2020届高考数学总复习 第六章 数列 6-3 等比数列及其前n项和课件 文 新人教A版

第3讲等比数列及其前n项和1．等比数列的有关概念2．等比数列的有关公式3．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·___________(n，m∈N*)．(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝_____________＝_____；qn－map·aqa(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn(λ≠0)仍然是等比数列；(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.题组一常识题1．(教材改编)在递减的等比数列{an}中，若a3＝1，a2＋a4＝52，则a1＝__________．【解析】在等比数列{an}中，易得a2a4＝a23＝1，又a2＋a4＝52，且数列{an}为递减数列，所以a2＝2，a4＝12，所以q2＝a4a2＝14，所以q＝12，则a1＝a2q＝4.【答案】42．(教材改编)已知等比数列{an}中，a2＋a3＝1，a4＋a5＝2，则a6＋a7＝________．【解析】由题易知a2＋a3，a4＋a5，a6＋a7成等比数列，又a2＋a3＝1，a4＋a5＝2，所以(a4＋a5)2＝(a2＋a3)(a6＋a7)，解得a6＋a7＝4.【答案】4【答案】163．(教材改编)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a2＋a3＋a4＝1，a5＋a6＋a7＋a8＝2，Sn＝15，则项数n＝________．【解析】由题得a5＋a6＋a7＋a8＝(a1＋a2＋a3＋a4)q4＝q4＝2，则a1＋a2＋a3＋a4＝a1（1－q4）1－q＝－a11－q＝1，∴a11－q＝－1，又Sn＝15，即a1（1－qn）1－q＝15，∴qn＝16，又q4＝2，∴n＝16.4．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数构成等比数列，则这两个数为________．【解析】设该数列的公比为q，由题意知243＝9×q3，得q3＝27，∴q＝3，故插入的两个数分别为9×3＝27，27×3＝81.【答案】27，81题组二常错题◆索引：“G2＝ab”是“a，G，b成等比数列”的必要不充分条件；运用等比数列的前n项和公式时，易忽略q＝1的情况；等比数列的性质应用不熟导致出错．5．已知等比数列{an}中，a3＝4，a7＝16，则a3与a7的等比中项为________．【解析】设a3与a7的等比中项为G.因为等比数列{an}中，a3＝4，a7＝16，所以G2＝4×16＝64，所以G＝±8.【答案】±86．数列{an}的通项公式为an＝an(a≠0且a≠1)，则其前n项和Sn＝__________．【解析】因为a≠0，所以{an}是以a为首项，以a为公比的等比数列．又a≠1，所以Sn＝a（1－an）1－a.【答案】a（1－an）1－a7．若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则lna1＋lna2＋…＋lna20＝__________．【解析】∵{an}为等比数列，且a10a11＋a9a12＝2e5，∴a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，∴a10a11＝e5，∴lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2…a20)＝ln(a10a11)10＝ln(e5)10＝lne50＝50.【答案】50【答案】48．在等比数列{an}中，an0，a5－a1＝15，a4－a2＝6，则a3＝________．【解析】因为a5－a1＝15，a4－a2＝6，所以a1q4－a1＝15①，a1q3－a1q＝6②，且q≠1.由①②得（q2＋1）（q2－1）q（q2－1）＝156，即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或12.当q＝2时，a1＝1；当q＝12时，a1＝－16(舍去)．所以a3＝1×22＝4.考点一等比数列的基本运算【例1】(1)在等比数列{an}中，a3＝7，前3项和S3＝21，则公比q的值为()A．1B．－12C．1或－12D．－1或12(2)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于________．【解析】(1)根据已知条件得【答案】(1)C(2)2n－1【反思归纳】跟踪训练1(1)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏(2)(2019·广州测试)在各项都为正数的等比数列{an}中，已知a1＝2，a2n＋2＋4a2n＝4a2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝__________．(3)(2019·洛阳统考)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋8a4＝0，则S4S3＝()A．－53B.157C.56D.1514【解析】(1)设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7＝381，q＝2，∴S7＝a1（1－q7）1－q＝a1（1－27）1－2＝381，解得a1＝3.故选B.