2021版高考数学一轮复习 第六章 数列 第1讲 数列的概念与简单表示法课件 理 北师大版

数学第六章数列第1讲数列的概念与简单表示法01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析03高效演练分层突破一、知识梳理1．数列的定义、分类与通项公式(1)数列的定义①数列：按照_________排列的一列数；②数列的项：数列中的_________．一定次序每一个数(2)数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数_________无穷数列项数_________项与项间的大小关系递增数列an＋1_________an其中，n∈N+递减数列an＋1_________an常数列an＋1_________an有限无限＝(3)数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与____之间的函数关系可以用一个式子表示或an＝f(n)，那么这个式子叫作这个数列的通项公式．n2．数列的递推公式如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫作数列的递推公式．常用结论1．an与Sn的关系若数列an的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2，n∈N+.即an＝Sn－Sn－1的应用前提是n≥2，n∈N+.2．在数列{an}中，若an最大，则an≥an－1，an≥an＋1，若an最小，则an≤an－1，an≤an＋1.3．数列与函数的关系数列可以看成一类特殊的函数an＝f(n)，它的定义域是正整数集N+或正整数集N+的有限子集1，2，3，4，…，n，所以它的图象是一系列孤立的点，而不是连续的曲线．二、教材衍化1．在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(－1)nan－1(n≥2)，则a5＝________．解析：a2＝1＋(－1)2a1＝2，a3＝1＋(－1)3a2＝12，a4＝1＋(－1)4a3＝3，a5＝1＋(－1)5a4＝23.答案：232．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝________．答案：5n－4一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．()(2)所有数列的第n项都能使用公式表达．()(3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．()(4)1，1，1，1，…，不能构成一个数列．()(5)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．()(6)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意的n∈N+，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.()××√××√二、易错纠偏常见误区(1)忽视数列是特殊的函数，其自变量为正整数集或其子集{1，2，…，n}；(2)求数列前n项和Sn的最值时忽视项为零的情况；(3)根据Sn求an时忽视对n＝1的验证．1．在数列－1，0，19，18，…，n－2n2中，0.08是它的第________项．解析：依题意得n－2n2＝225，解得n＝10或n＝52(舍)．答案：102．在数列{an}中，an＝－n2＋6n＋7，当其前n项和Sn取最大值时，n＝________．解析：由题可知n∈N+，令an＝－n2＋6n＋7≥0，得1≤n≤7(n∈N+)，所以该数列的第7项为零，且从第8项开始an0，则S6＝S7且最大．答案：6或73．已知Sn＝2n＋3，则an＝________．解析：因为Sn＝2n＋3，那么当n＝1时，a1＝S1＝21＋3＝5；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋3－(2n－1＋3)＝2n－1(*)．由于a1＝5不满足(*)式，所以an＝5，n＝1，2n－1，n≥2.答案：5，n＝1，2n－1，n≥2由数列的前几项求数列的通项公式(自主练透)1．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是()A．an＝n2－(n－1)B．an＝n2－1C．an＝n(n＋1)2D．an＝n(n－1)2解析：选C.观察数列1，3，6，10，…可以发现1＝1，3＝1＋2，6＝1＋2＋3，10＝1＋2＋3＋4，…第n项为1＋2＋3＋4＋…＋n＝n(n＋1)2.所以an＝n(n＋1)2.2．数列{an}的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是an＝________．解析：数列{an}的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故an＝2n＋1n2＋1.答案：2n＋1n2＋13．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．(1)－1，7，－13，19，…；(2)0.8，0.88，0.888，…；(3)12，14，－58，1316，－2932，6164，….解：(1)数列中各项的符号可通过(－1)n表示，从第2项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．(2)数列可变为891－110，891－1102，891－1103，…，故an＝891－110n.(3)各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出第2，3，4项的绝对值的分子分别比分母小3.原数列化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，故an＝(－1)n2n－32n.由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N+处理．an与Sn关系的应用(多维探究)角度一利用an与Sn的关系求通项公式an已知数列an的前n项和Sn＝13an＋23，则an的通项公式为an＝________．【解析】当n＝1时，a1＝S1＝13a1＋23，所以a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝13an－13an－1，所以anan－1＝－12，所以数列an为首项a1＝1，公比q＝－12的等比数列，故an＝－12n－1.