2021版高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第8讲 离散型随机变量的均值与

数学第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第8讲离散型随机变量的均值与方差、正态分布01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析04高效演练分层突破03方法素养助学培优一、知识梳理1．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为Xa1a2…arPp1p2…pr(1)均值：称EX＝__________________________为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的____________．a1p1＋a2p2＋…＋arpr平均水平(2)方差：DX＝E(X－EX)2＝∑ri＝1(ai－EX)2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值EX的平均____________．偏离程度2．均值与方差的性质（1）E（aX＋b）＝____________.（2）D（aX＋b）＝______.(a，b为常数)aEX＋ba2DX3．超几何分布与二项分布的均值XX服从参数为N，M，n的超几何分布X～B(n，p)EXnMN______np4．正态曲线的特点(1)曲线位于x轴_________，与x轴不相交．(2)曲线是单峰的，它关于直线_________对称．(3)曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π.(4)曲线与x轴之间的面积为_________．(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移．(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越_________；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越_________．上方x＝μ1集中分散常用结论均值与方差的七个常用性质若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则(1)Ek＝k，Dk＝0，其中k为常数．(2)E(aX＋b)＝aEX＋b，D(aX＋b)＝a2DX．(3)E(X1＋X2)＝EX1＋EX2．(4)DX＝EX2－(EX)2.(5)若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝EX1·EX2．(6)若X服从两点分布，则EX＝p，DX＝p(1－p)．(7)若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则EX＝np，DX＝np(1－p)．二、教材衍化1．已知X的分布列为X－101P121316设Y＝2X＋3，则EY＝________．解析：EX＝－12＋16＝－13，EY＝E(2X＋3)＝2EX＋3＝－23＋3＝73.答案：732．甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其分布列分别为：X0123P0.40.30.20.1Y012P0.30.50.2若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是________．解析：EX＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1.EY＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，因为EYEX．所以乙技术好．答案：乙3．已知随机变量X服从正态分布X～N(3，1)，且P(X2c－1)＝P(Xc＋3)，则c＝________．解析：因为X～N(3，1)，所以正态曲线关于x＝3对称，且P(X2c－1)＝P(Xc＋3)，所以2c－1＋c＋3＝3×2，所以c＝43.答案：43一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定．()(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．()(3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差．()√√√(4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．()(5)均值是算术平均数概念的推广，与概率无关．()√×二、易错纠偏常见误区(1)期望、方差的性质不熟导致错误；(2)二项分布的数学期望公式用法不当；(3)求错分布列，导致Eξ出错．1．已知两个随机变量X，Y满足X＋2Y＝4，且X～N(1，22)，则EY，DY依次是________．解析：由X～N(1，22)得EX＝1，DX＝4.又X＋2Y＝4，所以Y＝2－X2，所以EY＝2－12EX＝32，DY＝14DX＝1.答案：32，12．在一次招聘中，主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题．乙能正确完成每道题的概率为23，且每道题完成与否互不影响．记乙能答对的题数为Y，则Y的数学期望为________．解析：由题意知Y的可能取值为0，1，2，3，且Y～B3，23，则EY＝3×23＝2.答案：23．一个人将编号为1，2，3，4的四个小球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时就放对了，否则就放错了．设放对个数记为ξ，则ξ的期望值为________．解析：将四个不同小球放入四个不同盒子，每个盒子放一个小球，共有A44种不同放法，放对的个数ξ可取的值有0，1，2，4，其中P(ξ＝0)＝9A44＝38，P(ξ＝1)＝C14×2A44＝13，P(ξ＝2)＝C24A44＝14，P(ξ＝4)＝1A44＝124，Eξ＝0×38＋1×13＋2×14＋4×124＝1.答案：1离散型随机变量的均值(师生共研)(2020·西安模拟)从A地到B地共有两条路径L1和L2，经过这两条路径所用的时间互不影响，且经过L1和L2所用时间的频率分布直方图分别如图①和②.现甲选择L1或L2在40分种内从A地到B地，乙选择L1或L2在50分钟内从A地到B地．