2020届高考数学总复习 第九章 解析几何 9-7 抛物线课件 文 新人教A版

第7讲抛物线1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内．(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离_______．(3)定点________定直线上．相等不在2．抛物线的标准方程与几何性质【知识拓展】已知y2＝2px，过焦点F的直线l交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，l的倾斜角为θ，如图，则(1)|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2θ.(2)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.(3)1|AF|＋1|BF|＝2p.(4)S△AOB＝p22sinθ.(5)|CD|＝2p，即通径，通径是过抛物线焦点弦中最短的弦．题组一常识题1．(教材改编)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的标准方程是______________．【解析】由抛物线的准线方程为x＝－2，知p＝4，且抛物线的开口向右，所以抛物线的标准方程为y2＝8x.【答案】y2＝8x2．(教材改编)设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是____________．【解析】如图所示，抛物线的准线l的方程为x＝－2，F是抛物线的焦点，过点P作PA⊥y轴，垂足是A，延长PA交直线l于点B，则|AB|＝2，由于点P到y轴的距离为4，则点P到准线l的距离|PB|＝4＋2＝6，所以点P到焦点的距离|PF|＝|PB|＝6.【答案】63．(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为____________．【解析】很明显点P在第三象限，所以抛物线的焦点可能在x轴负半轴上或y轴负半轴上．当焦点在x轴负半轴上时，设方程为y2＝－2px(p0)，把点P(－2，－4)的坐标代入得(－4)2＝－2p×(－2)，解得p＝4，此时抛物线的标准方程为y2＝－8x；当焦点在y轴负半轴上时，设方程为x2＝－2py(p0)，把点P(－2，－4)的坐标代入得(－2)2＝－2p×(－4)，解得p＝12，此时抛物线的标准方程为x2＝－y.综上可知，抛物线的标准方程为y2＝－8x或x2＝－y.【答案】y2＝－8x或x2＝－y题组二常错题◆索引：忽视抛物线的类型；不注意抛物线方程的标准形式；在方程中没有限制条件p0的情况下，p可以为负值．4．若抛物线的焦点在直线x－2y－4＝0上，则此抛物线的标准方程为____________．【解析】令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝4.故抛物线的焦点是F(4，0)或F(0，－2)，所以所求抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－8y.【答案】y2＝16x或x2＝－8y5．抛物线x2＋2py＝0的焦点到准线的距离为4，则p＝__________．【解析】将方程x2＋2py＝0变形为x2＝－2py，则有|p|＝4，所以p＝±4.【答案】±46．点M(2，1)到抛物线y＝ax2准线的距离为2，则a的值为__________．【解析】抛物线y＝ax2的标准方程为x2＝1ay，当a0时，准线方程为y＝－14a，则有1＋14a＝2，解得a＝14；当a0时，准线方程为y＝－14a，则有－14a－1＝2，解得a＝－112.综上可得a＝14或a＝－112.【答案】14或－112考点一抛物线的定义及应用【例1】设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为__________．【解析】如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.【答案】4【互动探究】1．若将本例中的B点坐标改为(3，4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．【解析】由题意可知点B(3，4)在抛物线的外部．∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1，0)，∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝42＋22＝25，即|PB|＋|PF|的最小值为25.2．若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值．【解析】由题意知，抛物线的焦点为F(1，0)．点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋|PF|的最小值为|1＋5|12＋（－1）2＝32，所以d1＋d2的最小值为32－1.【反思归纳】跟踪训练1设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为____________．【解析】如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为[1－（－1）]2＋（0－1）2＝5.【答案】5考点二抛物线的标准方程和几何性质角度1求抛物线的标准方程【例2】(2019·深圳模拟)如图所示，过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为()A．y2＝32xB．y2＝9xC．y2＝92xD．y2＝3x【解析】分别过点A，B作AA1⊥l，BB1⊥l，且垂足分别为A1，B1，由已知条件|BC|＝2|BF|，得|BC|＝2|BB1|，所以∠BCB1＝30°.又|AA1|＝|AF|＝3，所以|AC|＝2|AA1|＝6，所以|CF|＝|AC|－|AF|＝6－3＝3，所以F为线段AC的中点．故点F到准线的距离为p＝12|AA1|＝32，故抛物线的方程为y2＝3x.【答案】D角度2抛物线的几何性质【例3】已知抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p24.(2)1|AF|＋1|BF|为定值．