2021版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第1讲 变化率与导数、导数的计算课件 理 北师大版

数学第三章导数及其应用第1讲变化率与导数、导数的计算01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析03高效演练分层突破一、知识梳理1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝limΔx→0ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx.(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的_________________(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为_________________．(3)函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝_______________________为f(x)的导函数．limΔx→0f（x＋Δx）－f（x）Δx切线的斜率y－y0＝f′(x0)(x－x0)2．基本初等函数的导数公式原函数导函数y＝c(c为常数)y′＝_______y＝xα(α为实数)y′＝_______y＝ax(a0且a≠1)y′＝axlna特别地(ex)′＝exy＝logax(x0，a0，且a≠1)y′＝_______特别地(lnx)′＝1x0αxα－11xlna原函数导函数y＝sinxy′＝__________y＝cosxy′＝___________y＝tanxy′＝1cos2xy＝cotxy′＝－1sin2xcosx－sinx3.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝______________；(2)[f(x)·g(x)]′＝_____________________；(3)f（x）g（x）′＝____________________________(g(x)≠0)．f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)f′（x）g（x）－f（x）g′（x）[g（x）]24．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝___________，即y对x的导数等于______________的导数与______________的导数的乘积．yu′·ux′y对uu对x常用结论1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．2．[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)．3．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．二、教材衍化1．函数y＝xcosx－sinx的导数为()A．xsinxB．－xsinxC．xcosxD．－xcosx解析：选B.y′＝x′cosx＋x(cosx)′－(sinx)′＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.2．曲线y＝1－2x＋2在点(－1，－1)处的切线方程为________．解析：因为y′＝2(x＋2)2，所以y′|x＝－1＝2.故所求切线方程为2x－y＋1＝0.答案：2x－y＋1＝03．有一机器人的运动方程为s＝t2＋3t(t是时间，s是位移)，则该机器人在t＝2时的瞬时速度为________．解析：因为s＝t2＋3t，所以s′＝2t－3t2，所以s′|t＝2＝4－34＝134.答案：134一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．()(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0)．()(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．()(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．()(5)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与过点P(x0，y0)的切线相同．()××√××二、易错纠偏常见误区(1)求导时不能掌握复合函数的求导法则致误；(2)不会用方程法解导数求值．1．已知函数f(x)＝sin2x＋π3，则f′(x)＝________．解析：f′(x)＝[sin2x＋π3]′＝cos2x＋π3·2x＋π3′＝2cos2x＋π3.答案：2cos2x＋π32．设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝f′π2sinx＋cosx，则f′π4＝________．解析：因为f(x)＝f′π2sinx＋cosx，所以f′(x)＝f′π2cosx－sinx，所以f′π2＝f′π2cosπ2－sinπ2，即f′π2＝－1，所以f(x)＝－sinx＋cosx，f′(x)＝－cosx－sinx.故f′π4＝－cosπ4－sinπ4＝－2.答案：－2导数的计算(多维探究)角度一根据求导法则求函数的导数求下列函数的导数：(1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)；(2)y＝sinx21－2cos2x4；(3)y＝3xex－2x＋e；(4)y＝lnxx2＋1；(5)y＝ln2x－12x＋1.【解】(1)因为y＝(3x2－4x)(2x＋1)＝6x3＋3x2－8x2－4x＝6x3－5x2－4x，所以y′＝18x2－10x－4.(2)因为y＝sinx2－cosx2＝－12sinx，所以y′＝－12sinx′＝－12(sinx)′＝－12cosx.(3)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3xexln3＋3xex－2xln2＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2.(4)y′＝(lnx)′(x2＋1)－lnx(x2＋1)′(x2＋1)2＝1x(x2＋1)－2xlnx(x2＋1)2＝x2＋1－2x2lnxx(x2＋1)2.