2020届高考数学总复习 第四章 三角函数、解三角形 4-4 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应

第4讲函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示x－φωπ2－φωπ－φω32π－φω2π－φωωx＋φ0π2π3π22πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A03.由y＝sinx的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的图象【答案】y＝sin2x1．(教材改编)把函数y＝sinx的图象上每个点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变得到的图象对应的函数是________．【解析】由函数图象变换的法则可知，把函数y＝sinx的图象上每个点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变，得到的图象对应的函数是y＝sin2x.2．(教材改编)某函数的图象向右平移π2个单位长度后得到的图象的解析式是y＝sinx＋π3，则此函数的表达式是________．【解析】将函数y＝sinx＋π3的图象向左平移π2个单位长度后得到函数y＝sinx＋π2＋π3＝sinx＋5π6的图象．【答案】y＝sinx＋5π63．(教材改编)已知简谐振动f(x)＝2sinπ3x＋φ|φ|π2的图象经过点(0，1)，则该简谐振动的初相φ为________．【解析】因为2sinφ＝1，所以sinφ＝12，又|φ|π2，所以φ＝π6.【答案】π6【答案】±24.(教材改编)已知函数f(x)＝2sinωx2cosωx2＋cosωx的最小正周期为π，则ω的值是________．【解析】f(x)＝2sinωx2cosωx2＋cosωx＝sinωx＋cosωx＝2sinωx＋π4，所以最小正周期T＝2π|ω|＝π，得ω＝±2.题组二常错题◆索引：图象平移多少个单位长度容易搞错；不能正确理解三角函数对称性的特征；三角函数的单调区间把握不准导致出错；确定不了函数解析式中的φ.5．为得到函数y＝cos2x＋π3的图象，只需将函数y＝sin2x的图象向________平移________个单位长度．【解析】y＝cos2x＋π3＝sinπ2＋2x＋π3＝sin2x＋5π6，故要得到函数y＝sin2x＋5π6＝sin2x＋5π12的图象，只需将函数y＝sin2x的图象向左平移5π12个单位长度．【答案】左5π126．设ω0，若函数f(x)＝sinωx2cosωx2在区间－π3，π3上单调递增，则ω的取值范围是________．【解析】f(x)＝sinωx2cosωx2＝12sinωx，若函数f(x)在区间－π3，π3上单调递增，则T2＝πω≥π3＋π3＝2π3，故ω∈0，32.【答案】0，32【答案】－5或－17．若f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋m对任意实数t都有fπ8＋t＝fπ8－t，且fπ8＝－3，则实数m＝________．【解析】由fπ8＋t＝fπ8－t，得函数图象的对称轴为直线x＝π8.故当x＝π8时，函数取得最大值或最小值，于是有－2＋m＝－3或2＋m＝－3，得m＝－1或m＝－5.8．已知函数y＝sin(ωx＋φ)ω0，|φ|π2的部分图象如图所示，则φ＝________．【解析】由图象可知，T＝4×712π－π3＝π，∴ω＝2ππ＝2，又由“五点法”知2×π3＋φ＝π2，得φ＝－π6.【答案】－π6考点一函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换【例1】(1)已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin2x＋2π3，则下面结论正确的是()A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2【解析】易知C1：y＝cosx＝sinx＋π2，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin2x＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y＝sin2x＋π12＋π2＝sin2x＋2π3的图象，即曲线C2.【答案】D(2)(2019·景德镇测试)已知函数f(x)＝4cosx·sinx＋π6＋a的最大值为2.①求a的值及f(x)的最小正周期；②在坐标系上作出f(x)在[0，π]上的图象．【解析】①f(x)＝4cosxsinx＋π6＋a＝4cosx·32sinx＋12cosx＋a＝3sin2x＋2cos2x＋a＝3sin2x＋cos2x＋1＋a＝2sin2x＋π6＋1＋a的最大值为2，∴a＝－1，最小正周期T＝2π2＝π.②由①知f(x)＝2sin2x＋π6，列表：x0π65π122π311π12π2x＋π6π6π2π3π22π13π6f(x)＝2sin2x＋π6120－201画图如下：【反思归纳】跟踪训练1要得到函数f(x)＝2sinxcosx，x∈R的图象，只需将函数g(x)＝2cos2x－1，x∈R的图象()A．向左平移π2个单位长度B．向右平移π2个单位长度C．向左平移π4个单位长度D．向右平移π4个单位长度【解析】f(x)＝2sinxcosx＝sin2x.