2020年高中数学 第三章 基本初等函数（Ⅰ） 3.2.2 对数函数 第2课时 对数函数(二)课件

第三章基本初等函数(Ⅰ)3.2对数与对数函数3.2.2对数函数第二课时对数函数(二)自主学习梳理知识课前基础梳理|目标索引|1．理解对数函数的单调性，并能利用单调性比较大小、求最值或值域、解不等式．2．初步掌握对数函数的实际应用.函数y＝logax(a＞0且a≠1)的底数变化对图象位置的影响(1)如图所示观察图象，注意变化规律：①上下比较：在直线x＝1的右侧，a＞1时，a______，图象向右越靠近x轴，0＜a＜1时，a______，图象向右越靠近x轴．②左右比较：比较图象与y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数______．越大越小越大(2)此规律为解决某些大小比较问题或由图定性问题提供了一种思路．底数不同而真数相同的两个对数值的大小比较，如y1＝loga1x与y2＝loga2x的比较．当a1＞a2＞1时，当x＞1时，y1＜y2；当0＜x＜1时，y1＞y2；当0＜a2＜a1＜1时，当x＞1时，y1＜y2；当0＜x＜1时，y1＞y2.(3)在同一坐标系内，y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象与y＝log1ax(a＞0，且a≠1)的图象关于x轴(即y＝0)对称．1．函数y＝|log2x|的图象是图中的()解析：y＝|log2x|的图象，如图示：故选A．答案：A2．若lg(2x－4)≤1，则x的取值范围是()A．(－∞，7]B．(2,7]C．[7，＋∞)D．(2，＋∞)解析：由题可得2x－4＞0，2x－4≤10，∴x＞2，x≤7.∴x的取值范围是2＜x≤7，故选B．答案：B3．若log2a＜0，12b＞1，则()A．a＞1，b＞0B．a＞1，b＜0C．0＜a＜1，b＞0D．0＜a＜1，b＜0解析：由log2a＜0，可知0＜a＜1，由12b＞1，可知b＜0，故选D．答案：D典例精析规律总结课堂互动探究1比较大小类型比较下列各组数的大小：(1)loga2.7，loga2.8；(2)log34，log65；(3)log0.37，log97；(4)loga3.1，loga5.2(a＞0，且a≠1)．【分析】观察各组数的特征，看其是否直接可以利用对数单调性比较大小．【解】(1)当a＞1时，由函数y＝logax的单调性可知loga2.7＜loga2.8，当0＜a＜1时，同理可得loga2.7＞loga2.8.(2)log34＞log33＝1，log65＜log66＝1，∴log34＞log65.(3)log0.37＜log0.31＝0，log97＞log91＝0，∴log0.37＜log97.(4)当a＞1时，loga3.1＜loga5.2，当0＜a＜1时，loga3.1＞loga5.2.【知识点拨】比较两个对数式的大小，首先应看是否同底，如同底，考虑直接利用函数的单调性，如不同底，可首先考虑它们与0或1的关系，即以0或1为中介值进行比较．设a＝2－1，b＝30.5，c＝log23，则a，b，c的大小关系是()A．a＜c＜bB．a＜b＜cC．b＜a＜cD．b＜c＜a解析：a＝2－1＝12，b＝30.5＞1，c＝log23＝12log23∈12，1，∴a＜c＜b，故选A．答案：A若log3a＜log3b＜0，则()A．0＜b＜a＜1B．0＜a＜b＜1C．b＞a＞1D．a＞b＞1解析：log3a＜log3b＜log31，∵函数y＝log3x是增函数，∴0＜a＜b＜1，故选B．答案：B2对数函数的单调性及其应用类型(1)函数f(x)＝log12(x2＋2x－3)的单调增区间是()A．(－∞，－3)B．(－∞，－3]C．(－∞，－1)D．(－3，－1)(2)若函数y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，则a的取值范围是()A．0＜a＜1B．1＜a＜2C．0＜a＜2且a≠1D．a≥2【解析】(1)由x2＋2x－3＞0，得x＞1或x＜－3，所以函数的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)，当x＜－3时，t＝x2＋2x－3是减函数，y＝log12t是增函数，∴f(x)＝log12(x2＋2x－3)是增函数，故选A．(2)由题可得a＞1，a22－aa2＋1＞0，解得1＜a＜2，故选B．【答案】(1)A(2)B【知识点拨】求形如y＝logaf(x)的单调区间，要先由f(x)0求得定义域，再判断t＝f(x)，y＝logat的单调性，根据同增异减的原则得到y＝logaf(x)的单调性．