＋2sinαcosα＝cos2α＋sin2αcos2α＋2sinαcosα＝1＋tan2α1＋2tanα＝1＋－1321－23＝103.答案：103诱导公式的应用(多维探究)角度一公式的直接应用设f(α)＝2sin(π＋α)cos(π－α)－cos(π＋α)1＋sin2α＋cos3π2＋α－sin2π2＋α(1＋2sinα≠0)，则f－23π6＝______．【解析】因为f(α)＝(－2sinα)(－cosα)＋cosα1＋sin2α＋sinα－cos2α＝2sinαcosα＋cosα2sin2α＋sinα＝cosα(1＋2sinα)sinα(1＋2sinα)＝1tanα，所以f－23π6＝1tan－23π6＝1tan－4π＋π6＝1tanπ6＝3.【答案】3角度二“整体代换”的应用已知cosπ6－θ＝a，则cos5π6＋θ＋sin2π3－θ的值是________．【解析】因为cos5π6＋θ＝cosπ－π6－θ＝－cosπ6－θ＝－a，sin2π3－θ＝sinπ2＋π6－θ＝cosπ6－θ＝a，所以cos5π6＋θ＋sin2π3－θ＝0.【答案】0应用诱导公式化简求值的注意事项(1)已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用．(2)对给定的式子进行化简或求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化．特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名出错．1．(2020·江西临川第一中学等九校3月联考)已知α∈(0，π)，且cosα＝－1517，则sinπ2＋α·tan(π＋α)＝()A．－1517B．1517C．－817D．817解析：选D.sinπ2＋α·tan(π＋α)＝cosα·tanα＝sinα，因为α∈(0，π)，且cosα＝－1517，所以sinα＝1－cos2α＝1－－15172＝817，即sinπ2＋α·tan(π＋α)＝81