对于A选项，因为函数g(x)＝cos2x，x∈R的图象向左平移π2个单位长度可得y＝cos2x＋π2＝cos(2x＋π)＝－cos2x的图象，所以A选项不符合题意；对于B选项，因为函数g(x)＝cos2x，x∈R的图象向右平移π2个单位长度可得y＝cos2x－π2＝cos(2x－π)＝－cos2x的图象，所以B选项不符合题意；对于选项C，因为函数g(x)＝cos2x，x∈R的图象向左平移π4个单位长度可得y＝cos2x＋π4＝cos2x＋π2＝－sin2x的图象，所以C选项不符合题意；对于D选项，因为函数g(x)＝cos2x，x∈R的图象向右平移π4个单位长度可得y＝cos2x－π4＝cos2x－π2＝sin2x的图象，所以D选项符合题意．故选D.【答案】D跟踪训练2为得到函数y＝sinx＋π3的图象，可将函数y＝sinx的图象向左平移m个单位长度，或向右平移n个单位长度(m，n均为正数)，则|m－n|的最小值是()A.π4B.π3C.2π3D.5π12【解析】由题意可知，m＝π3＋2k1π，k1为非负整数，n＝5π3＋2k2π，k2为非负整数．∴|m－n|＝－4π3＋2（k1－k2）π，∴当k1－k2＝1时，|m－n|min＝2π3.【答案】C考点二由图象求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式【例2】(1)(2019·吉林实验中学模拟)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是()A．2，－π3B．2，－π6C．4，－π6D．4，π3(2)如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(ω＞0，0≤φ＜2π)，则温度变化曲线的函数解析式为________．【解析】(1)由题意及图象知3T4＝5π12－－π3＝3π4，∴T＝π，ω＝2，∵图象过点B5π12，2，∴2×5π12＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z，即φ＝－π3＋2kπ，k∈Z，又∵－π2＜φ＜π2，∴φ＝－π3.(2)由图象可知b＝20，A＝30－102＝10，T2＝14－6＝8，T＝16＝2πω，解得ω＝π8.将(6，10)代入y＝10sinπ8x＋φ＋20，可得sin3π4＋φ＝－1，由0≤φ＜2π可得φ＝3π4，∴y＝10sinπ8x＋3π4＋20.【答案】(1)A(2)y＝10sinπ8x＋3π4＋20【反思归纳】跟踪训练3已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的部分图象如图所示，则f(1)的值为()【答案】BA．－3B．－1C．1D.3【解析】根据题中所给图象可知，函数f(x)的最小正周期T＝2×23＋13＝2，A＝2，ω＝2πT＝π，f23＝2sinπ×23＋φ＝－2，又0＜φ＜π，所以φ＝5π6，所以f(x)＝2sinπx＋56π，所以f(1)＝2sinπ＋5π6＝－1，故选B.跟踪训练4函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)ω＞0，0＜φ＜π2的部分图象如图所示，已知图象经过点A(0，1)，Bπ3，－1，则f(x)＝________．【解析】由已知得T2＝π3，∴T＝2π3，又T＝2πω，∴ω＝3.∵f(0)＝1，∴sinφ＝12，又∵0＜φ＜π2，∴φ＝π6，∴f(x)＝2sin3x＋π6(经检验满足题意)．【答案】2sin3x＋π6考点三函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质角度1图象变换与性质的综合【例3】(1)将函数y＝3sin2x＋π6的图象上各点沿x轴向右平移π6个单位长度，所得函数图象的一个对称中心为()A.7π12，0B.π6，0C.5π8，0D.2π3，－3(2)将函数f(x)＝2cos2x的图象向右平移π6个单位长度后得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间0，a3和2a，7π6上均单调递增，则实数a的取值范围是()A.π3，π2B.π6，π2C.π6，π3D.π4，3π8【解析】(1)将函数y＝3sin2x＋π6的图象上各点沿x轴向右平移π6个单位长度，可得函数y＝3sin2x－π6＋π6＝3sin2x－π6的图象．由2x－π6＝kπ，k∈Z，可得x＝kπ2＋π12，k∈Z，故所得函数图象的对称中心为kπ2＋π12，0，k∈Z.令k＝1可得一个对称中心为7π12，0.故选A.(2)将函数f(x)＝2cos2x的图象向右平移π6个单位长度后得到函数g(x)的图象，得g(x)＝2cos2x－π6＝2cos2x－π3.由－π＋2kπ≤2x－π3≤2kπ，k∈Z，得－π3＋kπ≤x≤π6＋kπ，k∈Z.当k＝0时，函数的单调递增区间为－π3，π6，当k＝1时，函数的单调递增区间为2π3，7π6.要使函数g(x)在区间0，a3和2a，7π6上均单调递增，则0＜a3≤π6，2π3≤2a＜7π6，解得a∈π3，π2.故选A.【答案】(1)A(2)A角度2解析式的求法与性质的综合【例4】(2019·银川模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象与x轴的一个交点－π12，0到其相邻的一条对称轴的距离为π4，若fπ12＝32，则函数f(x)在0，π2上的最小值为()A.12B．－3C．－32D．－12【解析】由题意得，函数f(x)的最小正周期T＝4×π4＝π＝2πω，解得ω＝2.因为点－π12，0在函数f(x)的图象上，所以Asin2×－π12＋