2020年高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.3 圆的方程 2.3.3 直线与圆的位置关系课件

第二章平面解析几何初步2.3圆的方程2.3.3直线与圆的位置关系自主学习梳理知识课前基础梳理|目标索引|1．知道直线与圆的位置关系的分类．2．能根据方程判断直线和圆的位置关系．3．能够解决有关直线和圆的位置关系的问题.直线与圆的位置关系(1)几何法直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心为M(a，b)、半径为r的圆，圆心M到直线l的距离d＝________________.dr⇔直线l与圆M______；d＝r⇔直线l与圆M______；dr⇔直线l与圆M______．|Aa＋Bb＋C|A2＋B2相离相切相交(2)代数法直线l：Ax＋By＋C＝0，圆M：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，直线l和圆M的方程联立得方程组，消去y(或x)整理，得到关于x(或y)的一元二次方程mx2＋nx＋k＝0(或my2＋ny＋k＝0)，其判别式为Δ＝n2－4mk.Δ0⇔直线l与圆M______；Δ＝0⇔直线l与圆M______；Δ0⇔直线l与圆M______．相交相切相离1．直线3x＋4y－5＝0与圆2x2＋2y2－4x－2y＋1＝0的位置关系是()A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心解析：圆的方程可化为(x－1)2＋y－122＝34，∴圆心为1，12，半径为32，圆心到直线的距离为d＝|3＋2－5|5＝0，∴圆心在直线上，故选D．答案：D2．若直线(1＋a)x＋y＋1＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值为()A．1或－1B．2或－2C．1D．－1解析：圆x2＋y2－2x＝0的圆心为(1,0)，半径为1，由题可得|1＋a＋1|1＋a2＋1＝1.解得a＝－1，故选D．答案：D3．直线x＋y＝0被圆(x－2)2＋(y＋3)2＝9截得的弦长为________．解析：圆的圆心为(2，－3)，r＝3，∴圆心到直线x＋y＝0的距离为d＝|2－3|2＝22，∴弦长为2r2－d2＝29－12＝34.答案：34典例精析规律总结课堂互动探究1直线与圆的位置关系类型已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点．【分析】直线与圆有两个公共点⇔直线与圆相交；直线与圆只有一个公共点⇔直线与圆相切；直线与圆没有公共点⇔直线与圆相离．【解】解法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.∵Δ＝4m(3m＋4)，∴当Δ＞0时，即m＞0或m＜－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当Δ＝0时，即m＝0或m＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当Δ＜0时，即－43＜m＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．解法二：已知圆的方程可化为：(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为C(2,1)，半径r＝2.圆心C(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝|2m－1－m－1|1＋m2＝|m－2|1＋m2.当d＜2时，即m＞0或m＜－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当d＝2时，即m＝0或m＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当d＞2时，即－43＜m＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．若直线l：ax＋by＝1与圆C：x2＋y2＝1有两个不同的交点，则点P(a，b)与圆C的位置关系是()A．点在圆上B．点在圆内C．点在圆外D．不能确定解析：因为直线l与圆C有两个不同的交点，所以1a2＋b2＜1，即a2＋b2＞1，∴(a，b)在圆外，故选C．答案：C2圆的切线方程类型(1)若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点P(a，b)向圆C所作切线长的最小值是()A．2B．3C．4D．6(2)已知圆C：x2＋y2＝9，过点P(3，1)作圆C的切线，则切线方程为________．【解析】(1)圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝2，圆心(－1,2)，则－2a＋2b＋6＝0，∴a－b－3＝0，∴点P(a，b)在直线x－y－3＝0上，切线长为|PC|2－2，故当|PC|最小时，切线长最小．C到直线x－y－3＝0的距离为|－1－2－3|2＝32.∴切线长的最小值为322－2＝4，故选C．(2)当切线与x轴垂直时，直线为x＝3，与圆C：x2＋y2＝9相切；当切线与x轴不垂直时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y－3k＋1＝0，则|－3k＋1|1＋k2＝3，解得k＝－43.∴切线方程为－43x－y＋4＋1＝0，即4x＋3y－15＝0.【答案】(1)C(2)x＝3或4x＋3y－15＝0【知识点拨】如果所求切线过某已知点M，务必弄清该点是在圆上还是在圆外．(1)如果M点在圆上，那么圆心和点M的连线和切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得切线方程．(2)如果已知点在圆外，过这点的切线将有两条，但在用设斜率来解题时可能求出的切线只有一条，这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在．求与圆x2＋(y－2)2＝1相切，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程．解：(1)截距为0时，设切线方程为y＝kx，则d＝|0－2|1＋k2＝1，解得k＝±3，所求直线方程为y＝±3x.(2)截距不为0时，设切线方程为x－y＝a，则d＝|0－2－a|1＋12＝1，解得a＝－2±2，所求直线方程为x－y＋2±2＝0.综上所述，所求的直线方程为y＝±3x和x－y＋2±2＝0.3弦长问题类型已知圆C的方程：x2＋y2－2x－4y＋m＝0，其中m＜5.