2020年高中数学 第二章 函数 2.2.3 待定系数法课件 新人教B版必修1

第二章函数2.2一次函数和二次函数2.2.3待定系数法自主学习梳理知识课前基础梳理|目标索引|1．了解待定系数法的概念，会用待定系数法求函数的解析式．2．通过待定系数法求函数解析式，掌握待定系数法的特征及应用，从而提高对事物相互联系和相互转化的认识.1．待定系数法一般地，在求一个函数解析式时，如果知道这个函数的__________，可先把所求函数写为__________，其中______待定，然后再根据题设条件求出这些__________．这种通过___________来确定________________的方法叫做待定系数法．一般形式一般形式系数待定系数求待定系数变量之间关系式2．几种基本初等函数的解析式(1)正比例函数的一般形式是____________________．(2)一次函数的一般形式是___________________________.(3)反比例函数的一般形式是y＝kx(k≠0，k是常数)．y＝kx(k≠0，k是常数)y＝kx＋b(k≠0，k，b是常数)(4)二次函数有三种常见形式，求解析式时，要根据具体情况，设出适当的形式：①一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，这是二次函数的标准形式；②顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中(h，k)是抛物线的顶点；③零点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两个实数根，即抛物线与x轴两交点的横坐标．当选用顶点式或零点式求二次函数解析式时，最后的结果通常化为一般式．1．已知一个反比例函数的图象过(2,8)点，则这个函数的解析式为()A．y＝4xB．y＝－4xC．y＝16xD．y＝－16x解析：设函数的解析式为y＝kx(k≠0)，将(2,8)代入得8＝k2，∴k＝16，∴函数的解析式为y＝16x，故选C．答案：C2．已知一次函数的图象过点(1,3)，(3,4)，则这个函数的解析式为()A．y＝12x－52B．y＝12x＋52C．y＝－12x＋52D．y＝－12x－52解析：设函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，则3＝k＋b，4＝3k＋b，解得k＝12，b＝52，故选B．答案：B3．二次函数的图象过原点，且顶点为(1,2)，那么此二次函数的解析式为________________．解析：设二次函数的解析式为y＝a(x－1)2＋2，过原点(0,0)，∴a＋2＝0，a＝－2，∴y＝－2(x－1)2＋2.答案：y＝－2(x－1)2＋2典例精析规律总结课堂互动探究1类型用待定系数法确定一次函数的解析式已知一次函数的图象与x轴交于点A(6,0)，又与正比例函数图象交于点B，点B在第一象限且横坐标为4，如果△AOB(O为原点)的面积为15，求这个正比例函数和一次函数的解析式．【分析】首先设出正比例函数和一次函数的解析式，再结合图形求出待定系数．【解】∵点B在第一象限，且横坐标为4，∴设B(4，m)(m0)．由草图可知，S△AOB＝12·OA·m，∴15＝12×6·m，得m＝5.设正比例函数和一次函数的解析式分别为y＝k1x(k1≠0)和y＝k2x＋b(k2≠0)．把B(4,5)代入y＝k1x，得k1＝54，∴y＝54x.把B(4,5)，A(6,0)代入y＝k2x＋b，得4k2＋b＝5，6k2＋b＝0，解得k2＝－52，b＝15.∴y＝－52x＋15.已知y＝f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式为________________，该函数的值域为________________．解析：当x∈[0,2]时，设f(x)＝k1x＋b1(k1≠0)，过(0,2)，(1,0)，则b1＝2，k1＋b1＝0，∴k1＝－2，b1＝2，∴f(x)＝－2x＋2；当x∈[3,5]时，设f(x)＝k2x＋b2(k2≠0)，过(3，－2)，(5,0)，则3k2＋b2＝－2，5k2＋b2＝0，答案：f(x)＝－2x＋2，0≤x≤2，－2，2＜x＜3，x－5，3≤x≤5[－2,2]∴k2＝1，b2＝－5.∴f(x)＝x－5.∴f(x)＝－2x＋2，0≤x≤2，－2，2＜x＜3，x－5，3≤x≤5.值域为[－2,2]．2用待定系数法解决二次函数问题类型已知y＝f(x)的定义域为[1,4]，f(1)＝2，f(2)＝3，当x∈[1,2]时，f(x)的图象为线段，当x∈[2,4]时，f(x)的图象为二次函数图象的一部分，且顶点为(3,1)．(1)求f(x)的解析式；(2)画出f(x)的图象并求f(x)的值域．【解】(1)当x∈[1,2]时，设f(x)＝kx＋b(k≠0)，由f(1)＝2，f(2)＝3得k＋b＝2，2k＋b＝3.∴k＝1，b＝1，∴f(x)＝x＋1.当x∈[2,4]时，设f(x)＝a(x－3)2＋1(a≠0)，由f(2)＝3得a＋1＝3，∴a＝2.∴f(x)＝2(x－3)2＋1，∴f(x)＝x＋1，x∈[1，2]，2x－32＋1，x∈[2，4].(2)f(x)的值域为[1,3]．