2020届高考数学一轮总复习 第十一单元 选考内容 第82讲 曲线的参数方程课件 理 新人教A版

高考总复习第（1）轮理科数学第十一单元选考内容第84讲曲线的参数方程1．了解参数方程，了解参数的意义，掌握参数方程与普通方程的互化．2．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．1．参数方程的意义在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个参数t的函数x＝ft，y＝gt，①并且对于t的每一个允许值，由方程①所确定的点都在这条曲线上，那么方程①就叫作这条曲线的参数方程，联系x、y的变数t叫作.(x，y)参数2．直线的参数方程①经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)，设P是直线上的任一点，则t表示有向线段的数量．3．圆的参数方程圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)对应的参数方程为，其中参数θ的几何意义是.旋转角4．椭圆的参数方程椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)对应的参数方程为，其中参数φ的几何意义是.离心角1．在平面直角坐标系中，曲线C：x＝2＋22t，y＝1＋22t(t为参数)的普通方程为.答案：x－y－1＝02．直线x＝－1＋tsin40°，y＝3＋tcos40°(t为参数)的倾斜角为.解：直线参数方程为x＝－1＋tcos50°，y＝3＋tsin50°(t为参数)．所以直线的倾斜角为50°.答案：50°3．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝t＋3，y＝3－t.(参数t∈R)，圆C的参数方程为x＝2cosθ，y＝2sinθ＋2.(参数θ∈[0,2π])，则圆C的圆心坐标为，圆心到直线l的距离为.解：由题知l的普通方程为x＋y－6＝0，圆C的方程为x2＋(y－2)2＝4，所以圆心为(0,2)，d＝|0＋2－6|2＝22.答案:(0,2)224．参数方程x＝5cosφy＝4sinφ(φ为参数)化为普通方程为，表示的曲线是.答案：x225＋y216＝1椭圆5．设x＝3cosφ，以φ为参数，将x29＋y24＝1化为参数方程为.答案：x＝3cosφ，y＝2sinφ(φ为参数)曲线的参数方程参数方程化普通方程参数方程的应用考点1·曲线的参数方程【例1】如图所示，圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点．当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程．解：设M的坐标为(x，y)，∠xOP＝θ，则点P的坐标是(2cosθ，2sinθ)．由中点坐标公式可得x＝2cosθ＋62＝cosθ＋3，y＝2sinθ2＝sinθ，所以点M的轨迹的参数方程是x＝cosθ＋3，y＝sinθ(θ为参数)．【变式探究】1．(2018·湖北5月冲刺试题节选)在直角坐标系xOy中，曲线N的参数方程为x＝255t，y＝1＋55t(t为参数，且t≠0)．以曲线N上的点与原点O连线的斜率k为参数，求出曲线N的参数方程．解：将x＝255t，y＝1＋55t消去参数t，得x－2y＋2＝0(x≠0)，设N上任意一点P(x，y)，则x，y满足：x－2y＋2＝0，y＝kx，解得x＝22k－1，y＝2k2k－1.所以曲线N的参数方程为x＝22k－1，y＝2k2k－1(k为参数，且k≠12)．点评：(1)建立曲线的参数方程的关键是恰当选择参数，然后考虑将x，y用参数表示．(2)若给定了参数，则只要用参数表示x，y即可得到相应的参数方程．考点2·参数方程化普通方程【例2】已知两曲线的参数方程分别为x＝5cosθ，y＝sinθ(0≤θπ)和x＝54t2，y＝t(t∈R)，求它们的交点坐标．解：由x＝5cosθ，y＝sinθ变形得cosθ＝x5，①sinθ＝y，②①2＋②2，得x25＋y2＝1.因为0≤θπ，所以－5x≤5，0≤y≤1，即普通方程为x25＋y2＝1(－5x≤5，0≤y≤1)．由x＝54t2，③y＝t，④将④代入③得y2＝45x.分析：由参数方程求交点坐标不熟悉，可转化为普通方程进行求解，由此，要将参数方程化为普通方程．联立x25＋y2＝1，y2＝45x，得x2＋4x－5＝0，解得x＝－5或x＝1，又－5x≤5，所以x＝1，将x＝1代入y2＝45x得y＝±255，又0≤y≤1，所以y＝255.