(2)设数列{an}的公比为q(q＞0)，由a2n＋2＋4a2n＝4a2n＋1，an＞0，得(anq2)2＋4a2n＝4(anq)2，整理得q4－4q2＋4＝0，解得q＝2或q＝－2(舍去)，所以an＝2×2n－12＝2n＋12.(3)在等比数列{an}中，因为a1＋8a4＝0，所以q＝－12，所以S4S3＝a1（1－q4）1－qa1（1－q3）1－q＝1－－1241－－123＝151698＝56.【答案】(1)B(2)2n＋12(3)C考点二等比数列的判定与证明【例2】已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式．(2)若S5＝3132，求λ.【解析】(1)证明：由题意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝11－λ，故a1≠0.由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan.由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以an＋1an＝λλ－1.因此{an}是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是an＝11－λλλ－1n－1.(2)由(1)得Sn＝1－λλ－1n.由S5＝3132得1－λλ－15＝3132，即λλ－15＝132.解得λ＝－1.【反思归纳】跟踪训练2(2019·兰州模拟)已知数列{an}满足对任意的正整数n，均有an＋1＝5an－2·3n，且a1＝8.(1)证明：数列{an－3n}为等比数列，并求数列{an}的通项公式．(2)记bn＝an3n，求数列{bn}的前n项和Tn.【解析】(1)证明：因为an＋1＝5an－2·3n，所以an＋1－3n＋1＝5an－2·3n－3n＋1＝5(an－3n)，又a1＝8，所以a1－3＝5≠0，所以数列{an－3n}是首项为5、公比为5的等比数列．所以an－3n＝5n，所以an＝3n＋5n.(2)由(1)知，bn＝an3n＝3n＋5n3n＝1＋53n，则数列{bn}的前n项和Tn＝1＋531＋1＋532＋…＋1＋53n＝n＋531－53n1－53＝5n＋12·3n＋n－52.考点三等比数列的性质角度1等比数列项的性质的应用【例3】(1)在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2－6x＋8＝0的根，则a1a17a9的值为()A．22B．4C．－22或22D．－4或4(2)(2019·武汉华师附中调研)数列{an}的通项公式为an＝2n－1，则使不等式a21＋a22＋…＋a2n5×2n＋1成立的n的最大值为()A．2B．3C．4D．5【解析】(1)因为a3，a15是方程x2－6x＋8＝0的根，所以a3a15＝8，a3＋a15＝6，易知a3，a15均为正，由等比数列的性质知，a1a17＝a29＝a3a15＝8，所以a9＝22，a1a17a9＝22，故选A.(2)因为an＝2n－1，a2n＝4n－1，所以a21＋a22＋…＋a2n＝1×（1－4n）1－4＝13(4n－1)．因为a21＋a22＋…＋a2n5×2n＋1，所以13(4n－1)5×2n＋1，所以2n(2n－30)1，对n进行赋值，可知n的最大值为4.【答案】(1)A(2)C角度2等比数列前n项和的性质的应用【例4】等比数列{an}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，则a9＋a11＋a13＋a15的值为()A．1B．2C．3D．5【解析】法一：因为{an}为等比数列，所以a5＋a7是a1＋a3与a9＋a11的等比中项，所以(a5＋a7)2＝(a1＋a3)·(a9＋a11)，故a9＋a11＝（a5＋a7）2a1＋a3＝428＝2.同理，a9＋a11是a5＋a7与a13＋a15的等比中项，所以(a9＋a11)2＝(a5＋a7)(a13＋a15)，故a13＋a15＝（a9＋a11）2a5＋a7＝224＝1.所以a9＋a11＋a13＋a15＝2＋1＝3.法二：在等比数列{an}中，得q4＝a5＋a7a1＋a3＝12，所以a9＋a11＋a13＋a15＝q8(a1＋a3＋a5＋a7)＝14(8＋4)＝3.【答案】C【反思归纳】【答案】A跟踪训练3已知等比数列{an}中，a4＋a8＝－2，则a6(a2＋2a6＋a10)的值为()A．4B．6C．8D．－9【解析】a6(a2＋2a6＋a10)＝a6a2＋2a26＋a6a10＝a24＋2a4a8＋a28＝(a4＋a8)2，因为a4＋a8＝－2，所以a6(a2＋2a6＋a10)＝4.跟踪训练4(2019·青岛调研)设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于()A.18B．－18C.578D.558【解析】因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝18.所以a7＋a8＋a9＝18.【答案】A跟踪训练5在等比数列{an}中，公比q＝2，前87项的和S87＝140，则a3＋a6＋a9＋…＋a87＝()A．20B．56C．80D．136【解析】法一：a3＋a6＋a9＋…＋a87＝a3(1＋q3＋q6＋…＋q84)＝a1q21－（q3）291－q3＝q21＋q＋q2·a1（1－q87）1－q＝47×140＝80.故选C.法二：设b1＝a1＋a4＋a7＋…＋a85，b2＝a2＋a5＋a8＋…＋a86，b3＝a3＋a6＋a9＋…＋a87，因为b1q＝b2，b2q＝b3，且b1＋b2＋b3＝140，所以b1(1＋q＋q2)＝140，又1＋q＋q2＝7，所以b1＝20，b3＝q2b1＝4×20＝80.故选C.【答案】C