【答案】－12n－1【迁移探究】(变条件)若将本例中的“Sn＝13an＋23”改为“Sn＝n2－2n＋2”，结论如何？解：当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－3.由于n＝1时，a1＝1≠2×1－3，所以{an}的通项公式为an＝1，n＝1，2n－3，n≥2.角度二利用an与Sn的关系求Sn设Sn是数列{an}的前n项和，Sn≠0，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________．【解析】因为an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，所以Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.因为Sn≠0，所以1Sn－1Sn＋1＝1，即1Sn＋1－1Sn＝－1.又1S1＝－1，所以{1Sn}是首项为－1，公差为－1的等差数列．所以1Sn＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，所以Sn＝－1n.【答案】－1n(1)已知Sn求an的三个步骤①先利用a1＝S1求出a1；②用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；③注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并．(2)Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化．①利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解；②利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．1．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－3，则数列{an}的通项公式an＝________．解析：当n＝1时，a1＝S1＝－1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－3)－(2n－1－3)＝2n－2n－1＝2n－1，a1不适合此等式．所以an＝－1，n＝1，2n－1，n≥2.答案：－1，n＝1，2n－1，n≥22．已知数列{an}中，a1＝1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn≠0，且当n≥2时，有2ananSn－S2n＝1成立，则S2017＝________．解析：当n≥2时，由2ananSn－S2n＝1，得2(Sn－Sn－1)＝(Sn－Sn－1)Sn－S2n＝－SnSn－1，所以2Sn－2Sn－1＝1，又2S1＝2，所以2Sn是以2为首项，1为公差的等差数列，所以2Sn＝n＋1，故Sn＝2n＋1，则S2017＝11009.答案：110093．已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋4a4＋…＋nan＝3n2－2n＋1，求an.解：设a1＋2a2＋3a3＋4a4＋…＋nan＝Tn，当n＝1时，a1＝T1＝3×12－2×1＋1＝2，当n≥2时，nan＝Tn－Tn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，因此an＝6n－5n，显然当n＝1时，不满足上式．故数列{an}的通项公式为an＝2，n＝1，6n－5n，n≥2.由数列的递推关系求通项公式(多维探究)角度一形如an＋1＝anf(n)，求an在数列{an}中，a1＝1，an＝n－1nan－1(n≥2)，求数列{an}的通项公式．【解】因为an＝n－1nan－1(n≥2)，所以an－1＝n－2n－1an－2，an－2＝n－3n－2an－3，…，a2＝12a1.以上(n－1)个式子相乘得an＝a1·12·23·…·n－1n＝a1n＝1n.当n＝1时，a1＝1，上式也成立．所以an＝1n(n∈N+)．根据形如an＋1＝an·f(n)(f(n)是可以求积的)的递推公式求通项公式时，常用累乘法求出ana1与n的关系式，进而得到an的通项公式．角度二形如an＋1＝an＋f(n)，求an设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N+)，求数列{an}的通项公式．【解】由题意有a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)．以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝(n－1)(2＋n)2＝n2＋n－22.又因为a1＝1，所以an＝n2＋n2(n≥2)．因为当n＝1时也满足上式，所以an＝n2＋n2(n∈N+)．根据形如an＋1＝an＋f(n)(f(n)是可以求和的)的递推公式求通项公式时，常用累加法求出an－a1与n的关系式，进而得到an的通项公式．角度三形如an＋1＝pan＋q(p≠0且p≠1)，求an已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式．【解】因为an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1)，所以an＋1＋1an＋1＝3，所以数列{an＋1}为等比数列且公比q＝3，又a1＋1＝2，所以an＋1＝2·3n－1，所以an＝2·3n－1－1(n∈N+)．根据形如an＋1＝pan＋q的递推关系式求通项公式时，一般先构造公比为p的等比数列{an＋x}，即将原递推关系式化为an＋1＋x＝p(an＋x)的形式，再求出数列{an＋x}的通项公式，最后求{an}的通项公式．角度四形如an＋1＝AanBan＋C(A，B，C为常数)，求an已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2anan＋2，求数列{an}的通项公式．【解】因为an＋1＝2anan＋2，a1＝1，所以an≠0，所以1an＋1＝1an＋12，即1an＋1－1an＝12.又a1＝1，则1a1＝1，所以1an是以1为首项，12为公差的等差数列．所以1an＝1a1＋(n－1)×12＝n2＋12.所以an＝2n＋1(n∈N+)．根据形如an＋1＝AanBan＋C(A，B，C为常数)的递推关系式求通项公式时，一般对递推式两边同时取倒数，当A≠C时，化为1an＋1＋x＝CA1an＋x的形式，可构造公比为CA的等比数列1an