若函数f(x)＝loga(2x2－x)(a0，且a≠1)在区间12，1内恒有f(x)0，则函数f(x)的单调递增区间是()A．(－∞，0)B．－∞，14C．12，＋∞D．14，＋∞解析：当12x1时，t＝2x2－x∈(0,1)，若f(x)0，则0a1，∴logat为减函数，由2x2－x0得x0或x12，当x0时，t为减函数，logat为减函数，∴f(x)为增函数，故选A．答案：A3对数函数的综合问题类型已知函数f(x)＝loga1－mxx－1(a＞0，a≠1，m≠1)是奇函数．(1)求实数m的值；(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并给出证明；(3)当x∈(n，a－2)时，函数f(x)的值域是(1，＋∞)，求实数a与n的值．【解】(1)由已知条件得f(－x)＋f(x)＝0对定义域中的x均成立．∴logamx＋1－x－1＋loga1－mxx－1＝0，即mx＋1－x－1·1－mxx－1＝1.∴m2x2－1＝x2－1对定义域中的x均成立．∴m2＝1.即m＝1(舍去)或m＝－1.(2)由(1)得f(x)＝loga1＋xx－1，设t＝x＋1x－1＝x－1＋2x－1＝1＋2x－1，∴当x1＞x2＞1时，t1－t2＝2x1－1－2x2－1＝2x2－x1x1－1x2－1，∴t1＜t2.当a＞1时，logat1＜logat2，即f(x1)＜f(x2)．∴当a＞1时，f(x)在(1，＋∞)上是减函数．同理当0＜a＜1时，f(x)在(1，＋∞)上是增函数．(3)∵函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，∴①当n＜a－2≤－1，∴0＜a＜1.∴f(x)在(n，a－2)为增函数．要使值域为(1，＋∞)，则loga1＋nn－1＝1，a－2＝－1无解．∴②当1≤n＜a－2，∴a＞3.∴f(x)在(n，a－2)为减函数，要使f(x)的值域为(1，＋∞)，则n＝1，logaa－1a－3＝1.∴a＝2＋3，n＝1.函数y＝lg21＋x－1的图象关于()A．x轴对称B．y轴对称C．原点对称D．直线y＝x对称解析：y＝lg21＋x－1＝lg1－x1＋x，f(－x)＝lg1＋x1－x＝－lg1－x1＋x＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，图象关于原点对称，故选C．答案：C已知f(x)＝x＋lg1＋x1－x＋5，且f(a)＝6，则f(－a)＝________.解析：f(a)＝a＋lg1＋a1－a＋5＝6，∴a＋lg1＋a1－a＝1，f(－a)＝－a＋lg1－a1＋a＋5＝－a－lg1－a1＋a＋5＝－a＋lg1＋a1－a＋5＝4.答案：4即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一对数函数的解析式1．函数f(x)是定义在R上的奇函数，并且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lnx，那么，f(－e2)＝()A．－2B．2C．1D．无法确定解析：f(－e2)＝－f(e2)＝－lne2＝－2，故选A．答案：A知识点二对数函数的单调性2．若函数f(x)＝loga(ax－3)在区间[1,3]上单调递增，则a的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(0,1)C．0，13D．(3，＋∞)解析：由题可得a＞1，a－3＞0，∴a＞3，故选D．答案：D知识点三对数函数的性质3．已知f(x)是偶函数，它在[0，＋∞)上是减函数，若f(lgx)＞f(1)，则x的取值范围是()A．110，1B．110，10C．0，110∪(1，＋∞)D．(0,1)∪(10，＋∞)解析：由题可得－1＜lgx＜1，∴110＜x＜10，故选B．答案：B4．求函数f(x)＝(log0.25x)2－log0.25x2＋5，x∈[2,4]时的最值．解：设t＝log0.25x，∴y＝f(x)＝t2－2t＋5.由x∈[2,4]，得t∈－1，－12.又y＝t2－2t＋5＝(t－1)2＋4在－1，－12上单调递减，所以当t＝－1，即x＝4时，y有最大值8；当t＝－12时，即x＝2时，y有最小值254.知识点四比较大小5．设a＝log132，b＝log1213，c＝120.3，则()A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜c＜aD．b＜a＜c解析：∵log132＜log131＝0，∴a＜0；∵log1213＞log1212＝1，∴b＞1；∵120.3＜1，∴0＜c＜1，故选B．答案：B