2020届高考数学总复习 第七章 不等式 推理与证明 7-1 不等式的性质、一元二次不等式课件 文

第1讲不等式的性质、一元二次不等式1．实数的大小顺序与运算性质的关系(1)ab⇔a－b0.(2)a＝b⇔a－b＝0.(3)ab⇔a－b0.2．不等式的性质(1)对称性：ab⇔___________．(双向性)(2)传递性：ab，bc⇔ac.(单向性)(3)可加性：ab⇔a＋c_____b＋c.(双向性)ab，cd⇒___________________．(单向性)(4)可乘性：ab，c0⇒ac____bc；ab，c0⇒ac____bc；ab0，cd0⇒ac____bd.(单向性)baa＋cb＋d3．“三个二次”的关系ax2＋bx＋c0(a0)的解集________________∅_____{x|x1xx2}∅4.常用结论(口诀：大于取两边，小于取中间)(x－a)(x－b)＞0或(x－a)(x－b)＜0型不等式的解法不等式解集a＜ba＝ba＞b(x－a)·(x－b)＞0{x|x＜a或x＞b}_______________________(x－a)·(x－b)＜0________________{x|b＜x＜a}{x|a＜x＜b}{x|x≠a}{x|x＜b或x＞a}∅题组一常识题1．(教材改编)不等式(x－2)(2x－3)0的解集是________．【解析】由不等式(x－2)(2x－3)＜0，解得32＜x＜2，所以不等式的解集是32，2.【答案】32，22．(教材改编)设A＝(x－3)2，B＝(x－2)(x－4)，则A________B．(填“”“”“≥”“≤”或“＝”)【解析】A－B＝(x2－6x＋9)－(x2－6x＋8)＝10，所以AB.【答案】3．(教材改编)若不等式－x2＋2x＋m0的解集是∅，则实数m的取值范围为________．【解析】－x2＋2x＋m0可化为x2－2x－m0.由题意得Δ＝(－2)2－4×1×(－m)≤0，即4＋4m≤0，所以m≤－1.【答案】m≤－1【解析】当c＝0时，①②不成立；当a0，b0时，④不成立．【答案】③4．(教材改编)若ab，给出下列四个不等式：①ac2bc2；②c2ac2b；③ac2≥bc2；④c2a≤c2b.其中一定成立的是________．(填序号)题组二常错题◆索引：不等式基本性质的两个易错点：(1)不等号的传递性；(2)可乘性．5．有以下四种说法：①若ab，cd，则a－cb－d；②若ab0，则3a3b；③若ab0，cd0，则adbc；④若ab1，则ab.其中正确说法的序号是________．【解析】对于①，∵ab，cd，∴－c－d，∴a－cb－d，①正确；对于②，∵ab0，∴3a3b0，②正确；对于③，∵cd0，∴cd0，∵ab0，cd0，∴acbd0，∴adbc，③正确；对于④，当a＝－2，b＝－1时，④不正确．故填①②③.解答本题时，易出现对不等式性质掌握不熟而造成的错误．【答案】①②③6．不等式(ax－1)(x－2)0(a0)的解集是__________________．【解析】不等式(ax－1)(x－2)0可化为x－1a(x－2)0，解得x1a或x2.本题求解时，易忽视a的值为负数而造成错误．【答案】xx1a或x2【答案】(－∞，－1)7．已知存在实数a满足ab2aab，则实数b的取值范围是________________．【解析】∵ab2aab，∴a≠0.当a0时，b21b，即b21，b1，解得b－1；当a0时，b21b，即b21，b1，无解．综上可得b－1.【答案】[0，1)8．若不等式mx2＋2mx＋10的解集为R，则m的取值范围是____________．【解析】①当m＝0时，10显然成立．②当m≠0时，由条件知m0，Δ＝4m2－4m0，得0m1.综上可知0≤m1.本题求解时，易忽视二次项系数等于零而造成错误．考点一比较大小与不等式的性质【例1】(1)已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是()A．c≥b＞aB．a＞c≥bC．c＞b＞aD．a＞c＞b(2)如果a＜0，b＞0，那么下列不等式中正确的是()A.1a＜1bB.－a＜bC．a2＜b2D．|a|＞|b|【解析】(1)∵c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b.又b＋c＝6－4a＋3a2，∴2b＝2＋2a2，∴b＝a2＋1，∴b－a＝a2－a＋1＝a－122＋34＞0，∴b＞a，∴c≥b＞a.(2)A.如果a＜0，b＞0，那么1a＜0，1b＞0，∴1a＜1b，故A正确；B．取a＝－2，b＝1，可得－a＞b，故B错误；C．取a＝－2，b＝1，可得a2＞b2，故C错误；D．取a＝－12，b＝1，可得|a|＜|b|，故D错误．【答案】(1)A(2)A【反思归纳】跟踪训练1(1)(2019·东北三省四市模拟)设a，b均为实数，则“a＞|b|”是“a3＞b3”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)已知m∈R，a＞b＞1，f(x)＝m2xx－1，则f(a)与f(b)的大小关系是()A．f(a)＞f(b)B．f(a)＜f(b)C．f(a)≤f(b)D．不确定【解析】(1)a＞|b|能推出a＞b，进而得a3＞b3；当a3＞b3时，有a＞b，但若b＜a＜0，则a＞|b|不成立，所以“a＞|b|”是“a3＞b3”的充分不必要条件，故选A.(2)∵f(a)＝m2aa－1，f(b)＝m2bb－1，∴f(a)－f(b)＝m2aa－1－m2bb－1＝m2aa－1－bb－1＝m2·a（b－1）－b（a－1）（a－1）（b－1）＝m2·b－a（a－1）（b－1），当m＝0时，f(a)＝f(b)；当m≠0时，m2＞0，又a＞b＞1，∴f(a)＜f(b)．综上，f(a)≤f(b)．【答案】(1)A(2)C考点二一元二次不等式的解法【例2】解下列不等式：(1)3＋2x－x2≥0.(2)x2－(a＋1)x＋a0.【解析】(1)原不等式化为x2－2x－3≤0，即(x－3)(x＋1)≤0，故所求不等式的解集为{x|－1≤x≤3}．(2)原不等式可化为(x－a)(x－1)0，当a1时，原不等式的解集为(1，a)；当a＝1时，原不等式的解集为∅；当a1时，原不等式的解集为(a，1)．【互动探究】将(2)中不等式改为ax2－(a＋1)x＋10，求不等式的解集．【解析】若a＝0，原不等式等价于－x＋10，解得x1.若a0，原不等式等价于x－1a(x－1)0，解得x1a或x1.若a0，原不等式等价于x－1a(x－1)0.①
