2021版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.4 直线与平面、平面与平面垂直课件 苏教版

第四节直线与平面、平面与平面垂直内容索引必备知识·自主学习核心考点·精准研析核心素养·微专题核心素养测评【教材·知识梳理】1.直线与直线垂直(1)定义:若两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点,并且交角为直角,则称这两条直线互相垂直.(2)若一条直线垂直于一个平面,则它就和平面内的任意一条直线垂直.2.直线与平面垂直(1)定义:直线l与平面α内的_____一条直线都垂直,就说直线l与平面α互相垂直.任意(2)判定定理与性质定理:文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条_____直线都垂直,则该直线与此平面垂直性质定理垂直于同一个平面的两条直线_____相交平行3.直线和平面所成的角(1)平面的一条斜线和它在_____________所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角.(2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时,规定直线和平面所成的角分别为__________.平面上的射影90°和0°4.平面与平面垂直文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的_____,则这两个平面垂直性质定理两个平面垂直,则一个平面内垂直于_____的直线与另一个平面垂直垂线交线5.二面角的有关概念(1)二面角:从一条直线出发的___________所组成的图形叫做二面角.(2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作_________的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.两个半平面垂直于棱【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则l⊥α.()(2)若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.()(3)若直线a⊥平面α,直线b∥α,则直线a与b垂直.()(4)若α⊥β,a⊥β,则a∥α.()(5)若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.()(6)如果两个平面所成的二面角为90°,则这两个平面垂直.()提示:(1)×.直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,则l⊥α.(2)√.(3)√.(4)×.若α⊥β,a⊥β,则a∥α或a⊂α.(5)×.若两平面垂直,则其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.(6)√.【易错点索引】序号易错警示典题索引1证明线面垂直时忽视平面上的两条直线相交考点一、T3考点三、角度12证明面面垂直时找错直线考点一、T3,43应用面面垂直的性质定理时忽视与交线垂直考点三、角度24线面角、二面角概念混淆致误考点二、T1,2【教材·基础自测】1.(必修2P50习题1.2(3)T4改编)已知平面α,β,直线l,若α⊥β,α∩β=l,则()A.垂直于平面β的平面一定平行于平面αB.垂直于直线l的直线一定垂直于平面αC.垂直于平面β的平面一定平行于直线lD.垂直于直线l的平面一定与平面α,β都垂直【解析】选D.A中平面可与α平行或相交,不正确.B中直线可与α有各种线面关系,不正确.C中平面可与直线l平行或相交,不正确.2.(必修2P51习题1.2(3)T11改编)已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则()A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n【解析】选C.由题意知,α∩β=l,所以l⊂β,因为n⊥β,所以n⊥l.3.(必修2P28练习T5改编)在△ABC中,∠ABC=90°,PA⊥平面ABC,则图中直角三角形的个数是________.【解析】因为∠ABC=90°,故△ABC是直角三角形;因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥AC,PA⊥AB,PA⊥BC,又BC⊥AB,PA∩AB=A,PA,AB⊂平面PAB,所以BC⊥平面PAB,所以BC⊥PB,故△PAC,△PAB,△PBC都是直角三角形.答案:44.(必修2P51习题1.2(3)T15改编)在三棱锥P-ABC中,点P在平面ABC中的射影为点O.若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点O是△ABC的________心.【解析】如图,延长AO,BO,CO分别交BC,AC,AB于点H,D,G.因为PC⊥PA,PB⊥PC,PA∩PB=P,PA,PB⊂平面PAB,所以PC⊥平面PAB,又AB⊂平面PAB,所以PC⊥AB,因为AB⊥PO,PO∩PC=P,PO,PC⊂平面PGC,所以AB⊥平面PGC,又CG⊂平面PGC,所以AB⊥CG,即CG为△ABC边AB上的高.同理可证BD,AH分别为△ABC边AC,BC上的高,即O为△ABC的垂心.答案:垂核心素养逻辑推理——逻辑推理心路历程【素养诠释】逻辑推理是指从一些事实和命题出发,依据逻辑规则推出一个命题的过程,主要包括两类:一类是从特殊到一般的推理,推理形式主要有归纳、类比;一类是从一般到特殊的推理.【典例】(2019·全国卷Ⅲ)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则()A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线【素养立意】本题要求证的结论是线段BM与EN的大小关系及位置关系,我们可以假定相交,那么需要找到它们所确定的平面,进而通过已知条件进行逻辑推理论证.【解析】选B.连接BD,则点N在BD上且为BD中点.因为直线BM,EN都是平面BED内的直线,且不平行,即直线BM,EN是相交直线.设正方形ABCD的边长为2a,则由题意可得:DE=2a,DM=a,DN=a,DB=2a,根据余弦定理可得:BM2=DB2+DM2-2DB·DMcos∠BDE=9a2-4a2cos∠BDE,EN2=DE2+DN2-2DE·DNcos∠BDE=6a2-4a2cos∠BDE,所以BM≠EN.2222