2020届新高考数学艺考生总复习 第三章 三角函数、解三角形 第1节 任意角、弧度制及任意角的三角函

高考总复习艺考生山东版数学第1节任意角、弧度制及任意角的三角函数第三章三角函数、解三角形最新考纲核心素养考情聚焦1.了解任意角的概念和弧度制的概念，体会引入弧度制的必要性．2.能进行弧度与角度的互化．3.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义1.角的集合表示及象限角的判定，达成数学抽象素养．2.扇形的弧长及面积公式，发展数学抽象和数学运算素养．3.三角函数的定义，提升数学抽象和数学运算素养．4.三角函数线、三角函数值的符号，提升直观想象素养对于角的概念与分类、弧度制及任意角的三角函数定义单独命题的概率很小，多与其他知识相结合，如三角恒等变换、同角三角函数基本关系式及诱导公式等综合命题，题型一般为选择题、填空题形式，属于中低档题目，考查学生的基本运算能力及等价转化能力1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式角α的弧度数公式|α|＝lr(弧长用l表示)角度与弧度的换算①1°＝π180rad；②1rad＝180π°弧长公式弧长l＝|α|r扇形面积公式S＝12lr＝12|α|r23.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么定义y叫做α的正弦，记作sinαx叫做α的余弦，记作cosαyx叫做α的正切，记作tanαⅠ＋＋＋Ⅱ＋－－Ⅲ－－＋Ⅳ－＋－各象限符号口决一全正、二正弦、三正切、四余弦三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线1．任意角三角函数的定义的推广设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx(x≠0)．2．三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．3．若α分别为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限角，则α2所在象限如图[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)小于90°的角是锐角．()(2)锐角是第一象限角，反之亦然．()(3)三角形的内角必是第一、第二象限角．()(4)不相等的角终边一定不相同．()(5)终边相同的角的同一三角函数值相等．()(6)点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α终边在第二象限．()(7)α∈0，π2，则tanααsinα.()(8)α为第一象限角，则sinα＋cosα1.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√(6)√(7)√(8)√[小题查验]1．－870°角的终边在第几象限()A．一B．二C．三D．四解析：C[∵－870°＝－360°×3＋210°，∴－870°与210°角终边相同．又∵210°角的终边在第三象限，∴－870°角的终边在第三象限．故选C.]2．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是()A．2kπ＋45°(k∈Z)B．k·360°＋94π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z)D．kπ＋5π4(k∈Z)解析：C[与9π4的终边相同的角可以写成2kπ＋9π4(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C正确．]3．若sinαtanα0，且cosαtanα0，则角α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：C[由sinαtanα0可知sinα，tanα异号，从而α为第二或第三象限角．由cosαtanα0可知cosα，tanα异号，从而α为第三或第四象限角．综上可知，α为第三象限角．]4．(人教A版教材练习改编)已知角θ的终边经过点P(－12,5)，则sinθ＝____________，cosθ＝__________，tanθ＝________.答案：513－1213－5125．已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________.解析：设扇形的半径和弧长分别为r，l，则易得l＋2r＝6，12lr＝2，解得l＝4r＝1或l＝2，r＝2.故扇形的圆心角的弧度数是4或1.答案：1或4考点一角的集合表示及象限角的判定(师生共研)[典例](1)若角θ的终边与6π7角的终边相同，则在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角为__________.(2)如果α是第三象限的角，则角－α的终边所在位置是________，角2α的终边所在位置是________.[解析](1)∵θ＝6π7＋2kπ(k∈Z)，∴θ3＝2π7＋2kπ3(k∈Z)．依题意0≤2π7＋2kπ3＜2π⇒－37≤k＜187，k∈Z.∴k＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与θ3相同的角为2π7，20π21，34π21.(2)由α是第三象限的角得π＋2kπ＜α＜3π2＋2kπ，∴－3π2－2kπ＜－α＜－π－2kπ，即π2＋2kπ＜－α＜π＋2kπ(k∈Z)，∴角－α的终边在第二象限．由π＋2kπ＜α＜3π2＋2kπ得2π＋4kπ＜2α＜3π＋4kπ(k∈Z)，∴角2α的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴．[答案](1)2π7，20π21，34π21(2)第二象限；第一、二象限及y轴的非负半轴[互动探究]在本例(2)的条件下，角α3终边所在的位置是________.解析：因为π＋2kπ＜α＜3π2＋2kπ(k∈Z)，所以π3＋2kπ3＜α3＜π2＋2kπ3(k∈Z)．当k＝3n(n∈Z)时，π3＋2nπ＜α3＜π2＋2nπ(n∈Z)；当k＝3n＋1(n∈Z)时，π＋2nπ＜α3＜7π6＋2nπ(n∈Z)；当k＝3n＋2(n∈Z)时，5π3＋2nπ＜α3＜116π＋2nπ(n∈Z)．