【知识点拨】一般来说，求几个待定系数的值，就根据条件列出几个方程．善于挖掘题目的隐含条件，找出变量之间的数学表达式是用待定系数法求解的关键．求满足下列条件的二次函数解析式．(1)已知二次函数的图象经过点A(3,0)，B(0，－3)，C(－2,5)三点；(2)已知顶点坐标为(4,2)，点(2,0)在函数图象上；(3)已知y＝x2－4x＋h的顶点A在直线y＝－4x－1上．解：(1)设所求函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a，b，c待定，根据已知条件得9a＋3b＋c＝0，c＝－3，4a－2b＋c＝5，解得a＝1，b＝－2，c＝－3，因此所求函数为y＝x2－2x－3.(2)设所求函数为y＝a(x－4)2＋2(a≠0)，其中a待定．根据已知条件得a(2－4)2＋2＝0，解得a＝－12.因此所求函数为y＝－12(x－4)2＋2＝－12x2＋4x－6.(3)y＝x2－4x＋h＝(x－2)2＋h－4，∴顶点A(2，h－4)．由已知得－4×2－1＝h－4，h＝－5，因此所求函数为y＝x2－4x－5.3待定系数法的综合应用类型(1)如果函数f(x)＝x2＋abx－c(b，c∈N＋)满足f(0)＝0，f(2)＝2，且f(－2)＜－12，求f(x)的解析式；(2)已知6x2－x－1＝(2x－1)(ax＋b)，求a，b的值．【解】(1)由f(0)＝0，f(2)＝2，可得－ac＝0，4＋a2b－c＝2，∴a＝0，2b－c＝2，∴f(x)＝x2bx－2b＋2，又f(－2)＜－12，∴4－4b＋2＜－12，即12＜b＜52，又∵b∈N＋，∴b＝1，c＝0或b＝2，c＝2.∵c∈N＋，∴b＝2，c＝2，∴f(x)＝x22x－2(x≠1)．(2)解法一：∵(2x－1)(ax＋b)＝2ax2＋(2b－a)x－b，∴6x2－x－1＝2ax2＋(2b－a)x－b.根据多项式恒等，对应项系数相等得2a＝6，2b－a＝－1，－b＝－1，解得a＝3，b＝1.解法二：∵已知等式对任意的实数x都成立，∴取x＝0和x＝1得－1＝－1·b，4＝1·a＋b，解得a＝3，b＝1，易证a＝3，b＝1就是所求的值．若x(2x2－2x－1)＋3＝(x＋1)f(x)，且f(x)≥m对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(－∞，－1]C．(－∞，1)D．(－∞，1]解析：∵x(2x2－2x－1)＋3＝(x＋1)f(x)，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则(x＋1)f(x)＝(x＋1)(ax2＋bx＋c)＝ax3＋(a＋b)x2＋(b＋c)x＋c＝2x3－2x2－x＋3.∴a＝2，a＋b＝－2，b＋c＝－1，c＝3，解得a＝2，b＝－4，c＝3.∴f(x)＝2x2－4x＋3＝2(x－1)2＋1≥1，当且仅当x＝1时，f(x)有最小值1.又f(x)≥m对一切x∈R恒成立，故m≤1.答案：D即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一二次函数的解析式1．已知二次函数的图象过点(－3,2)，顶点坐标为(－2,3)，则二次函数的解析式为()A．y＝x2－4x－1B．y＝x2＋4x－1C．y＝－x2－4x－1D．y＝－x2－4x＋1解析：∵二次函数的顶点坐标为(－2,3)，∴设该二次函数为y＝a(x＋2)2＋3(a≠0)，又∵函数图象过点(－3,2)，∴2＝a(－3＋2)2＋3，∴a＝－1，∴二次函数为y＝－(x＋2)2＋3＝－x2－4x－1.答案：C2．若函数f(x)＝x2＋bx＋c，且f(1)＝0，f(3)＝0，则f(－1)的值是()A．0B．8C．7D．9解析：由f(1)＝0，f(3)＝0，可得1＋b＋c＝0，9＋3b＋c＝0，解得b＝－4，c＝3.∴f(－1)＝1－b＋c＝8，故选B．答案：B知识点二待定系数法的综合应用3．已知f(x)＝x2＋1，g(x)是一次函数且是增函数，若f[g(x)]＝9x2＋6x＋2，则g(x)为()A．g(x)＝3x＋2B．g(x)＝3x＋1C．g(x)＝－3x＋2D．g(x)＝3x－1解析：设g(x)＝kx＋b(k＞0)，∴f[g(x)]＝f(kx＋b)＝(kx＋b)2＋1＝k2x2＋2kbx＋b2＋1，∴k2＝9，2kb＝6，b2＋1＝2，∴k＝3，b＝1，∴g(x)＝3x＋1.答案：B知识点三一次函数的解析式4．若一次函数y＝f(x)在区间[－1,3]上的最小值为1，最大值为3，则f(x)的解析式为________________．解析：设f(x)＝kx＋b(k≠0)，由题可知－k＋b＝1，3k＋b＝3或－k＋b＝3，3k＋b＝1，解得k＝12，b＝32或k＝－12，b＝52，∴f(x)＝12x＋32或f(x)＝－12x＋52.答案：f(x)＝12x＋32或f(x)＝－12x＋525．已知抛物线在x＝3时，取最大值－1，且抛物线过点(4，－3)，则抛物线方程为________________．解析：∵x＝3时，抛物线有最大值为－1，∴可设抛物线方程为y＝a(x－3)2－1(a＜0)，又∵抛物线过点(4，－3)，∴－3＝a(4－3)2－1，∴a＝－2，∴抛物线方程为y＝－2(x－3)2－1＝－2x2＋12x－19.答案：y＝－2x2＋12x－19