(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．【证明】(1)由已知得抛物线焦点坐标为p2，0.由题意可设直线方程为x＝my＋p2，代入y2＝2px，得y2＝2pmy＋p2，即y2－2pmy－p2＝0.(*)因为p2，0在抛物线内部，所以直线与抛物线必有两交点．则y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2＝－p2.因为y21＝2px1，y22＝2px2，所以y21y22＝4p2x1x2，所以x1x2＝y21y224p2＝p44p2＝p24.(2)1|AF|＋1|BF|＝1x1＋p2＋1x2＋p2＝x1＋x2＋px1x2＋p2（x1＋x2）＋p24.因为x1x2＝p24，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式，得1|AF|＋1|BF|＝|AB|p24＋p2（|AB|－p）＋p24＝2p(定值)．(3)设AB的中点为M(x0，y0)，如图所示，分别过A，B作准线l的垂线，垂足为C，D，过M作准线l的垂线，垂足为N，则|MN|＝12(|AC|＋|BD|)＝12(|AF|＋|BF|)＝12|AB|.所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．【反思归纳】跟踪训练2(1)(2019·三市调研)若抛物线y2＝2px(p0)上的点A(x0，2)到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍，则p等于()A.12B．1C.32D．2(2)过点P(－2，0)的直线与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，且|PA|＝12|AB|，则点A到抛物线C的焦点的距离为()A.53B.75C.97D．2【解析】(1)由题意得3x0＝x0＋p2，即x0＝p4，即Ap4，2，代入抛物线方程，得p22＝2，∵p0，∴p＝2.故选D.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别过点A，B作直线x＝－2的垂线，垂足分别为点D，E.∵|PA|＝12|AB|，∴3（x1＋2）＝x2＋2，3y1＝y2，又y21＝4x1，y22＝4x2，得x1＝23，则点A到抛物线C的焦点的距离为1＋23＝53.【答案】(1)D(2)A考点三直线与抛物线的综合问题角度1直线与抛物线的交点问题【例4】已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2，2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若MA→·MB→＝0，则k＝__________．【解析】抛物线C的焦点为F(2，0)，则直线方程为y＝k(x－2)，与抛物线方程联立，消去y化简得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，则抛物线C与直线必有两个交点．设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4＋8k2，x1x2＝4.所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－4k＝8k，y1y2＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝－16.因为MA→·MB→＝(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋y1y2－2(y1＋y2)＋8＝0，将上面各个量代入，化简得k2－4k＋4＝0，所以k＝2.【答案】2角度2与抛物线弦的中点有关的问题【例5】已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ.(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．【解析】(1)证明：由题意知，F12，0，设l1：y＝a，l2：y＝b，则ab≠0，且Aa22，a，Bb22，b，P－12，a，Q－12，b，R－12，a＋b2.记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则k1＝a－b1＋a2＝a－ba2－ab＝1a＝－aba＝－b＝b－0－12－12＝k2.所以AR∥FQ.(2)设过AB的直线为l，设l与x轴的交点为D(x1，0)，则S△ABF＝12|b－a||FD|＝12|b－a|x1－12，S△PQF＝|a－b|2.由题意可得|b－a|x1－12＝|a－b|2，所以x1＝1，x1＝0(舍去)．设满足条件的AB的中点为E(x，y)．当AB与x轴不垂直时，由kAB＝kDE可得2a＋b＝yx－1(x≠1)．而a＋b2＝y，所以y2＝x－1(x≠1)．当AB与x轴垂直时，E与D重合，此时E点坐标为(1，0)，满足方程y2＝x－1.所以所求轨迹方程为y2＝x－1.【反思归纳】跟踪训练3(2019·武汉调研)已知抛物线C：x2＝2py(p0)和定点M(0，1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；(2)若△ABN面积的最小值为4，求抛物线C的方程．【解析】(1)可设AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将AB的方程代入抛物线C，得x2－2pkx－2p＝0，显然方程有两个不等实根，则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.①又x2＝2py得y′＝xp，则A，B处的切线斜率乘积为x1x2p2＝－2p＝－1，则有p＝2.(2)设切线AN为y＝x1px＋b，又切点A在抛物线y＝x22p上，∴y1＝x212p，∴b＝x212p－x21p＝－x212p，∴yAN＝x1px－x212p.同理yBN＝x2px－x222p.又∵N在yAN和yBN上，∴y＝x1px－x212p，y＝x2px－x222p，解得Nx1＋x22，x1x22p.∴N(pk，－1)．|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝1＋k24p2k2＋8p，点N到直线AB的距离d＝|kxN＋1－yN|1＋k2＝|pk2＋2|1＋k2