2020年高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.3 圆的方程 2.3.4 圆与圆的位置关系课件 新

第二章平面解析几何初步2.3圆的方程2.3.4圆与圆的位置关系自主学习梳理知识课前基础梳理|目标索引|1．掌握圆与圆的位置关系及判定方法．2．会利用圆与圆位置关系的判断方法进行圆与圆位置关系的判断．3．能综合应用圆与圆的位置关系解决其他问题.1．用几何法确定圆与圆的位置关系几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1、r2的关系________________________________________________dr1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|dr1＋r2d＝|r1－r2|d|r1－r2|2.用坐标法确定圆与圆的位置关系代数法：设两圆方程分别为C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D21＋E21－4F10)，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D22＋E22－4F20)，联立方程得x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：方程组解的个数2组1组0组两圆的公共点个数____个____个____个两圆的位置关系____________或____________或______210相交内切外切外离内含1．两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是()A．内切B．相交C．外切D．外离解析：圆x2＋y2－1＝0的圆心(0,0)，半径为1，圆x2＋y2－4x＋2y－4＝0的圆心(2，－1)，半径为3，两圆心间的距离为4＋1＝5，3－151＋3，所以两圆相交，故选B．答案：B2．圆：x2＋y2－2x－2y＝0和圆：x2＋y2－6x＋2y＋6＝0交于A、B两点，则AB的垂直平分线的方程是()A．x＋y＋3＝0B．x－y＋2＝0C．x＋y－2＝0D．2x－y－1＝0解析：两圆的圆心分别为(1,1)，(3，－1)，AB的垂直平分线即两圆心的连线，方程为y＋11＋1＝x－31－3，即x＋y－2＝0.故选C．答案：C3．圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4相切，则m的值为________．解析：两圆圆心间的距离为|C1C2|＝m＋22＋m＋12＝2m2＋6m＋5，由题可得|C1C2|＝3＋2＝5或|C1C2|＝1，∴2m2＋6m＋5＝5或2m2＋6m＋5＝1，解得m＝2或m＝－5或m＝－1或m＝－2.答案：－1，－2,2，－5典例精析规律总结课堂互动探究1两圆位置关系的判断类型已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a0)．试求a为何值时两圆C1，C2(1)相切；(2)相交；(3)外离．【分析】解答本题可先将方程配方化成标准方程，再由圆的几何性质获解．【解】对圆C1，C2的方程，经配方后可得：C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，∴圆心C1(a,1)，r1＝4，C2(2a,1)，r2＝1，∴|C1C2|＝a－2a2＋1－12＝a，(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5即a＝5时，两圆外切，当|C1C2|＝r1－r2＝3即a＝3时，两圆内切．(2)当3|C1C2|5即3a5时，两圆相交．(3)当|C1C2|5即a5时，两圆外离．【知识点拨】判断两圆位置关系的方法有两种，一是代数法，看方程组的解的个数，但往往较繁琐；二是几何法，看两圆圆心距d，d＝r1＋r2时，两圆外切，d＝|r1－r2|时，两圆内切，dr1＋r2时，两圆外离，d|r1－r2|时，两圆内含，|r1－r2|dr1＋r2时，两圆相交．已知圆C1：x2＋y2－23x－4y＋6＝0和圆C2：x2＋y2－6y＝0，则两圆的位置关系为()A．相离B．外切C．相交D．内切解析：C1：(x－3)2＋(y－2)2＝1，C2：x2＋(y－3)2＝9，∴C1(3，2)，C2(0,3)．|C1C2|＝3＋1＝2，r1＝1，r2＝3，r2－r1＝2，∴|C1C2|＝r2－r1，故C1与C2内切．答案：D2公共弦问题类型已知圆C1：x2＋y2－10x－10y＝0，圆C2：x2＋y2＋6x＋2y－40＝0，求两圆公共弦所在的直线方程及公共弦长．【分析】因两圆的交点同时满足两圆方程，联立方程组，消去x2项，y2项，即得两圆的两个交点所在的直线方程，利用勾股定理可求出两圆的公共弦长．【解】设两圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点的坐标满足方程组x2＋y2－10x－10y＝0，①x2＋y2＋6x＋2y－40＝0.②)②－①得4x＋3y－10＝0.∵A，B两点的坐标都满足此方程，∴4x＋3y－10＝0即为两圆公共弦所在的直线方程．易知圆C1的圆心(5,5)，半径r＝52.又C1到直线AB的距离为d＝|4×5＋3×5－10|42＋32＝5，∴|AB|＝2r2－d2＝250－25＝10，即两圆的公共弦长为10.