综上，α3的终边在第一、三、四象限．答案：第一、三、四象限(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．(2)表示区间角的三个步骤①先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界．②按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间．③起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．(3)已知角α终边所在的象限，求2α、α2、π－α等角的终边所在象限问题，可由条件先写出α的范围，解不等式得出角2α、α2、π－α等的范围，再根据范围确定象限．[跟踪训练]1．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在()A．第一或第三象限B．第一或第二象限C．第二或第四象限D．第三或第四象限解析：A[当k＝2n(n∈Z)时，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，α为第一象限角．当k＝2n＋1(n∈Z)时，α＝(2n＋1)·180°＋45°＝n·360°＋225°，α为第三象限角．所以α为第一或第三象限角．故选A.]2．已知角α的终边落在阴影所表示的范围内(包括边界)，则角α的集合为________.解析：在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角为90°≤α≤135°或270°≤α≤315°.所以终边落在阴影所表示的范围内的角α的集合为{α|90°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}∪{α|270°＋k·360°≤α≤315°＋k·360°，k∈Z}＝{α|90°＋2k·180°≤α≤135°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|90°＋(2k＋1)·180°≤α≤135°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|90°＋n·180°≤α≤135°＋n·180°，n∈Z}．答案：{α|90°＋n·180°≤α≤135°＋n·180°，n∈Z}考点二扇形的弧长及面积公式(师生共研)[典例]已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？[思维导引]建立扇形的面积S与其半径r的函数关系式求解．[解析]设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40.又S＝12θr2＝12r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100.当且仅当r＝10时，Smax＝100，此时2×10＋10θ＝40，θ＝2.所以当r＝10，θ＝2时，扇形的面积最大．[互动探究1]本例题条件若变为“周长为6，面积是2”，试求圆心角的弧度数．解：设半径为r，弧长为l，则2r＋l＝6，12lr＝2，解得r＝1，l＝4或r＝2，l＝2.∴圆心角的弧度数为α＝4或1.[互动探究2]本例题条件若变为“扇形的圆心角为120°，弦长为AB＝12”，试求弧长l.解：设半径为r.则由6r＝sin60°，∴r＝43，∴l＝|α|·r＝833π.应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．[跟踪训练]一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为________.解析：设圆的半径为r，则扇形的半径为2r3，记扇形的圆心角为α，则12α2r32πr2＝527，∴α＝5π6.∴扇形的弧长与圆周长之比为lc＝5π6·23r2πr＝518.答案：518考点三三角函数的定义(子母变式)[母题]设角α终边上一点P(－4a,3a)(a＜0)，则sinα的值为__.数学运算——三角函数定义应用中的核心素养信息提取信息解读数学运算已知角α终边上一点P的坐标(－4a,3a)(a＜0)角α的顶点在坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边可以由点P的坐标确定求sinα的值可以利用任意角的三角函数定义，求sinα的值先求点P到坐标原点的距离r，在利用sinα＝yr，求sinα的值[解析]第一步：利用两点间的距离公式求出点P到坐标原点的距离r.设P与原点的距离为r，∵P(－4a,3a)，a＜0，∴r＝－4a2＋3a2＝|5a|＝－5a.第二步，利用任意角的三角函数定义式求出sinα的值．∴sinα＝3a－5a＝－35.[答案]－35[子题1]若母题中“a＜0”，改为“a≠0”，则sinα的值为________.解析：当a＜0时，sinα＝－35；当a＞0时，r＝5a,sinα＝35.答案：－35或35[子题2]已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．解：设α终边上任一点为P(－4a,3a)，当a＞0时，r＝5a，sinα＝35，cosα＝－45，tanα＝－34；当a＜0时，r＝－5a，sinα＝－35，cosα＝45，tanα＝－34.[子题3]已知角α的终边上一点P(－3，m)(m≠0),且sinα＝2m4，求cosα，tanα的值．解：由题设知x＝－3，y＝m，∴r2＝|OP|2＝－32＋m2(O为原点)，r＝3＋m2.∴sinα＝mr＝2m4＝m22，∴r＝3＋m2＝22，即3＋m2＝8，解得m＝±5.当m＝5时，r＝22，x＝－3，y＝5，∴cosα＝－322＝－64，tanα＝－153；当m＝－5时，r＝22，x＝－3，y＝－5，∴cosα＝－322＝－64，tanα＝153.用定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解；(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．考点四三角函数线、三角函数值的符号(自主练透)[题组集训]1．下列各选项中正确的是()A．sin300°0B．cos(－305°)0C．tan