2020届高考数学一轮总复习 第四单元 三角函数与解三角形 第22讲 任意角的三角函数课件 理 新人

高考总复习第（1）轮理科数学第四单元三角函数与解三角形第22讲任意角的三角函数1．了解任意角的概念．了解弧度制的概念，能进行弧度制与角度制的互化．2．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，掌握三角函数的符号规律及三角函数的定义域．3．掌握扇形的弧长公式及面积公式．始边顶点逆顺零坐标原点x轴的非负半轴{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}1．角的概念(1)任意角：角可以看做平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．旋转开始时的射线OA叫作角的______，射线的端点O叫作角的________.按_____时针方向旋转形成的角叫作正角，按____时针方向旋转形成的角叫作负角，若一条射线没作任何旋转，称它形成了一个_____角．(2)象限角：把角置于直角坐标系中，使角的顶点与____________重合，角的始边与________________重合，那么角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．(3)终边相同的角：所有与α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合____________________________或__________________________，前者α用角度制表示，后者α用弧度制表示．半径圆心角弧度制正数负数0Rαπ2．弧度制(1)定义：把长度等于________长的弧所对的________叫1弧度的角．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫作___________.正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个________，零角的弧度数是________.(2)度与弧度的换算关系：180°＝_____rad，1°＝_____rad,1rad＝_____度．(3)扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，面积为S，圆心角为α(0α2π)，则l＝_____，S＝_____.3．任意角的三角函数设α是任意一个角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：sinα＝____；cosα＝______；tanα＝____(x≠0)．yx4．三角函数线用单位圆中的有向线段表示三角函数，如图：sinα＝_______，cosα＝_______，tanα＝_______.MPOMAT1．任意角三角函数定义(推广)设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r0)，那么：sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx(x≠0)．2.三角函数值的符号规律ⅠⅡⅢⅣsinα＋＋－－cosα＋－－＋tanα＋－＋－概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．1．角－840°的终边所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：因为－840°＝－3×360°＋240°，而240°的终边在第三象限，所以－840°的终边在第三象限．答案：C2．若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是()A．4cm2B．2cm2C．8cm2D．2πcm2解：因为l＝rθ，所以r＝42＝2，所以S＝12lr＝12×4×2＝4cm2.答案：A3．已知角α的终边经过点(3,-4)，则cosα＝()A.45B.35C．－35D．－45解：因为r＝32＋（－4）2＝5，所以由三角函数的定义知cosα＝35.答案：B4．若cosα0且tanα0，则α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案：C5．在[0,2π]上满足sinx≥12的x的取值范围是()A.[0，π6]B.[π6，5π6]C.[π6，2π3]D.[5π6，π]解：利用三角函数线，画出单位圆可知，选B.答案：B角的概念任意角的三角函数的定义弧度制的应用考点1·角的概念【例1】已知α＝1690°.(1)把α表示成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0,2π))的形式，则α＝____________；(2)α所在的象限为____________．解：(1)α＝1690°＝1690×π180＝16918π＝8π＋2518π.所以α＝4×2π＋2518π.(2)因为α＝4×2π＋2518π，又π2518π32π，所以α在第三象限．