2020届高考数学一轮总复习 第五单元 平面向量与复数 第31讲 平面向量的概念及线性运算课件 理

高考总复习第（1）轮理科数学第五单元平面向量与复数第31讲平面向量的概念及线性运算1．了解向量的实际背景，理解向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示．2．掌握向量的加法、减法的运算，并理解其几何意义．3．掌握向量的数乘运算，并理解其几何意义以及两个向量共线(平行)的意义．1．向量的有关概念(1)向量的定义：既有________又有________的量叫做向量．用有向线段表示向量时，有向线段的长度表示向量的___________________，有向线段的箭头所指的方向表示向量的_______.(2)两个特殊向量__________的向量叫做零向量，记作0.______________________的向量叫做单位向量．大小方向大小(叫做向量的模)方向长度为0长度等于1个单位长度(3)平行向量(或共线向量)①方向______________的________向量叫做平行向量，因为任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做________向量．②规定0与任一向量平行．③长度________且方向________的向量叫做相等向量．2．向量的线性运算(1)向量的加法①定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法．②法则：向量的加法有_________法则和_____________法则．相同或相反非零共线相等相同三角形平行四边形③几何意义：如下图所示：④运算律：a＋b＝_________；(a＋b)＋c＝_____________.(2)向量的减法①定义：减去一个向量相当于加上这个向量的_____________.②法则：向量的减法符合三角形法则．③几何意义如下图所示．b＋aa＋(b＋c)相反向量(3)向量的数乘运算①定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫作向量的数乘，记作λa，它的长度和方向规定如下：(ⅰ)|λa|＝_________；(ⅱ)当λ0时，λa的方向与a的方向_________；当λ0时，λa的方向与a的方向_________；当λ＝0时，λa＝.②运算律a，b为任意向量，λ，μ为实数．λ(μa)＝__________；(λ＋μ)a＝___________；λ(a＋b)＝___________.|λ||a|相同相反(λμ)aλa＋μaλa＋λb03．向量共线定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一实数λ，使_________.4．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面的两个不共线向量，那么对于这一平面的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝________.我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这个平面所有向量的一组________.注意：(1)构成基底的两向量不共线；(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一；(3)若λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0.b＝λaλ1e1＋λ2e2基底1．在平行四边形中，如图：(1)若a，b为不共线的两个向量，则a＋b，a－b为以a，b为邻边的平行四边形的两条对角线表示的向量．(2)AO＝12(a＋b)．(3)|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)．2．在△ABC中：(1)PG＝13(PA＋PB＋PC)(向量式)⇔G是△ABC的重心．(2)G为△ABC的重心⇔GA＋GB＋GC＝0.(3)λ(||ABAB＋||ACAC)(λ≠0)所在直线(即∠BAC的平分线所在直线)过△ABC的内心．3．共线的有关结论：①A，B，C三点共线⇔AB，AC共线．②OA＝xOB＋yOC(x，y为实数)，若点A，B，C共线，则x＋y＝1.4．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量的终点的向量，即12AA＋23AA＋34AA＋…＋1nnAA＝1nAA.特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．1．下列命题中：①温度有零上和零下温度，所以温度是向量；②重力有大小和方向，所以重力是向量；③若|a||b|，则ab；④若|a|＝|b|，则a＝b.其中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4解：①温度的零上和零下只表示数量，但不表示方向，事实上温度没有方向，它只是一个数量，①假；②重力既有大小又有方向，重力是向量，②真；③向量既有大小又有方向，两个向量不能比较大小，③假；④大小相等和方向相同的两个向量才相等，④假．由以上分析知，真命题的个数是1.答案：A2．(2018·湖北期末)下列说法正确的是()A．零向量没有方向B．单位向量都相等C．任何向量的模都是正实数D．共线向量又叫平行向量解：零向量的方向是任意的；单位向量的模为1，但是不一定相等；零向量的模是0；共线向量又叫平行向量，因此只有D正确．答案：D3.如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD＝()A.－BC＋12BAB.－BC－12BAC.BC－12BAD.BC＋12BA解：(方法1：向量的加法)CD＝CB＋BD＝－BC＋12BA.(方法2：向量的减法)CD＝BD－BC＝12BA－BC.答案：A4.(2016·北京卷)设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：若|a|＝|b|成立，则以a，b为邻边的平行四边形为菱形．|a＋b|，|a－b|表示的是该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立，从而不是充分条件；反之，若|a＋b|＝|a－b|成立，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形，而矩形的邻边长度不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立，从而不是必要条件．