【知识点拨】求两圆公共弦及其弦长(1)设圆O1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，圆O2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，则两圆相交公共弦所在直线方程为：(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)－(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0，即(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.(2)求两圆的公共弦长问题可转化为直线与圆相交求相交弦长问题，从而得以解决，如图，利用圆O1，首先求出O1点到相交弦所在直线的距离d，而AC＝12l，∴14l2＝r21－d2，即l＝2r21－d2，从而得以解决．圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在的直线方程为________．解析：两圆方程相减得－4x＋8y－16＝0，即x－2y＋4＝0，∴两圆的公共弦所在的直线方程为x－2y＋4＝0.答案：x－2y＋4＝03圆的综合应用类型求圆心在直线x＋y＝0上，且过两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0，x2＋y2＋2x＋2y－8＝0交点的圆的方程．【分析】本题可采用三种方法求解，一是求出圆心坐标及半径；二是利用圆的一般方程；三是利用圆系方程，确定未知数λ.【解】解法一：解方程组x2＋y2－2x＋10y－24＝0，x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，得交点坐标分别为(0,2)，(－4,0)．设所求圆的圆心坐标为(a，－a)，则有a2＋－a－22＝a＋42＋a2＝r，解得a＝－3，r＝10，因此，圆的方程为(x＋3)2＋(y－3)2＝10.解法二：同解法一，得两已知圆的交点坐标为(0,2)，(－4,0)，设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则有4＋2E＋F＝0，16－4D＋F＝0，－D2－E2＝0，解得D＝6，E＝－6，F＝8.因此，圆的方程为x2＋y2＋6x－6y＋8＝0.解法三：设所求圆的方程为x2＋y2－2x＋10y－24＋λ(x2＋y2＋2x＋2y－8)＝0(λ≠－1)．即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋(2λ－2)x＋(2λ＋10)y－8λ－24＝0，因为这个圆的圆心在直线x＋y＝0上，所以－2λ－221＋λ－2λ＋1021＋λ＝0，解得λ＝－2，因此，圆的方程为x2＋y2＋6x－6y＋8＝0.【知识点拨】圆系方程(1)同心圆系设圆C的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则与圆C同心的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋λ＝0.(2)过两个已知圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方程为：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．①方程①是一个圆系的方程，这些圆的圆心都在两圆的连心线上，圆系方程代表的圆不包含圆x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0.λ＝－1时，①式变为一条直线：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0，②若两圆相交，则方程②是它们的公共弦所在直线的方程；若两圆相切，则方程②就是它们的公切线方程．两圆相交于A(1，3)，B(m，－1)，两圆的圆心均在直线x－y＋c＝0上，则m＋c为()A．－1B．2C．3D．0解析：由题可得3＋11－m＝－1，1＋m2－3－12＋c＝0，解得m＝5，c＝－2，∴m＋c＝3，故选C．答案：C即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一两圆的位置关系1．两圆(x＋3)2＋(y－2)2＝4和(x－3)2＋(y＋6)2＝64的位置关系是()A．外切B．内切C．相交D．相离解析：两圆心分别为(－3,2)，(3，－6)，两圆心间的距离为3＋32＋－6－22＝10，又r1＝2，r2＝8，∴两圆外切，故选A．答案：A2．若圆C1：x2＋y2＝16与圆C2：(x－a)2＋y2＝1相切，则a的值为()A．±3B．±5C．3或5D．±3或±5答案：D知识点二两圆的公切线3．圆C1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0，C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切线有()A．2条B．1条C．4条D．3条解析：圆C1的方程可化为(x＋2)2＋(y－2)2＝1，∴C1(－2,2)，r1＝1，圆C2的方程可化为(x－2)2＋(y－5)2＝16，∴C2(2,5)，r2＝4，|C1C2|＝5，r1＋r2＝5，∴两圆外切，公切线有3条．故选D．答案：D知识点三圆的综合应用4．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是()A．5B．1C．35－5D．35＋5解析：由圆的方程可知C1(4,2)，r1＝3，C2(－2，－1)，r2＝2，|C1C2|＝62＋32＝35，∴|PQ|min＝|C1C2|－r1－r2＝35－5，故选C．答案：C5．求两圆x2＋y2－x＋y－2＝0和x2＋y2＝5的公共弦长．解：两圆的公共弦所在的直线方程为x－y－3＝0，圆x2＋y2＝5的圆心为(0,0)，半径为5，∴圆心到直线x－y－3＝0的距离为d＝32＝322.∴弦长为2r2－d2＝25－92＝2.