2021版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第8讲 函数与方程课件 理 北师大版

数学第二章函数概念与基本初等函数第8讲函数与方程01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析03高效演练分层突破一、知识梳理1．函数的零点(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使_________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)三个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与_________有交点⇔函数y＝f(x)有_________．f(x)＝0x轴零点2．函数零点的判定如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续的一条曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即______________，则在区间________内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．f(a)·f(b)＜0(a，b)3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像与x轴的交点_________，_________(x1，0)无交点零点个数两个一个零个(x1，0)(x2，0)常用结论有关函数零点的三个结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．二、教材衍化1．已知函数y＝f(x)的图象是连续曲线，且有如下的对应值表：x123456y124.435－7414.5－56.7－123.6则函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有()A．2个B．3个C．4个D．5个解析：选B.由零点存在性定理及题中的对应值表可知，函数f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)内均有零点，所以y＝f(x)在[1，6]上至少有3个零点．故选B.2．函数f(x)＝lnx－2x的零点所在的大致范围是()A．(1，2)B．(2，3)C.1e，1和(3，4)D．(4，＋∞)解析：选B.易知f(x)为增函数，由f(2)＝ln2－1＜0，f(3)＝ln3－23＞0，得f(2)·f(3)＜0.故选B.3．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是______．解析：由已知得f′(x)＝ex＋30，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝1e－30，f(0)＝10，因此函数f(x)有且只有一个零点．答案：1一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．()(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)0.()(3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．()(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac0时没有零点．()(5)若函数f(x)在(a，b)上连续单调且f(a)·f(b)0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．()×××√√二、易错纠偏常见误区(1)错用零点存在性定理；(2)误解函数零点的定义；(3)忽略限制条件；(4)错用二次函数在R上无零点的条件．1．函数f(x)＝x＋1x的零点个数是______．解析：函数的定义域为{x|x≠0}，当x0时，f(x)0，当x0时，f(x)0，所以函数没有零点．答案：02．函数f(x)＝x2－3x的零点是______．解析：由f(x)＝0，得x2－3x＝0，即x＝0和x＝3.答案：0和33．若二次函数f(x)＝x2－2x＋m在区间(0，4)上存在零点，则实数m的取值范围是______．解析：二次函数f(x)图象的对称轴方程为x＝1.若在区间(0，4)上存在零点，只需f(1)≤0且f(4)0即可，即－1＋m≤0且8＋m0，解得－8m≤1.答案：(－8，1]4．若二次函数f(x)＝x2＋kx＋k在R上无零点，则实数k的取值范围是______．解析：由题意得Δ＝k2－4k0，解得0k4.答案：(0，4)函数零点所在区间的判断(自主练透)1．设f(x)＝lnx＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)解析：选B.因为f(1)＝ln1＋1－2＝－1＜0，f(2)＝ln2＞0，所以f(1)·f(2)＜0，因为函数f(x)＝lnx＋x－2的图象是连续的，且为增函数，所以f(x)的零点所在的区间是(1，2)．2．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内解析：选A.因为a＜b＜c，所以f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0，由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点．因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A.3．设函数y1＝x3与y2＝12x－2的图象的交点为(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则x0所在的区间是______．解析：令f(x)＝x3－12x－2，则f(x0)＝0，易知f(x)为增函数，有f(1)0，f(2)0，所以x0所在的区间是(1，2)．