(1)求图①中a的值；并回答，为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到B地，甲和乙应如何选择各自的路径？(2)用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到B地的人数，针对(1)中的选择方案，求X的分布列和数学期望．【解】(1)(0.01＋0.02×3＋a)×10＝1，解得a＝0.03，用Ai表示甲选择Li(i＝1，2)在40分钟内从A地到B地，用Bi表示乙选择Li(i＝1，2)在50分种内从A地到B地，则P(A1)＝(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(A2)＝(0.01＋0.04)×10＝0.5，P(A1)P(A2)，所以甲应选择L1.又P(B1)＝(0.01＋0.02＋0.03＋0.02)×10＝0.8，P(B2)＝(0.01＋0.04＋0.04)×10＝0.9，P(B2)P(B1)，所以乙应选择L2.(2)用M，N分别表示针对(1)的选择方案，甲、乙两人在各自允许的时间内赶到B地，由(1)知P(M)＝0.6，P(N)＝0.9，X的可能取值为0，1，2.由题意知，M，N相互独立，所以P(X＝0)＝0.4×0.1＝0.04，P(X＝1)＝0.4×0.9＋0.6×0.1＝0.42，P(X＝2)＝0.6×0.9＝0.54，所以X的分布列为X012P0.040.420.54所以EX＝0×0.04＋1×0.42＋2×0.54＝1.5.求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算．随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化．某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店．(1)若从10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率；(2)若从这10名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求X的分布列和数学期望．解：(1)设“随机抽取2名，其中男、女各一名，至少1名倾向于选择实体店”为事件A，则A表示事件“随机抽取2名，其中男、女各一名，都倾向于选择网购”，则P(A)＝1－P(A)＝1－C13C12C15C15＝1925.(2)X所有可能的取值为0，1，2，3，且P(X＝k)＝Ck3C3－k7C310，则P(X＝0)＝C03C37C310＝724，P(X＝1)＝C13C27C310＝2140，P(X＝2)＝C23C17C310＝740，P(X＝3)＝C33C07C310＝1120.所以X的分布列为X0123P72421407401120EX＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910.二项分布的均值与方差(典例迁移)雾霾天气对人体健康有伤害，应对雾霾污染、改善空气质量的首要任务是控制PM2.5，要从压减燃煤、严格控车、调整产业、强化管理、联防联控、依法治理等方面采取重大举措，聚焦重点领域，严格考核指标．某省环保部门为加强环境执法监管，派遣四个不同的专家组对A、B、C三个城市进行治霾落实情况抽查．(1)若每个专家组随机选取一个城市，四个专家组选取的城市可以相同，也可以不同，求恰有一个城市没有专家组选取的概率；(2)每一个城市都要由四个专家组分别对抽查情况进行评价，并对所选取的城市进行评价，每个专家组给检查到的城市评价为优的概率为12，若四个专家组均评价为优则检查通过不用复检，否则需进行复检．设需进行复检的城市的个数为X，求X的分布列和期望．【解】(1)随机选取，共有34＝81种不同方法，恰有一个城市没有专家组选取的有C13(C14A22＋C24)＝42种不同方法，故恰有一个城市没有专家组选取的概率为4281＝1427.(2)设事件A：“一个城市需复检”，则P(A)＝1－124＝1516，X的所有可能取值为0，1，2，3，P(X＝0)＝C03·1163＝14096，P(X＝1)＝C13·1162·15161＝454096，P(X＝2)＝C23·1161·15162＝6754096，P(X＝3)＝C33·15163＝33754096.所以X的分布列为X0123P14096454096675409633754096X～B3，1516，EX＝3×1516＝4516.(1)求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤①理解ξ的意义，写出ξ可能的全部取值；②求ξ取每个值的概率；③写出ξ的分布列；④由均值的定义求Eξ；⑤由方差的定义求Dξ．(2)二项分布的期望与方差如果ξ～B(n，p)，则用公式Eξ＝np；Dξ＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．[提醒]均值EX由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而EX是不变的，它描述X取值的平均水平．电子商务在我国发展迅猛，网上购物成为很多人的选择．某购物网站组织了一次促销活动，在网页的界面上打出广告：高级口香糖，10元钱三瓶，有8种口味供您选择(其中有1种为草莓口味)．小王点击进入网页一看，只见有很多包装完全相同的瓶装口香糖排在一起，看不见具体口味，由购买者随机点击进行选择(各种口味的高级口香糖均超过三瓶，且各种口味的瓶数相同，每点击选择一瓶后，网页自动补充相应的口香糖)．(1)小王花10元钱买三瓶，请问小王收到货的组合方式共有多少种？(2)小王花10元钱买三瓶，由小王随机点击三瓶，请列出有小王喜欢的草莓味口香糖的瓶数ξ的分布列，并计算其数学期望和方差．解：(1)若三瓶口味均不一样，有C38＝56(种)；若其中两瓶口味一样，有C18C17＝56(种)；若三瓶口味一样，有8种．故小王收到货的组合方式共有56＋56＋8＝120(种)．(2)ξ所有可能的取值为0，1，2，3.因为各种口味的高级口香糖均超过3瓶，且各种口味的瓶数相同，有8种不同口味，所以小王随机点击一次是草莓味口香糖的概率为18，即随机变量ξ服从二项分布，即ξ～B3，18.P(ξ＝0)＝C03×180×1－183＝343512，P(ξ＝1)＝C13×181×1－182＝147512，P(ξ＝2)＝C23×182×1－181＝21512，P(ξ＝3)＝C33×183×1－180＝1512.所以ξ的分布列为ξ0123P343512147512215121512数学期望Eξ＝np＝3