故所求两曲线的交点为(1，255)．【变式探究】2．(2017·湖南长郡中学六模)已知曲线C1：x＝－4＋cost，y＝3＋sint(t为参数)，C2：x＝8cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)．(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它分别表示什么曲线；(2)若C1上的点P对应的参数t＝π2，Q为C2上的动点，求PQ的中点M到直线C3：x＝3＋2t，y＝－2＋t(t为参数)距离的最小值．解：(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：x264＋y29＝1，C1表示圆心是(－4,3)，半径为1的圆．C2表示中心在坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长为8，短半轴长为3的椭圆．(2)当t＝π2时，P(－4,4)．又Q(8cosθ，3sinθ)，所以M(－2＋4cosθ，2＋32sinθ)，又C3的普通方程为x－2y－7＝0，则M到C3的距离d＝55|4cosθ－3sinθ－13|＝55|3sinθ－4cosθ＋13|＝55|5sin(θ－φ)＋13|(其中φ满足tanφ＝43)．所以d的最小值为855.即所求的最小距离为855.点评：(1)参数方程化为普通方程常用的消参技巧有代入消参、加减消参、平方后加减消参等．对于角θ的参数方程，经常用到三角消参，常用公式有sin2θ＋cos2θ＝1,1＋tan2θ＝1cos2θ等．(2)在将曲线的参数方程化为普通方程时，要注意其中x，y的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．【例3】(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝3cosθ，y＝sinθ(θ为参数)，直线l的参数方程为x＝a＋4t，y＝1－t(t为参数)．(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为17，求a.考点3·参数方程的应用解：(1)曲线C的普通方程为x29＋y2＝1.当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.由x＋4y－3＝0，x29＋y2＝1，解得x＝3，y＝0或x＝－2125，y＝2425.从而C与l的交点坐标为(3,0)，（－2125，2425）.(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，故C上的点(3cosθ，sinθ)到l的距离为d＝|3cosθ＋4sinθ－a－4|17.当a≥－4时，d的最大值为a＋917.由题设得a＋917＝17，所以a＝8；当a＜－4时，d的最大值为－a＋117.由题设得－a＋117＝17，所以a＝－16.综上，a＝8或a＝－16.【变式探究】3．(2018·武汉调研测试)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，l的极坐标方程为ρ(cosθ＋2sinθ)＝10，C的参数方程为x＝3cosθ，y＝2sinθ(θ为参数，θ∈R)．(1)写出l和C的普通方程；(2)在C上求点M，使点M到l的距离最小，并求出最小值．解：(1)由l：ρcosθ＋2ρsinθ－10＝0，及x＝ρcosθ，y＝ρsinθ.所以l的方程为x＋2y－10＝0.由x＝3cosθ，y＝2sinθ，消去θ得x29＋y24＝1.(2)在C上取点M(3cosφ，2sinφ)，则d＝|3cosφ＋4sinφ－10|5＝15·|5cos(φ－φ0)－10|.其中cosφ0＝35，sinφ0＝45，当φ＝φ0时，d取最小值5.此时3cosφ＝3cosφ0＝95，2sinφ＝2sinφ0＝85，所以M(95，85)，使点M到l的距离最小，且最小值为5.点评：(1)当涉及圆锥曲线上的动点的问题时，可采用圆锥曲线的参数方程进行求解．(2)运用圆锥曲线的参数方程，一方面可以达到消去一个变元的目的，另一方面还可实施转化，将其转化为三角问题，从而拓宽了解决问题的途径．1．参数方程与普通方程互化时，要注意保持等价性．2．当涉及椭圆上的点时，都可考虑利用椭圆的参数方程，设点的坐标为(acosφ，bsinφ)，将其转化为三角问题进行求解．3．一般地，涉及圆或圆锥曲线上的点的最值问题、定值问题、轨迹问题等，当直接处理不好下手时，可考虑利用圆或圆锥曲线的参数方程进行处理．