2021版高考数学一轮复习 第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布 11.5 随机变量及其概率分

第五节随机变量及其概率分布内容索引必备知识·自主学习核心考点·精准研析核心素养·微专题核心素养测评必备知识·自主学习【教材·知识梳理】1.随机变量X的概率分布(1)概率分布列:一般地,假定随机变量X有n个不同的取值,它们分别是x1,x2,…,xn,且P(X=xi)=__,i=1,2,3,…,n,①则称①为随机变量X的___________,简称为X的分布列.pi概率分布列必备知识·自主学习(2)概率分布表:Xx1x2…xnPp1p2…pn通常将上表称为随机变量X的___________.随机变量X的概率分布列、概率分布表都叫做随机变量X的概率分布.(3)分布列的两点性质:①pi___0(i=1,2,…,n);②p1+p2+…+pn=__.概率分布表≥1必备知识·自主学习2.0-1分布(或两点分布)随机变量X只取两个可能值0和1,这一类概率分布称为0-1分布或两点分布,并记为_______分布或________分布,此处“～”表示_____.X～0-1X～两点服从必备知识·自主学习3.超几何分布(1)概念:一般地,若一个随机变量X的分布列为P(X=r)=________,其中r=0,1,2,3,…,l,l=min(n,M),则称X服从超几何分布.(2)记法:X服从超几何分布,记为X～_________,并将P(X=r)=_________记为___________.(3)含义:H(r;n,M,N)中,r,n,M,N的含义rnrMNMnNCCCH(n,M,N)rnrMNMnNCCCH(r;n,M,N)必备知识·自主学习【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)抛掷均匀硬币一次,出现正面的次数是随机变量.()(2)小明住在石家庄,工作在北京,已知石家庄到北京的高铁每20分钟一班,则小明到达石家庄高铁车站需要等候的时间X是离散型随机变量.()(3)某人射击时命中的概率为0.5,此人射击三次命中的次数X服从两点分布.()必备知识·自主学习(4)从4名男演员和3名女演员中选出4名,其中女演员的人数X服从超几何分布.()(5)离散型随机变量的分布列中,随机变量取各个值的概率之和可以小于1.()(6)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.()必备知识·自主学习提示:(1)√.正面向上的次数为0,1,所以是随机变量.(2)×.等候时间X不是离散型随机变量,因为X可以是[0,20]内的任何一个实数.(3)×.命中的次数X的取值是0,1,2,3,有4个数,而两点分布只有0,1,所以X不服从两点分布.(4)√.X的值为0,1,2,3,符合超几何分布的特征.(5)×.取各个值的概率之和为1.(6)√.取各个值时的事件两两互斥,它们的并集是必然事件.必备知识·自主学习【易错点索引】序号易错警示典题索引1辨别离散型随机变量时出错考点一、T12应用分布列的性质时出错考点一、T23求分布列、超几何分布等计算概率出错考点一、T4考点二、例24两点分布的概念理解错误考点二、例15交汇问题中计算出错考点三、角度1,2,3必备知识·自主学习【教材·基础自测】1.(选修2-3P49例1改编)设X是一个离散型随机变量,其分布列为:则q的值为()X-101P2q216111A.1B.C.D.236113q6必备知识·自主学习【解析】选B.由分布列的性质知2q2+-3q+=1,解得q=1或q=,又因为2q21,01,所以舍去q=1,所以q=.11616113q61212必备知识·自主学习2.(选修2-3P51例3改编)设随机变量X的概率分布列为则P(|X-3|=1)=________.X1234Pm131416必备知识·自主学习【解析】由解得m=,P(|X-3|=1)=P(X=2)+P(X=4)=答案:111m1346＋＋＋＝，14115.4612＋＝512必备知识·自主学习3.(选修2-3P55练习T2改编)某项大型赛事,需要从高校选拔青年志愿者,某大学学生实践中心积极参与,从8名学生会干部(其中男生5名,女生3名)中选3名参加志愿者服务活动.若所选3名学生中的女生人数为X,求X的分布列.