故“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件．答案：D5．(2017·韶关二模)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________.解：因为向量λa＋b与a＋2b平行，所以λa＋b＝k(a＋2b)，则λ＝k，1＝2k，所以λ＝12.答案：12向量的线性运算共线定理的应用向量的线性运算的综合问题考点1·向量的线性运算【例1】(经典真题)设D为△ABC所在平面内一点，BCuuur＝3CDuuur，则()A.ADuuur＝－13ABuuur＋43ACuuurB.ADuuur＝13ABuuur－43ACuuurC.ADuuur＝43ABuuur＋13ACuuurD.ADuuur＝43ABuuur－13ACuuur解：因为D为△ABC所在平面内一点，且BCuuur＝3CDuuur，所以B、C、D三点共线，且D在BC的延长线上，如图：(方法1)在△ABD中利用向量的加法：ADuuur＝ABuuur＋BDuuur＝ABuuur＋BCuuur＋CDuuur＝ABuuur＋43BCuuur＝ABuuur＋43(ACuuur－ABuuur)＝－13ABuuur＋43ACuuur.(方法2)在△ACD中利用向量的加法：ADuuur＝ACuuur＋CDuuur＝ACuuur＋13BCuuur＝ACuuur＋13(ACuuur－ABuuur)＝－13ABuuur＋43ACuuur.(方法三)在△ABD中利用向量的减法：ADuuur＝BDuuur－BAuur＝43BCuuur－BAuur＝43(ACuuur－ABuuur)＋ABuuur＝－13ABuuur＋43ACuuur.答案：A【变式探究】1.(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB＝()A.34AB－14ACB.14AB－34ACC.34AB＋14ACD.14AB＋34AC解析：作出示意图如图所示．EB＝ED＋BD＝12AD＋12CB＝12×12(AB＋AC)＋12(AB－AC)＝34AB－14AC.点评：用已知向量(平面向量的基底)来表示另外一些向量是向量解题的基本功．解题时要注意如下几点：(1)目标明确，注意寻找需要表示的向量与已知向量的联系；(2)构造三角形(平行四边形)，创造利用向量加法、减法及数乘向量的条件；(3)注意平面几何知识的运用，如利用三角形中位线定理，相似三角形的性质等．考点2·共线定理的应用【例2】设两个非零向量a与b不共线．(1)若ABuuur＝a＋b，BCuuur＝2a＋8b，CDuuur＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．解：(1)证明：因为ABuuur＝a＋b，BCuuur＝2a＋8b，CDuuur＝3(a－b)，所以BDuuur＝BCuuur＋CDuuur＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5ABuuur，所以ABuuur、BDuuur共线，又它们有公共点，所以A、B、D三点共线．(2)因为ka＋b和a＋kb共线，所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，所以(k－λ)a＝(λk－1)b，又a、b是不共线的两个非零向量，所以k－λ＝λk－1＝0，所以k＝±1.【变式探究】2．(2017·广东七校联考)已知向量i，j不共线，且AB→＝i＋mj，AD→＝ni＋j，m≠1，若A，B，D三点共线，则实数m，n应满足的条件是()A．m＋n＝1B．m＋n＝－1C．mn＝1D．mn＝－1解析：因为A，B，D三点共线，所以AB∥AD，所以存在非零实数λ，使得AB＝λAD，即i＋mj＝λ(ni＋j)，所以(1－λn)i＋(m－λ)j＝0，又因为i，j不共线，所以1－λn＝0，m－λ＝0，则mn＝1.点评：(1)证明三点共线问题，可转化为证明两向量平行，再说明两个向量有公共点．A、B、C三点共线⇔ABuuur，ACuuur共线．(2)证两向量共线，其基本方法是利用两向量共线定理进行证明，即找到实数λ，使得b＝λa(a为非零向量)，则a与b共线．考点3·向量的线性运算的综合问题【例3】O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OPuuur＝OAuur＋λ(||ABABuuuruuur＋||ACACuuuruuur)，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心解：(方法1)因为||ABABuuuruuur和||ACACuuuruuur分别为ABuuur和ACuuur上的单位向量，所以||ABABuuuruuur＋||ACACuuuruuur的方向为∠BAC的角平分线ADuuur的方向．又λ∈[0，＋∞)，所以λ(||ABABuuuruuur＋||ACACuuuruuur)的方向与||ABABuuuruuur＋||ACACuuuruuur的方向相同，而OPuuur＝OAuur＋λ(||ABABuuuruuur＋||ACACuuuruuur)，所以点P在ADuuur上移动．所以P点的轨迹一定通过△ABC的内心，故选B.(方法2)由于P点轨迹通过△ABC内一定点且该点与O点位置和△ABC的形状无关，故取O点与A点重合，由平行四边形法则，很容易看出P点在∠BAC的平分线上，故选B.答案：B【变式探究】3.(2018·河南洛阳模拟)A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于D，若OC＝λOA＋μOB(λ∈R，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是()A.(0,1)B.(1，＋∞)C.(1，2]D．(－1,0)解：OD＝||||ODOCOC＝||||ODOC(λOA＋μOB)＝||||ODOCOA＋||||ODOCOB，因为A，B，D共线，所以λ||||ODOC＋μ||||ODOC＝1，所以λ＋μ＝||||OCOD，由题意易知||||OCOD1，所以λ＋μ∈(1，＋∞)．点评：(1)熟练掌握一些常用结论：如②||ABAB表示与AB同向的单位向量；②||ABAB＋||ACAC表示的向量AD，其中D在∠BAC的平分线上；③若PA＝xPB＋yPC，且A，B，C共线，则x＋y＝1.(2)注意区分三角形内心、重心、外心、垂心等概念，注意隐含条件的挖掘．1．在解决有关向量的概念及性质的判断问题时，要全面地考虑问题，要注意：①零向量、单位向量的特