当a＝1时，1a＝1，x－1a(x－1)0无解；②当a1时，1a1，解x－1a(x－1)0得1ax1；③当0a1时，1a1，解x－1a(x－1)0得1x1a.综上所述：当a0时，解集为xx1a或x1；当a＝0时，解集为{x|x1}；当0a1时，解集为x1x1a；当a＝1时，解集为∅；当a1时，解集为x1ax1.【反思归纳】跟踪训练2(1)不等式2x＋1x－5≥－1的解集为__________．(2)已知不等式ax2－bx－10的解集是x－12＜x＜－13，则不等式x2－bx－a≥0的解集是()A.{}x|2＜x＜3B．{x|x≤2或x≥3}C.x13＜x＜12D.xx＜13或x＞12【解析】(1)将原不等式移项通分得3x－4x－5≥0，等价于（3x－4）（x－5）≥0，x－5≠0，解得x≤43或x＞5.∴原不等式的解集为xx≤43或x＞5.(2)∵不等式ax2－bx－10的解集是x－12x－13，∴ax2－bx－1＝0的解是x1＝－12和x2＝－13，且a0，∴－12－13＝ba，－12×－13＝－1a，解得a＝－6，b＝5.则不等式x2－bx－a≥0即为x2－5x＋6≥0，解得x≤2或x≥3.【答案】(1)xx≤43或x＞5(2)B考点三一元二次不等式恒成立问题角度1形如f(x)≥0(x∈R)求参数的范围【例3】不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－40对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．【解析】当a－2＝0，即a＝2时，不等式即为－40，对一切x∈R恒成立，当a≠2时，则有a－20，Δ＝4（a－2）2＋16（a－2）0，即a2，－2a2，∴－2a2.综上，可得实数a的取值范围是(－2，2]．【答案】(－2，2]角度2形如f(x)≥0()x∈[a，b]求参数的范围【例4】设函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1，3]，f(x)－m＋5恒成立，求m的取值范围．【解析】要使f(x)－m＋5在x∈[1，3]上恒成立，即mx－122＋34m－60在x∈[1，3]上恒成立．有以下两种方法：法一：令g(x)＝mx－122＋34m－6，x∈[1，3]．当m0时，g(x)在[1，3]上是增函数，所以g(x)max＝g(3)⇒7m－60，所以m67，所以0m67；当m＝0时，－60恒成立；当m0时，g(x)在[1，3]上是减函数，所以g(x)max＝g(1)⇒m－60，所以m6，所以m0.综上所述：m的取值范围是mm67.法二：因为x2－x＋1＝x－122＋340，又因为m(x2－x＋1)－60，所以m6x2－x＋1.因为函数y＝6x2－x＋1＝6x－122＋34在[1，3]上的最小值为67，所以只需m67即可．所以m的取值范围是mm67.角度3形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])求x的范围【例5】对任意的k∈[－1，1]，函数f(x)＝x2＋(k－4)x＋4－2k的值恒大于零，则x的取值范围是__________．【解析】对任意的k∈[－1，1]，x2＋(k－4)x＋4－2k0恒成立，即g(k)＝(x－2)k＋(x2－4x＋4)0，在k∈[－1，1]时恒成立．只需g(－1)0且g(1)0，即x2－5x＋60，x2－3x＋20，解得x1或x3.【答案】{x|x1或x3}【反思归纳】跟踪训练3(1)关于x的不等式x2－(m＋1)x＋(m＋1)≥0对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围为()A．[－3，1]B．[－3，3]C．[－1，1]D．[－1，3](2)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1，1]时，f(x)＞0恒成立，则b的取值范围是()A．(－1，0)B．(2，＋∞)C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D．不能确定【解析】(1)∵关于x的不等式x2－(m＋1)x＋(m＋1)≥0对一切x∈R恒成立，∴Δ＝(m＋1)2－4(m＋1)＝(m＋1)(m－3)≤0，解得－1≤m≤3，∴实数m的取值范围为[－1，3]．故选D.(2)由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)的图象关于直线x＝1对称，即a2＝1，解得a＝2.又因为f(x)开口向下，所以当x∈[－1，1]时，f(x)为增函数，所以f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，f(x)＞0恒成立，即b2－b－2＞0恒成立，解得b＜－1或b＞2.【答案】(1)D(2)C