答案：(1)4×2π＋2518π(2)第三象限【变式探究】1．已知sinα0，cosα0，则α2所在的象限是()A．第一象限B．第三象限C．第一或第三象限D．第二或第四象限解：因为sinα0，cosα0，所以α为第四象限角，即2kπ＋3π2α2kπ＋2π，k∈Z，kπ＋3π4α2kπ＋π，k∈Z，当k为偶数时，α2为第二象限角；当k为奇数时，α2为第四象限角．点评：(1)角度与弧度进行互化，关键是抓住180°＝πrad这一关系．(2)判断一个角所在的象限，关键是在[0,2π)内找到与该角终边相同的角．考点2·任意角的三角函数的定义【例2】(1)(2019·衡水武邑模拟)已知角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边在射线4x－3y＝0(x≤0)上，则cosα－sinα＝.(2)(2018·河北省石家庄第二次月考)在直角坐标系中，P点的坐标为(35，45)，Q是第三象限内一点，|OQ|＝1且∠POQ＝34π，则Q点的横坐标为.解：(1)因为角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边在射线4x－3y＝0(x≤0)上，不妨令x＝－3，则y＝－4，所以r＝5.所以cosα＝xr＝－35，sinα＝yr＝－45.所以cosα－sinα＝－35＋45＝15.(2)设∠xOP＝α，则cosα＝35，sinα＝45，则xQ＝cos(α＋3π4)＝35×(－22)－45×22＝－7210.答案：(1)15(2)－7210【变式探究】2．（1）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若点P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－255，则y＝_______.(2)点P从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动7π3弧长到达点Q，则点Q的坐标为()A．(－12，32)B．(－32，－12)C．(－12，－32)D．(－32，12)解：（1）根据sinθ＝－2550及P(4，y)是角θ的终边上一点，可知θ是第四象限角，再由三角函数的定义得，y42＋y2＝－255，又因为y0，所以y＝－8，y＝8(舍去)．综上知y＝－8.(2)设Q的坐标为(x，y)，则x＝cos(π－7π3)＝cos(π－2π－π3)＝cos(π－π3)＝－12，y＝sin(π－7π3)＝sin(π－2π－π3)＝sin(π－π3)＝32.即Q点坐标为(－12，32)．点评：(1)三角函数的定义有两种等价形式，其一是利用角的终边上一点的坐标进行定义，其二是利用单位圆进行定义．(2)一个角的三角函数只与这个角的终边位置有关，利用定义求三角函数值时，要注意角的终边所在象限，当终边所在象限不定时，要注意根据终边位置分类讨论．(3)利用单位圆的三角函数定义时，要理解角α的意义，注意角的始边及旋转方向．考点3·弧度制的应用【例3】一扇形的周长为8cm．求使扇形面积最大时，扇形的半径、圆心角和扇形的面积．解：设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，则l＋2r＝8，所以l＝8－2r，S＝12lr＝12(8－2r)·r＝－r2＋4r＝－(r－2)2＋4.当r＝2时，Smax＝4(cm2)，此时，θ＝lr＝8－2×22＝2(弧度)．所以当扇形圆心角θ＝2，半径为2cm时，扇形面积最大，最大面积为4cm2.【变式探究】3．(2018·河北五校高三联考)向圆(x－2)2＋(y－3)2＝4内随机投掷一点，则该点落在x轴下方的概率为____．解：由题意，设圆心为C，圆与x轴的交点为A，B，则∠ACB＝π3，该点落在x轴下方的部分为一弓形，其面积等于一圆心角为π3扇形减去一个等边三角形的面积．因为S扇形＝12rl＝12r2α＝12×22×π3＝2π3，S△ACB＝12×2×2sinπ3＝3，所以弓形的面积为2π3－3，又圆的面积为4π，所以该点落在x轴下方的概率为2π3－34π＝16－34π.点评：只要确定扇形的半径r，弧长l和圆心角α三个中的两个，这个扇形就确定了．这三个量间的关系是l＝|α|r.1．要掌握区间角、象限角和终边相同的角的表示方法，特别要注意它们的区别与联系．求与α终边相同的角的集合时，先找出0～2π范围内与α终边相同的角，再加上2kπ即可．2．要熟悉角的弧度制与角度制间的换算关系，并注意角的表示中，角度制和弧度制不能在同一表示中使用．掌握弧长公式l＝|α|r，扇形面积公式S＝12lr＝12|α|r2，并注意其中角α为圆心角的弧度数．3．三角函数的定义是三角函数的基础和出发点，正确理解三角函数的定义，是掌握三角函数的定义域、三角函数在各象限内的符号以及三角函数的诱导公式、同角三角函数之间的关系以及后续内容学习的基础．根据三角函数的定义可知：①一个角的三角函数只与这个角的终边的位置有关，即角α与β＝2kπ＋α(k∈Z)的同名三角函数值相等；②|x|≤r，|y|≤r，故有|sinα|≤1，|cosα|≤1，这是三角函数中最基本的一组关系．