2020年高中数学 第三章 基本初等函数（Ⅰ） 3.2.1 对数及其运算 第1课时 对数的概念及性质

第三章基本初等函数(Ⅰ)3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算第一课时对数的概念及性质自主学习梳理知识课前基础梳理|目标索引|1．理解对数的概念．2．掌握对数的基本性质．3．掌握对数式与指数式的相互转化.1．对数的概念如果__________(a＞0，且a≠1)，则数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中_____叫做对数的底数，_____叫做真数．2．对数与指数之间的关系当a＞0，且a≠1时，_______________.ax＝NaNlogaN＝b⇔ab＝N3．对数的基本性质(1)__________没有对数，即N＞0；(2)1的对数为____，即loga1＝____；(3)底数的对数等于____，即logaa＝____.负数和零00114．两种重要对数(1)常用对数：通常____________的对数叫做常用对数，N的常用对数log10N简记为_____.(2)自然对数：______________________________的对数称为自然对数，N的自然对数logeN简记为_____.5．对数恒等式__________.以无理数e＝2.71828…为底lnNalogaN＝NlgN以10为底1．设5lgx＝25，则x的值等于()A．10B．±10C．100D．±100解析：5lgx＝52，∴lgx＝2，∴x＝102＝100，故选C．答案：C2．方程log4(1－4x)＝1的解x＝________.解析：由log4(1－4x)＝1，得1－4x＝4，∴x＝－34.答案：－343．已知ln(lnx)＝1，则x＝________.解析：ln(lnx)＝1，∴lnx＝e，∴x＝ee.答案：ee典例精析规律总结课堂互动探究1对数的概念类型求下列各式中x的取值范围．(1)log(2x－1)(x＋2)；(2)log(2x＋3)(5－4x)．【解】(1)由题意得x＋2＞0，2x－1＞0且2x－1≠1，解得x＞12且x≠1，∴x的取值范围为12，1∪(1，＋∞)．(2)由题意得5－4x＞0，2x＋3＞0且2x＋3≠1，解得－32＜x＜54且x≠－1，∴x的取值范围为－32，－1∪－1，54.【知识点拨】解决对数式有意义的题目时，只要注意满足底数和真数的条件，也就是对数式中的底数大于0且不为1，真数大于0，对数式才有意义，尤其要注意底数不为1这一条件，然后解不等式即可．求下列式子log(x2＋1)(－3x＋8)中x的范围．解：因为底数x2＋1≠1，所以x≠0；又因为－3x＋8＞0，所以x＜83，综上可知x＜83，且x≠0.即x的取值范围是xx＜83且x≠0.2指数式与对数式的互化类型完成以下指数式、对数式的互化．(1)26＝64；(2)10－3＝0.001；(3)log515＝－1；(4)log1216＝－4.【分析】利用指、对数式的关系ab＝N⇔logaN＝b.【解】(1)∵26＝64，∴log264＝6.(2)∵10－3＝0.001，∴log100.001＝－3，即lg0.001＝－3.(3)∵log515＝－1，∴5－1＝15.(4)∵log1216＝－4，∴12－4＝16.【知识点拨】利用指、对数关系式转化形式时，要注意各字母的位置对应关系，其中两式中的底数是相同的．将下列指数式与对数式互化．(1)3x＝27；(2)14x＝64；(3)log24＝4；(4)log(2＋1)(2－1)＝－1；(5)ex＝8.解：(1)∵3x＝27，∴x＝log327.(2)∵14x＝64，∴x＝log1464.(3)∵log24＝4，∴(2)4＝4.(4)∵log(2＋1)(2－1)＝－1，∴(2＋1)－1＝2－1.(5)∵ex＝8，∴x＝ln8.3对数基本性质的应用类型求下列各式中的x.(1)log812＝x；(2)logx4＝2；(3)log4x＝12；(4)log(x＋3)(x2＋3x)＝1；(5)log2(log5x)＝0.【分析】本题主要考查对数式的概念、对数式向指数式的转化，要特别注意底数和真数的范围．【解】(1)由log812＝x，得8x＝12，即23x＝2－1，∴3x＝－1，即x＝－13.(2)由logx4＝2，得x2＝4，∴x＝±2.又∵x＞0，且x≠1，∴x＝－2舍去，∴x＝2.(3)∵log4x＝12，∴412＝x，即x＝2.(4)∵log(x＋3)(x2＋3x)＝1，∴x＋3＝x2＋3x，解得x＝－3或x＝1.由x＋3＞0，x2＋3x＞0，x＋3≠1，解得x＞0，∴x＝－3舍去，故x＝1.(5)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5.【知识点拨】解答本题使用了：①对数的运算法则；②同底数的幂相等，则指数相等；③同底数的对数相等，则真数相等；④对数式的定义．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么x－12等于()A．13B．123C．122D．133解析：log7[log3(log2x)]＝0，∴log3(log2x)＝1，∴log2x＝3，∴x＝23＝8，∴x－12＝8－12＝122，故选C．答案：C4对数恒等式的应用类型计算：(1)71－log75；(2)412(log29－log25)；(3)alogab·logbc(a，b为不等式1的正数，c＞0)．【分析】指数中含有对数值，解答本题可使用对数恒等式alogaN＝N来化简求值．【解】(1)原式＝77log75＝75.(2)原式＝2(log29－log25)＝2log292log25＝95.(3)原式＝(alogab)logbc＝blogbc＝c.【知识点拨】要牢记对数恒等式，对于对数恒等式alogaN＝N要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数．再有注意恒等式(am)n＝(an)m＝amn的使用．212＋log29的值是()A．122B．9＋2C．92D．8＋2解析：212＋log29＝212·2log29＝92，故选C．答案：C即学即练稳操胜券基础知识达标解析：由对数的定义及性质可知①③④正确．答案：C知识点一对数的概念1．有下列说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④以e为底的对数叫做自然对数．其中正确命题的个数为()A．1B．2C．3D．42．在M＝log(x－3)(x＋1)中，要使式子有意义，x的取值范围为()A．(－∞，3]B．(3,4)∪(4，＋∞)C．(4，＋∞)D．(3,4)解析：由题可得x－30，x＋10，x－3≠1.∴x3且x≠4，故选B．答案：B知识点二对数的基本性质3．若log(x－2)(x2－7x＋13)＝0，则x的值为()A．3B．4C．3或4D．4或6解析：由题可得x2－7x＋13＝1，x－2＞0且x－2≠1.∴x＝4，故选B．答案：B知识点三对数恒等式4．102－lg1025＝________.解析：原式＝10210lg1025＝100×2510＝250.答案：250知识点四对数式与指数式互化5．解下列方程：(1)log64x＝－23；(2)logx4＝2.解：(1)∵log64x＝－23，∴x＝64－23＝(43)－23＝4－2＝116.经检验x＝116是原方程的根，即x＝116.(2)∵logx4＝2，∴x2＝4.∴|x|＝2，x＝±2.经检验x＝－2是增根，即原方程的根是x＝2.