答案：(1，2)确定函数零点所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．(2)图象法：把方程转化为两个函数，看它的交点所在区间．(3)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(4)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．函数零点的个数(师生共研)(1)函数f(x)＝x2－2，x≤0，2x－6＋lnx，x0的零点个数是______．(2)函数f(x)＝4cos2x2·cosπ2－x－2sinx－|ln(x＋1)|的零点个数为______．【解析】(1)当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－2(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点；当x0时，f′(x)＝2＋1x0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．又因为f(2)＝－2＋ln20，f(3)＝ln30，所以f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.(2)f(x)＝2(1＋cosx)sinx－2sinx－|ln(x＋1)|＝sin2x－|ln(x＋1)|，x－1，函数f(x)的零点个数即为函数y1＝sin2x(x－1)与y2＝|ln(x＋1)|(x－1)的图象的交点个数．分别作出两个函数的图象，如图，可知有两个交点，则f(x)有两个零点．【答案】(1)2(2)2判断函数零点个数的方法(1)解方程法：所对应方程f(x)＝0有几个不同的实数解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．1．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝ex＋x－3，则f(x)的零点个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选C.因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，所以0是函数f(x)的一个零点．当x＞0时，令f(x)＝ex＋x－3＝0.则ex＝－x＋3.分别画出函数y＝ex和y＝－x＋3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f(x)在(0，＋∞)上有一个零点．又根据对称性知，当x＜0时函数f(x)也有一个零点．综上所述，f(x)的零点个数为3.2．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为______．解析：由f(x)＝0，得|log0.5x|＝12x，作出函数y1＝|log0.5x|和y2＝12x的图象，由右图知两函数图象有2个交点，故函数f(x)有2个零点．答案：2函数零点的应用(多维探究)角度一根据函数零点个数求参数(2020·安徽合肥二模)设函数f(x)＝|lnx|，x0，ex(x＋1)，x≤0.若函数g(x)＝f(x)－b有三个零点，则实数b的取值范围是()A．(1，＋∞)B．－1e2，0C．(1，＋∞)∪{0}D．(0，1]【解析】令g(x)＝f(x)－b＝0，函数g(x)＝f(x)－b有三个零点等价于f(x)＝b有三个根，当x≤0时，f(x)＝ex(x＋1)，则f′(x)＝ex(x＋1)＋ex＝ex(x＋2)，由f′(x)0得ex(x＋2)0，即x－2，此时f(x)为减函数，由f′(x)0得ex(x＋2)0，即－2x0，此时f(x)为增函数，即当x＝－2时，f(x)取得极小值f(－2)＝－1e2，作出f(x)的图象如图，要使f(x)＝b有三个根，则0b≤1，故选D.【答案】D角度二根据函数有无零点求参数(1)函数f(x)＝x2－ax＋1在区间12，3上有零点，则实数a的取值范围是()A．(2，＋∞)B．[2，＋∞)C.2，52D．2，103(2)已知函数f(x)＝0，x≤0，ex，x＞0，则使函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点的实数m的取值范围是()A．[0，1)B．(－∞，1)C．(－∞，1]∪(2，＋∞)D．(－∞，0]∪(1，＋∞)【解析】(1)由题意知方程ax＝x2＋1在12，3上有解，即a＝x＋1x在12，3上有解，设t＝x＋1x，x∈12，3，则t的取值范围是2，103.所以实数a的取值范围是2，103.(2)函数g(x)＝f(x)＋x－m的零点就是方程f(x)＋x＝m的根，画出h(x)＝f(x)＋x＝x，x≤0，ex＋x，x＞0的大致图象(图略)．观察它与直线y＝m的交点，得知当m≤0或m＞1时，有交点，即函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点．【答案】(1)D(2)D角度三根据函数零点的范围求参数若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则m的取值范围是______．【解析】依题意，结合函数f(x)的图象分析可知m需满足m≠2，f(－1)·f(0)0，f(1)·f(2)0，即m≠2，[m－2－m＋(2m＋1)](2m＋1)0，[m－2＋m＋(2m＋1)][4(m－2)＋2m＋(2m＋1)]0，解得14m12.【答案】14，12根据函数零点的情况求参数的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．1．方程log12(a－2x)＝2＋x有解，则a的最小值为______．解析：若方程log12(a－2x)＝2＋x有解，则122＋x＝a－2x有解，即1412x＋2x＝a有解，因为1412x＋2x≥1，故a的最小值为1.答案：12．已知函数f(x)＝ex，x≤0lnx，x0，g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是______．解析：函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1.