2020届新高考数学艺考生总复习 第三章 三角函数、解三角形 第4节 函数y＝Asin（ωx＋φ）的

高考总复习艺考生山东版数学第4节函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用第三章三角函数、解三角形最新考纲核心素养考情聚焦1.结合具体实例，了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义．2.能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，借助图象理解参数A，ω，φ的意义，了解参数的变化对函数图象的影响．3.会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型1.由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，发展直观想象和数学运算素养．2.由图象变换法确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，增强直观想象和数学运算素养．3.三角函数模型及其应用，提升数学建模和数学运算素养函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的变换以及根据图象和简单性质确定A、ω、φ的取值为高考中的一个热点，主要考查考生识图、辨图的能力及三角恒等变换问题，题型多以选择题或填空题的形式出现，且难度不大，属中低档题．有时也作为解答题中的一问或某一环节中有所涉及1．“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为：(1)定点：如下表所示．x－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φωωx＋φ0π2π3π22πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象．(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝Asin(ωx＋φ)在R上的图象．2．函数y＝Asin(ωx＋φ)中各量的物理意义当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示简谐振动时，几个相关的概念如下表：简谐振动振幅周期频率相位初相y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)AT＝2πωf＝1Tωx＋φφ3.函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)中各个字母的含义A所起的作用是图象上每个点的横坐标不变，纵坐标变化为原来的A倍，简称为振幅变换；ω所起的作用是图象上的每个点的纵坐标不变，横坐标变化为原来的1ω倍，简称为周期变换；φ所起的作用是将函数图象左右平移φω个单位，简称为相位变换．[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)将函数y＝sinωx的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度，得到函数y＝sin(ωx－φ)的图象．()(2)要得到函数y＝sinωx(ω＞0)的图象，只需将函数y＝sinx上所有点的横坐标变为原来的ω倍．()(3)将函数y＝sinx图象上各点的纵坐标变为原来的A(A＞0)倍，便得到函数y＝Asinx的图象．()(4)函数f(x)＝sin2x的最小正周期和最小值分别为π，0.()(5)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√[小题查验]1．函数y＝sin2x－π3在区间－π2，π上的简图是()解析：A[令x＝0得y＝sin－π3＝－32，排除B，D.由f－π3＝0，fπ6＝0，排除C，故选A.]2．为了得到函数y＝2sin2x－π3的图象，可以将函数y＝2sin2x的图象A．向右平移π6个单位长度B．向右平移π3个单位长度C．向左平移π6个单位长度D．向左平移π3个单位长度解析：A[函数y＝2sin2x－π3＝2sin2x－π6，可由函数y＝2sin2x的图象向右平移π6个单位长度得到．故选A.]3．(人教A版教材习题改编)函数y＝23sin12x－π4的振幅为________，周期为________，初相为________.答案：234π－π44．(2019·全国Ⅱ卷)若x1＝π4，x2＝3π4是函数f(x)＝sinωx(ω0)两个相邻的极值点，则ω＝()A．2B.32C．1D.12解析：A[由正弦函数图象可知T2＝x2－x1＝3π4－π4＝π2，∴T＝π，∴ω＝2πT＝2ππ＝2.]5．把函数y＝sin5x－π2的图象向右平移π4个单位，再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的12，所得的函数解析式为________.解析：将原函数的图象向右平移π4个单位，得到函数y＝sin5x－π4－π2＝sin5x－7π4的图象；再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的12，得到函数y＝sin10x－7π4的图象．答案：y＝sin10x－7π4考点一由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式(自主练透)[题组集训]1.(2016·全国Ⅱ卷)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则()A．y＝2sin2x－π6B．y＝2sin2x－π3C．y＝2sinx＋π6D．y＝2sinx＋π3解析：A[由题图可知，T＝2π3－－π6＝π，所以ω＝2，由五点作图法可知2×π3＋φ＝π2，所以φ＝－π6，所以函数的解析式为y＝2sin2x－π6，故选A.]2．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)ω0，|φ|π2，y＝f(x)的部分图象如图所示，则fπ24等于()A．