2020年高中数学 第二章 解析几何初步 2 2.1 圆的标准方程课件 北师大版必修2

第二章解析几何初步§2圆与圆的方程2.1圆的标准方程自主学习梳理知识课前基础梳理|学习目标|1．会根据圆心、半径写出圆的标准方程．2．会根据已知条件求圆的标准方程.圆的标准方程圆心为(a，b)，半径是r的圆的标准方程是___________________.圆心在原点时，圆的方程为x2＋y2＝r2.(x－a)2＋(y－b)2＝r2练一练以原点为圆心，以3为半径的圆的标准方程为()A．x2＋y2＝3B．x2＋y2＝9C．(x－3)2＋(y－3)2＝9D．(x－3)2＋y2＝9答案：B1．圆的标准方程与圆心坐标，半径有何关系？答：由圆的标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径大小；另一方面，给出了圆的圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程．2．一般怎样求圆的标准方程？答：确定圆的标准方程需要三个独立的条件，一般运用待定系数法求a，b，r.典例精析规律总结课堂互动探究求满足下列条件的各圆的标准方程．(1)圆心在(3,4)，半径是5；(2)过点A(－1,2)，B(5，－4)且以线段AB为直径．【解】(1)由题意得，圆的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝5.(2)圆心即为线段AB的中点，为(2，－1)．又|AB|＝－1－52＋2＋42＝62，∴半径r＝32.∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝18.【规律总结】根据已知条件，写出圆心坐标和圆的半径，代入标准方程即可．圆心在点C(8，－3)，且经过点P(5,1)的圆的标准方程为()A．(x－8)2＋(y－3)2＝25B．(x－8)2＋(y＋3)2＝5C．(x－8)2＋(y－3)2＝5D．(x－8)2＋(y＋3)2＝25解析：R＝|CP|＝8－52＋－3－12＝5.∴圆的标准方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝25.答案：D求圆心在直线2x－y－3＝0上，且过点(5,2)和点(3，－2)的圆的方程．【解】设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则2a－b－3＝0，5－a2＋2－b2＝r2，3－a2＋－2－b2＝r2，解得a＝2，b＝1，r＝10.∴圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.【规律总结】待定系数法求圆的标准方程，先设出圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组，解方程组，求出a、b、r的值，代入所设方程即可．△ABC的三个顶点坐标分别是A(5,1)，B(7，－3)，C(2，－8)，求它的外接圆的方程．解：设所求圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，①因为A(5,1)，B(7，－3)，C(2，－8)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①.于是5－a2＋1－b2＝r2，7－a2＋－3－b2＝r2，2－a2＋－8－b2＝r2，解此方程组，得a＝2，b＝－3，r2＝25，∴△ABC的外接圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝25.求经过A(6,5)，B(0,1)两点，并且圆心在直线l：3x＋10y＋9＝0上的圆的标准方程．【解】AB中点坐标(3,3)，kAB＝5－16－0＝23，AB中垂线方程y－3＝－32(x－3)．即3x＋2y－15＝0.联立得方程组3x＋2y－15＝0，3x＋10y＋9＝0，解得x＝7，y＝－3，即圆心C(7，－3)．r＝|AC|＝7－62＋－3－52＝65.∴圆的标准方程为(x－7)2＋(y＋3)2＝65.求经过两点A(－1,4)，B(3,2)且圆心在y轴上的圆的标准方程．解：解法一：∵圆心在y轴上，∴可设圆的方程为x2＋(y－b)2＝r2.∵该圆经过两点A，B，∴－12＋4－b2＝r2，32＋2－b2＝r2.∴b＝1，r2＝10.∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝10.解法二：线段AB的中点为(1,3)，AB的斜率k＝2－43－－1＝－12，∴弦AB的垂直平分线方程为y－3＝2(x－1)，即y＝2x＋1.由y＝2x＋1，x＝0，得圆心坐标为(0,1)．半径r＝0＋12＋1－42＝10，∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝10.已知某圆的圆心在x轴上，半径长为5，且在y轴上截得的线段长为8，求该圆的标准方程．【错解】如图所示，由题意可知|AB|＝8|AC|＝5，在Rt△AOC中，|OC|2＝|AC|2－|AO|2＝52－42＝9.∴|OC|＝3，C(3,0)．∴所求圆的标准方程是(x－3)2＋y2＝25.【错因分析】借助图形解决问题时，未考虑到几何图形的各种情形，考虑问题不全面，丢解．【正解】解法一：如图所示(错解中图)，由题设可知|AC|＝r＝5；|AB|＝8，则|AO|＝4，在Rt△AOC中|OC|＝|AC|2－|AO|2＝52－42＝3.设点C的坐标(a,0)，则|OC|＝|a|＝3.∴a＝±3.∴所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25.解法二：由题意设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝25，∵圆截y轴线段长为8，∴圆过点A(0,4)，代入方程得a2＋16＝25，∴a＝±3，∴所求的方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25.即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一圆的标准方程1．若一圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径分别是()A．(－1,5)，3B．(1，－5)，3C．(－1,5)，3D．(1，－5)，3答案：B2．圆心为(3,4)且过点(0,0)的圆的方程是()A．x2＋y2＝25B．x2＋y2＝5C．(x－3)2＋(y－4)2＝25D．(x＋3)2＋(y＋4)2＝5解析：圆的半径r＝3－02＋4－02＝5，∴方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.答案：C3．一个圆经过A(10,5)，B(－4,7)两点，半径为10，则圆的方程为____________________．解析：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝100.则10－a2＋5－b2＝100，－4－a2＋7－b2＝100，解得a＝2，b＝－1或a＝4，b＝13.则圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝100或(x－4)2＋(y－13)2＝100.答案：(x－2)2＋(y＋1)2＝100或(x－4)2＋(y－13)2＝100知识点二几何法求圆的方程4．过点A(2，－3)，B(－2，－5)两点且面积最小的圆的标准方程为______________________．解析：过A(2，－3)，B(－2，－5)两点且面积最小的圆就是以AB为直径的圆，∴圆心为(0，－4)，半径r＝12|AB|＝12×－2－22＋－5＋32＝5，∴圆的标准方程为x2＋(y＋4)2＝5.答案：x2＋(y＋4)2＝5知识点三点与圆的位置关系5．已知圆的圆心M是直线2x＋y－1＝0与x－2y＋2＝0的交点，且圆过点P(－5,6)，求圆的标准方程，并判断点A(2,2)，B(1,8)，C(0,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外？解：解方程组2x＋y－1＝0，x－2y＋2＝0，得x＝0，y＝1.∴圆心M的坐标为(0,1)．半径r＝|MP|＝0＋52＋1－62＝52.∴圆M的标准方程为x2＋(y－1)2＝50.∵|AM|＝2－02＋2－12＝5r，∴点A在圆内．∵|BM|＝1－02＋8－12＝50＝r，∴点B在圆上．∵|CM|＝6－02＋5－12＝52r，∴点C在圆外．综上，圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝50，点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外．