2020年高中数学 第一章 空间几何体章末复习与总结课件 新人教A版必修2

第一章空间几何体章末复习与总结1．几何体的表面积和体积几何体的表面积及体积的计算是现实生活中经常遇到的问题，如制作物体的下料问题、材料最省问题、相同材料容积最大问题等，都涉及表面积和体积的计算．【例1】如图所示，半径为R的半圆O的直径为直角梯形垂直于两底的腰，且分别切AB，BC，CD于点A，E，D，将半圆O与直角梯形ABCD分别绕AD所在直线旋转一周，得到一个球和一个圆台，且球的表面积与圆台的侧面积之比为3∶4，求圆台的体积．[解]设圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，母线长为l，则根据题意，得圆台的高AD＝2R，DC＝CE＝r1，AB＝BE＝r2，OE＝R，∠BOC＝90°，OE⊥BC，所以r1·r2＝R2，l＝r1＋r2.又因为S球＝4πR2，S圆台侧＝π(r1＋r2)·l，且S球∶S圆台侧＝3∶4，所以4πR2∶πl(r1＋r2)＝3∶4，所以(r1＋r2)2＝163R2，所以V台＝13πh·(r21＋r22＋r1·r2)＝π3·2R[(r1＋r2)2－r1·r2]＝π3·2R·163R2－R2＝269πR3.故圆台的体积为269πR3.此类问题要注意轴截面的特殊作用，特别是在特殊的柱体、锥体、台体，在计算中要重视其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用；对于圆柱、圆锥、圆台，要重视旋转轴所在的轴截面、底面圆的作用.|方法总结|2.割补法和等积法在求体积中的应用体积的求解与计算是立体几何学习的重点，其方法灵活多样，割补法和等积法是常用的技巧方法．【例2】如图所示，已知三棱柱ABC－A′B′C′，侧面B′BCC′的面积是S，点A′到侧面B′BCC′的距离是a，求证：三棱柱ABC－A′B′C′的体积V＝12Sa.[证明]证法一(分割法)：如图所示，连接A′B，A′C，这样就把三棱柱分割成了两个棱锥．设三棱柱体积为V，显然三棱锥A′－ABC的体积是13V，而四棱锥A′－BCC′B′的体积为13Sa，故有13V＋13Sa＝V，即V＝12Sa.证法二(补全法)：如图所示，将三棱柱ABC－A′B′C′补成一个四棱柱ABCD－A′B′C′D′.其中AD∥BC，AB∥DC.即四边形ABCD为一个平行四边形．显然三棱柱ACD－A′C′D′的体积与原三棱柱ABC－A′B′C′的体积相等．以BCC′B′为底面，点A′到面BCC′B′的距离为高，显然补形后的四棱柱的体积为Sa.故原三棱柱ABC－A′B′C′的体积V＝12Sa.(1)将不规则的几何体通过分割或补形，将其转化为规则几何体的体积问题(割补法)．(2)三棱锥的任何一个面都可以作为它的底面，因此可以通过选择合适的底面，将其转化为底面积和高容易求的三棱锥的体积问题(等积法).|方法总结|本章主要用到的数学思想方法有转化思想与函数与方程思想．1．转化思想【例3】如图所示，有一个圆柱，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面的点B处的食物．当圆柱的高等于12cm，底面半径为3cm时，蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程是()A．12cmB.15πcmC.144＋9π2cmD．18cm[解析]如图所示，在圆柱的侧面展开图中，BC的长为底面圆周长的一半，即BC＝12×2π×3＝3π，蚂蚁所走路程为|AB|＝122＋3π2＝144＋9π2(cm)．所以蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程是144＋9π2cm.[答案]C转化思想其实质就是化繁为简、化难为易、化陌生为熟悉、化整为零，从而达到解决问题的目的．转化思想在本章中也有较多应用，主要体现在以下几个方面：一是立体问题平面化，如旋转体中轴截面的应用，侧面展开图的应用；二是等积变换，如三棱锥变换顶点；三是割补法的应用，把不规则的几何体通过割补转化为规则的几何体.|方法总结|2.