2＋3B.3C.33D．2－3解析：B[由图形知，T＝πω＝238π－π8＝π2，∴ω＝2.由2×38π＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝kπ－34π，k∈Z.又∵|φ|＜π2，∴φ＝π4.由Atan(2×0＋π4)＝1，知A＝1，∴f(x)＝tan2x＋π4，∴fπ24＝tan2×π24＋π4＝tanπ3＝3.]3．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π)图象的最高点的纵坐标是4，相邻的两对称中心的距离为π2，图象经过点π6，0，则函数f(x)的解析式为________.解析：由题意知A＝4，T＝2×π2＝π(相邻两对称中心的距离是半个周期)，∴2πω＝π，则ω＝2，∴f(x)＝4sin(2x＋φ)．又函数图象经过点π6，0，∴4sin2×π6＋φ＝0，∴φ＋π3＝kπ(k∈Z)，∴φ＝kπ－π3(k∈Z)．又|φ|π，∴φ＝－π3或φ＝2π3.∴f(x)＝4sin2x－π3或f(x)＝4sin2x＋2π3.答案：f(x)＝4sin2x－π3或f(x)＝4sin2x＋2π3确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A0，ω0)的步骤和方法(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝M－m2，b＝M＋m2.(2)求ω：确定函数的周期T，则可得ω＝2πT.(3)求φ的常用方法①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝3π2；“第五点”时ωx＋φ＝2π.考点二由图象变换法确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式(子母变式)[母题](2016·全国Ⅰ卷)将函数y＝2sin2x＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为()A．y＝2sin2x＋π4B．y＝2sin2x＋π3C．y＝2sin2x－π4D．y＝2sin2x－π3直观想象——图象变换法确定函数解析式中的核心素养信息提取信息解读直观想象已知函数y＝2sin2x＋π6的图象向右平移14个周期由已知函数解析式y＝2sin2x＋π6可得其周期，从而得向右平移的单位求平移后所得图象对应的函数解析式按平移法则得平移后所得图象对应的函数解析式通过三角函数图象的左右平移变换，建立起形与数的联系，即平移前后的图象与平移前后函数解析式的对应关系[解析]D[函数y＝2sin2x＋π6的周期为T＝2π2＝π，所以函数y＝2sin2x＋π6的图象向右平移14个周期，即为函数y＝2sin2x＋π6的图象向右平移π4个单位，可得图象对应的函数为y＝2sin2x－π4＋π6，即y＝2sin2x－π3，故选D.][子题1]将母题变为：由函数y＝sinx的图象作怎样的变换可得到y＝2sin2x－π6的图象？解：把y＝sinx的图象上所有的点向右平移π6个单位，得到y＝sinx－π6的图象，再把y＝sinx－π6的图象上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y＝sin2x－π6的图象，最后把y＝sin2x－π6上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin2x－π6的图象．[子题2]将母题中函数y＝2sin2x＋π6的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值为________.解析：把y＝2sin2x＋π6图象上所有的点向左平移m个单位长度后，得到y＝2sin[2(x＋m)＋π6]的图象，此图象关于y轴对称．则2m＋π6＝kπ＋π2(k∈Z)，m＝12kπ＋π6(k∈Z)，m＞0，∴m的最小值为π6.答案：π6[子题3]将母题变为：若将函数y＝tanωx＋π4(ω＞0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y＝tanωx＋π6的图象重合，则ω的最小值为________.解析：将函数y＝tanωx＋π4(ω＞0)的图象向右平移π6个单位长度后，得到函数y＝tanωx＋π4－ωπ6(ω＞0)的图象，与函数y＝tanωx＋π6的图象重合，所以π4－ωπ6＝π6＋kπ(k∈Z)，所以k＝0时，ω的最小值为12.答案：12函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象的两种作法(1)五点法：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，π2，π，3π2，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象变换法：由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．易错警示：平移变换(或伸缩变换)是针对x而言，即x本身加减多少值(或x应乘以1ω即伸缩倍数的倒数)，而不是依赖于ωx加减(或乘以)多少值．考点三三角函数模型及其应用(师生共研)[典例]某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－3cosπ12t－sinπ12t，t∈[0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？[思维导引]利用辅助角公式将f(t)＝10－3cosπ12t－sinπ12t化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式就可以转化为求f(t)的最值问题和解不等式f(t)11求t的取值范围问题．[解析](1)因为f(t)＝10－232cosπ12t＋12sinπ12t＝10－2sinπ12t＋π3，又0≤t24，所以π3≤π12t＋π37π3，当t＝2时，sinπ12t＋π