(5)y′＝ln2x－12x＋1′＝[ln(2x－1)－ln(2x＋1)]′＝[ln(2x－1)]′－[ln(2x＋1)]′＝12x－1·(2x－1)′－12x＋1·(2x＋1)′＝22x－1－22x＋1＝44x2－1.角度二抽象函数的导数计算已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，则f′(2)＝________．【解析】因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋1x，所以f′(2)＝4＋3f′(2)＋12＝3f′(2)＋92，所以f′(2)＝－94.【答案】－94导数的计算技巧(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元．1．已知f(x)＝x(2019＋lnx)，若f′(x0)＝2020，则x0＝()A．e2B．1C．ln2D．e解析：选B.因为f(x)＝x(2019＋lnx)，所以f′(x)＝2019＋lnx＋1＝2020＋lnx，又f′(x0)＝2020，所以2020＋lnx0＝2020，所以x0＝1.2．(2020·宜昌模拟)已知f′(x)是函数f(x)的导数，f(x)＝f′(1)·2x＋x2，则f′(2)＝()A.12－8ln21－2ln2B．21－2ln2C.41－2ln2D．－2解析：选C.因为f′(x)＝f′(1)·2xln2＋2x，所以f′(1)＝f′(1)·2ln2＋2，解得f′(1)＝21－2ln2，所以f′(x)＝21－2ln2·2xln2＋2x，所以f′(2)＝21－2ln2×22ln2＋2×2＝41－2ln2.导数的几何意义(多维探究)角度一求切线方程(1)(2019·高考全国卷Ⅰ)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0，0)处的切线方程为________．(2)已知函数f(x)＝xlnx，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为________．【解析】(1)因为y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝3(x2＋3x＋1)ex，所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率k＝y′|x＝0＝3，所以所求的切线方程为y＝3x.(2)因为点(0，－1)不在曲线f(x)＝xlnx上，所以设切点为(x0，y0)．又因为f′(x)＝1＋lnx，所以直线l的方程为y＋1＝(1＋lnx0)x.所以由y0＝x0lnx0，y0＋1＝(1＋lnx0)x0，解得x0＝1，y0＝0.所以直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.【答案】(1)y＝3x(2)x－y－1＝0角度二求切点坐标(2019·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________．【解析】设A(x0，lnx0)，又y′＝1x，则曲线y＝lnx在点A处的切线方程为y－lnx0＝1x0(x－x0)，将(－e，－1)代入得，－1－lnx0＝1x0(－e－x0)，化简得lnx0＝ex0，解得x0＝e，则点A的坐标是(e，1)．【答案】(e，1)角度三求参数(1)(2019·高考全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xlnx在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则()A．a＝e，b＝－1B．a＝e，b＝1C．a＝e－1，b＝1D．a＝e－1，b＝－1(2)(2020·郑州市第一次质量预测)已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)的图象与直线x＋y＋1＝0相切，则实数a的值为________．【解析】(1)因为y′＝aex＋lnx＋1，所以y′|x＝1＝ae＋1，所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为y－ae＝(ae＋1)·(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1，所以ae＋1＝2，b＝－1，解得a＝e－1，b＝－1.(2)设直线x＋y＋1＝0与函数f(x)＝lnx－ax的图象的切点为P(x0，y0)，因为f′(x)＝1x－a，所以由题意，得x0＋y0＋1＝0f′(x0)＝1x0－a＝－1f(x0)＝lnx0－ax0＝y0，解得x0＝1y0＝－2a＝2.【答案】(1)D(2)2角度四导数与函数的图象(1)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()(2)已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________．【解析】(1)不妨设导函数y＝f′(x)的零点依次为x1，x2，x3，其中x10x2x3，由导函数的图象可知，y＝f(x)在(－∞，x1)上为减函数，在(x1，x2)上为增函数，在(x2，x3)上为减函数，在(x3，＋∞)上为增函数，从而排除A，C.y＝f(x)在x＝x1，x＝x3处取到极小值，在x＝x2处取到极大值，又x20，排除B，故选D.(2)由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－13，所以f′(3)＝－13.因为g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，所以g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×－13＝0.【答案】(1)D(2)0导数几何意义的应用类型及求解思路(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)．(2)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由y1＝f(x1)，y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)求解即可．(3)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.(4)函数图像在每一