(1)若圆C与直线l：x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且|MN|＝455，求m的值；(2)在(1)条件下，是否存在直线l：x－2y＋c＝0，使得圆上有四点到直线l的距离为55，若存在，求出c的取值范围，若不存在，说明理由．【解】(1)圆的方程化为(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，圆心C(1,2)，半径r＝5－m，则圆心C(1,2)到直线l：x＋2y－4＝0的距离为d＝|1＋2×2－4|12＋22＝15.由于|MN|＝45，则12|MN|＝25，有r2＝d2＋12|MN|2，∴5－m＝152＋252，得m＝4.(2)假设存在直线l：x－2y＋c＝0，使得圆上有四点到直线l的距离为55，由于圆心C(1,2)，半径r＝1，则圆心C(1,2)到直线l：x－2y＋c＝0的距离为d＝|1－2×2＋c|12＋22＝|c－3|5＜1－15，解得4－5＜c＜2＋5.【知识点拨】求弦长问题(1)几何法如图，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆半径为r，弦长为|AB|，则有|AB|22＋d2＝r2.即|AB|＝2r2－d2.(2)代数法如图，①联立直线方程和圆的方程，解方程组得A，B点坐标，再由两点间的距离公式求弦长|AB|；②设直线l的方程为y＝kx＋b，联立直线l的方程与圆的方程，消去一个未知数得一个一元二次方程，利用根与系数的关系求解．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＝kx1＋b，y2＝kx2＋b.则|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝x1－x22＋kx1＋b－kx2－b2＝1＋k2·x1－x22＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2.直线l：3x－y－6＝0被圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝5截得的弦AB的长为()A．2B．42C．6D．10解析：由圆的方程可知圆心(1,2)，r＝5，圆心到直线l的距离d＝|3－2－6|9＋1＝510＝102，∴|AB|＝25－d2＝25－104＝10，故选D．答案：D4直线与圆的综合应用类型在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心的圆与直线x－y＋2＝0相切，求：(1)圆O的方程；(2)设圆O与x轴的交点为A，B，点M是圆O上不同于A，B的任意一点，直线AM和BM分别与直线x＝2交于P，Q两点，求证：以PQ为直径的圆C恒过定点．【解】(1)由题可得r＝|2|2＝1，∴圆的方程为x2＋y2＝1.(2)证明：证法一：设点M的坐标为(x0，y0)，则x20＋y20＝1，∴y20＝1－x20.令A(－1,0)，B(1,0)．∵直线AM：y＝y0x0＋1(x＋1)，直线BM：y＝y0x0－1(x－1)，将x＝2代入，得yP＝3y0x0＋1，yQ＝y0x0－1.∴P2，3y0x0＋1，Q2，y0x0－1，|PQ|＝3y0x0＋1－y0x0－1＝2|x0－2||y0|，故PQ的中点坐标为2，－2x0－1y0.以PQ为直径的圆截x轴的线段长度为2x0－22y20－2x0－12y20＝2|y0|3－3x20＝23|y0|1－x20＝23|y0||y0|＝23为定值．所以PQ为直径的圆C必过定点(2－3，0)，(2＋3，0)．证法二：设AM：y＝k(x＋1)，(k≠0)BM：y＝－1k(x－1)，∴P(2,3k)，Q2，－1k，∴以PQ为直径的圆的方程为(x－2)2＋y－3k－1k22＝3k＋1k22，即x2－4x＋1＋y2＋1k－3ky＝0，令y＝0，则x＝2±3，∴不论k为何值时，该圆恒过定点(2±3，0)．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．解：(1)∵切线在两坐标轴上的截距相等，∴当截距不为零时，设切线方程为x＋y＝a，又∵圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝2，∴圆心C(－1,2)到切线的距离等于圆的半径2，即|－1＋2－a|2＝2，解得：a＝－1或a＝3，当截距为零时，设y＝kx，同理可得k＝2＋6或k＝2－6，则所求切线的方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0或y＝(2＋6)x或y＝(2－6)x.(2)∵切线PM与半径CM垂直，∴|PM|2＝|PC|2－|CM|2.∴(x1＋1)2＋(y1－2)2－2＝x21＋y21.∴2x1－4y1＋3＝0.∴动点P的轨迹是直线2x－4y＋3＝0.∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值．而|PO|的最小值为原点O到直线2x－4y＋3＝0的距离d＝3510，∴由x21＋y21＝920，2x1－4y1＋3＝0，可得x1＝－310，y1＝35，故所求点P的坐标为P－310，35.即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一弦长问题1．已知圆(x－a)2＋y2＝4截直线y＝x－4所得的弦长为22，则a等于()A．2B．6C．2或6D．22解析：圆心(a,0)到直线y＝x－4的距离为d＝|a－4|2.由d2＋(2)2＝4，得|a－4|22＋2＝4，∴a＝6或a＝2，故选C．答案：C2．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A．106B．206C．306D．406解析：圆的方程可化为(x－3)2＋(x－4)2＝25，圆心(3,4)，半径为5，∴过点(3,5)的最长弦|AB|＝10，最短弦|BD|＝225－12＝46，∴SABCD＝12|AB|·|CD|＝12×10×46＝206，故选B．答案：B知识点二切线长问题3．已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝()A．6B．5C．10D．210解析：圆C的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心C(2,1)，r＝2，又C在直线l上，∴2＋a－1＝0，∴a＝－1，∴A(－4，－1)，|AC|＝2＋42＋1＋12＝210，∴|AB|＝|AC|2－r2＝40－4＝6，故选A．答案：A知识点三直线与圆的位置关系4