函数与方程思想【例4】一个圆锥底面半径为R，高为3R求圆锥的内接正四棱柱表面积的最大值．[解]画出该组合体的轴截面，利用相似三角形的知识建立等量关系，借助函数的知识求其最值．如图所示，△SAB为圆锥的一个轴截面，且该轴截面经过正四棱柱的对角面，DF为棱柱的底面对角线．设正四棱柱的高为h，底面正方形边长为a，则DE＝22a.∵△SDE∽△SAO，∴DEAO＝SESO.∵AO＝R，SO＝3R，∴22aR＝3R－h3R，∴h＝3R－62a，∴S表＝2a2＋4ah＝2a2＋4a3R－62a.整理得S表＝(2－26)a－3R6－12＋6R26－1(0＜a＜2R)．∵2－26＜0，3R6－1＜2R，∴当a＝3R6－1时，S表有最大值，为6R26－1.即圆锥的内接正四棱柱表面积的最大值为6R26－1，即66＋15R2.函数与方程思想是指将抽象的数学问题转化为函数的性质或解方程(组)等问题解决，在立体几何中求几何体的高、棱长、侧面积、体积等往往利用这一思想方法.|方法总结|易错点1柱、锥、台结构特征判断中的误区【例5】如图所示，几何体的正确说法的序号为________．(1)这是一个六面体；(2)这是一个四棱台；(3)这是一个四棱柱；(4)此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到；(5)此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到．[解析](1)正确，因为有六个面，属于六面体的范围；(2)错误，因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确；(3)正确，如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱；(4)(5)都正确，如图所示．1．解答过程中易忽视侧棱的延长线不能交于一点，直观感觉是棱台，而不注意逻辑推理．2．解答空间几何体概念的判断题时，要注意紧扣定义，切忌只凭图形主观臆断．[易错点拨]易错点2画几何体的三视图常见误区【例6】某几何体及其俯视图如图所示，下列关于该几何体正视图和侧视图的画法正确的是()[解析]该几何体是由圆柱切割而得，由俯视图可知正视方向和侧视方向，进一步可画出正视图和侧视图(如图所示)，故选A.[答案]A1．易忽视组合体的结构特征是由圆柱切割而得到和正视方向与侧视方向的判断而出错．2．三种视图中，可见的轮廓线都画成实线，存在但不可见的轮廓线一定要画出，但要画成虚线．画三视图时，一定要分清可见轮廓线与不可见轮廓线，避免出现错误．[易错点拨]易错点3解答平面图形直观图还原问题的易错点【例7】一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形OA′B′C′的面积为2，则原梯形的面积为()A．2B.2C．22D．4[解析]如图，由斜二测画法原理知，原梯形与直观图中的梯形上、下底边的长度是一样的，不一样的是两个梯形的高．原梯形的高OC是直观图中OC′长度的2倍，OC′的长度是直观图中梯形的高的2倍，由此知原梯形的高OC的长度是直观图中梯形高的22倍，故其面积是梯形OA′B′C′面积的22倍，梯形OA′B′C′的面积为2，所以原梯形的面积是4.[答案]D[易错点拨]1．原梯形与直观图中梯形上、下底边的长度一样，但高的长度不一样．原梯形的高OC是直观图中OC′的长度的2倍，OC′长度是直观图中梯形的高的2倍，此处易出错．2．解答此类问题时要注意角度的变化以及长度的变化，直观图面积S′与原图形面积S满足S′＝24S.易错点4求几何体表面积、体积考虑不周致误【例8】把长、宽分别为4、2的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积．[解]设圆柱的底面半径为r，母线长为l，高为h.当2πr＝4，l＝2时，r＝2π，h＝l＝2，所以V圆柱＝πr2h＝8π.当2πr＝2，l＝4时，r＝1π，h＝l＝4，所以V圆柱＝πr2h＝4π.综上所述，这个圆柱的体积为8π或4π.把矩形卷成圆柱时，可以以4为底，2为高；也可以以2为底，4为高．容易漏掉一种情况，解决此类问题一定要考虑全面．[易错点拨]