必备知识·自主学习【解析】因为8名学生会干部中有5名男生,3名女生,所以X的分布列服从参数为N=8,M=3,n=3的超几何分布.X的所有可能取值为0,1,2,3,其中P(X=i)=(i=0,1,2,3),则P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==.所以X的分布列为X0123Pi3i3538CCC033538CCC528123538CCC1528213538CCC1556303538CCC15652815281556156核心素养·微专题思想方法离散型随机变量及其分布列中的分类与整合思想【典例】在一个盒子中,放有标号分别为1,2,3的三张卡片,现从这个盒子中,有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x,y,记X=|x-2|+|y-x|.(1)求随机变量X的最大值,并求事件“X取得最大值”的概率.(2)求随机变量X的分布列.核心素养·微专题【解析】(1)由题意知,x,y可能的取值为1,2,3,则|x-2|≤1,|y-x|≤2,所以X≤3,且当x=1,y=3或x=3,y=1时,X=3.因此,随机变量X的最大值为3.有放回地抽两张卡片的所有情况有3×3=9(种),所以P(X=3)=,故随机变量X的最大值为3,事件“X取得最大值”的概率为.2929核心素养·微专题(2)X的所有可能取值为0,1,2,3.当X=0时,只有x=2,y=2这一种情况;当X=1时,有x=1,y=1或x=2,y=1或x=2,y=3或x=3,y=3四种情况;当X=2时,有x=1,y=2或x=3,y=2两种情况;当X=3时,有x=1,y=3或x=3,y=1两种情况.所以P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.29291949核心素养·微专题所以X的分布列为:X0123P19492929核心素养·微专题【思想方法指导】分类与整合思想是将较复杂的数学问题分解成若干个基础性问题,通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.解决有关离散型随机变量的分布列问题时,要注意以下几点:(1)仔细审题,明确随机变量的所有可能取值及其对应事件,做到不重不漏、分类互斥.(2)求事件概率时注意互斥事件和对立事件概率公式的应用.核心素养·微专题【迁移应用】自2013年10月习近平主席提出建设“一带一路”的合作倡议以来,我国积极建立与沿线国家的经济合作伙伴关系.某公司为了扩大生产规模,欲在海上丝绸之路经济带(南线):泉州—福州—广州—海口—北海(广西)—河内—吉隆坡—雅加达—科伦坡—加尔各答—内罗毕—雅典—威尼斯的13个城市中选择3个城市建设自己的工业厂房,根据这13个城市的需求量生产产品,并将其销往这13个城市.核心素养·微专题(1)求所选的3个城市中至少有1个在国内的概率.(2)已知每间工业厂房的月产量为10万件,若一间厂房正常生产,则每月可获得利润100万;若一间厂房闲置,则该厂房每月亏损50万.该公司为了确定建设工业厂房的数目n,统计了近5年来这13个城市中该产品的月需求量数据,得如下频数分布表:月需求量(单位:万件)100110120130月份数6241812核心素养·微专题若以每月需求量的频率代替每月需求量的概率,设该产品每月的总利润为Y,分别求出该公司建设工业厂房的数目n=11,n=12,n=13时,Y的分布列.核心素养·微专题【解析】(1)记事件A为“该公司所选的3个城市中至少有1个在国内”,则P(A)=,所以该公司所选的3个城市中至少有1个在国内的概率为.(2)①当n=11时,月需求量为100万件时,月产量为10×11万件,所以只需要10间厂房正常生产,每月获利10×100万=1000万,另外一间闲置,亏损50万,所以月总利润为1000-50=950万,此时对应的概率为=0.1,同理P(Y=1100)=0.9.38313C1151C143115143660核心素养·微专题Y的分布列为:Y9501100P0.10.9核心素养·微专题②当n=12时,Y的分布列为:③当n=13时,Y的分布列为:Y90010501200P0.10.40.5Y850100011501300P0.10.40.30.2核心素养测评