2020届高考数学一轮总复习 第十单元 计数原理 、概率与统计 第74讲 随机事件的概率、古典概型、

高考总复习第（1）轮理科数学第十单元计数原理、概率与统计第74讲随机事件的概率、古典概型、几何概型1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．2．了解两个互斥事件的概率加法公式．3．理解古典概型及其概率计算公式，了解几何概型的意义．4．会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．1.频率与概率(1)在相同的条件下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．(2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加而总在某个常数附近摆动，fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作，称为事件A的，简称为A的.频数概率P（A）概率2．互斥事件与对立事件(1)互斥事件：事件A与事件B互斥⇔A∩B为事件(A∩B＝∅)⇔事件A与事件B在任何一次试验中不会发生．(2)对立事件：事件A与事件B互为对立事件⇔A∩B为事件，A∪B为事件⇔事件A与事件B在任何一次试验中发生．不可能不可能同时必然有且仅有一个3．互斥事件与对立事件的概率公式(1)互斥事件的概率加法公式：①若A、B为互斥事件，则P(A∪B)＝.②若A1，A2，…，An彼此互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝.(2)对立事件的概率公式：P(A)＝.P(A)＋P(B)1－P(A)4．古典概型(1)基本事件及其特点：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件．基本事件有如下两个特点：①任何两个基本事件是的；②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的.和互斥(2)我们把具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．①有限性：试验的所有可能出现的基本事件只有；②等可能性：每个基本事件出现的.(3)古典概型的计算公式P(A)＝A包含的基本事件的个数基本事件的总数.有限个可能性相等5．几何概型(1)几何概型的概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为.(2)几何概型的两个基本特点①无限性：在一次试验中，可能出现的结果是的；②等可能性：每个结果发生是的．(3)几何概型的概率计算公式P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验全部结果所构成的区域长度面积或体积.长度(面积或体积)无限几何概型等可能1．(2018·石家庄一模)已知某厂的产品合格率为0.8，现抽出10件产品检查，则下列说法正确的是()A．合格产品少于8件B．合格产品多于8件C．合格产品正好8件D．合格产品可能是8件答案：D解：已知某厂的产品合格率为0.8，则抽出10件产品检查，合格产品约为10×0.8＝8件，根据概率的意义，可得合格品可能是8件．2．甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件．那么()A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件答案：B解：互斥事件是指不可能同时发生的两个事件，而对立事件是建立在互斥事件的基础上，两个事件中有一个不发生，另一个必发生．由此可知甲是乙的必要但不充分条件，故选B.3．甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，则甲不输的概率为()A.16B.12C.13D.23答案：D解：(方法1:利用互斥事件的概率公式)设事件A为“甲不输”，则A可看成是“甲胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(A)＝16＋12＝23.(方法2:利用对立事件的概率公式)设事件A为“甲不输”，则A可看作“乙胜”的对立事件，所以P(A)＝1－13＝23.即甲不输的概率为23.4．(经典真题)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为()A.521B.1021C.1121D．1解：从15个球中任取2个球共有C215种取法，恰有1个红球，1个白球的情况有C110·C15＝50种，所以P＝50C215＝1021.答案：B5．(2018·石家庄一模)已知函数f(x)＝2x(x0)，其值域为D，在区间(－1，2)上随机取一个数x，则x∈D的概率是()A.13B.12C.14D.23解：因为y＝2x是R上的增函数，所以当x0时，函数f(x)的值域为(0，1)，故所求概率P＝1－02－（－1）＝13.答案：A古典概型几何概型互斥事件、对立事件的概率考点1·古典概型【例1】(1)(2018·全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是()A.112B.114C.115D.118(2)(经典真题)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A.18B.38C.58D.78解：(1)不超过30的所有素数为2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C210＝45种情况，而和为30的有7＋23，11＋19，13＋17这3种情况，所以所求概率为345＝115.(2)(方法1)4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有24＝16(种)，周六、周日都有同学参加活动有两种情况：①一天1人，另一天3人，有C14A22＝8种不同情况；②两天都2人，有C24＝6种不同情况．故周六、周日参加公益活动的有8＋6＝14种．所以P＝1416＝78.(方法2)4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有24＝16(种)，其中仅在周六(周日)参加的各有1种．所以所求概率为P＝1－1＋116＝78.答案：(1)C(2)D【变式探究】1．(1)(2017·山东卷)从分别标有1,2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是()A.518B.49C.59D.79解：(1)由题意可知依次抽取两次的基本事件总数n＝9×8＝72.由到的2张卡片上的数奇偶性不同的基本事件个数m＝C15C14A22＝40.所以所求概率P＝mn＝4072＝59.答案：C1．（2）(2018·河北五校联考)2位男生和3位女生共5位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的概率是()A.310B.35C.25D.15解：P＝C23A22·A22·A23A55＝35.答案：B【变式探究】点评：(1)求古典概型概率的基本步骤：第一步：算出所有基本事件的个数n；第二步：求出事件A包含的基本事件个数m；第三步：代入公式P(A)＝mn求解．(2)计算m，n时，要注意如下问题：①若基本事件个数较少，可用列举法或树状图法将基本事件一一列出；②一般情况下可考虑利用两个计数原理及排列、组合知识直接计算；③若A包含的基本事件较多或不好计算时，可考虑计算A包含的基本事件数，利用对立事件的概率公式P(A)＝1－P(A)求事件A的概率．考点2·几何概型【例2】(1)(2016·全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是()A.13B.12C.23D.34解：(1)如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P＝2040＝12.故选B.(2)正方形的四个顶点A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1,1)，D(－1,1)分别在抛物线y＝－x2和y＝x2上，如图所示．若将—个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是____________．解：（2）因为SΩ＝2×2＝4.SA＝401(1－x2)dx＝4(x－13x3)|10＝4(1－13)＝83.所以P(A)＝834＝23.答案：(1)B(2)23【变式探究】2．(1)(2019·湖南五市十校高三联考)(1)在长方形ABCD中，AB＝2AD，在CD上任取一点P，△ABP的最大边是AB的概率是()A.22B.32C.2－1D.3－1解：(1)分别以A，B为圆心，AB的长为半径画弧，交CD于P1，P2(如图)，则当P在线段P1P2间运动时，能使得△ABP的最大边长为AB，易得P1P2CD＝3－1.即△ABP的最大边为AB的概率是3－1.答案：D(2)(2018·陕西省高三数学质量检测(二))在不等式组2x－y＋14≥0，x≤－3，y≥2所确定的三角形区域内随机取一点，则该点到此三角形的三个顶点的距离均大于1的概率是()A．9－π2B．9－πC．1－π18D．1－π9解：(2)作出不等式组表示的平面区域，即如图所示的△ABC及其内部，分别以点A，B，C为圆心，以1为半径作弧，则图中的阴影部分内的点满足到△ABC的三个顶点的距离均不小于1.易知求得点A(－6，2)，B(－3，2)，C(－3，8)，所以|AB|＝3，|BC|＝6，注意到图中三个扇形恰好可以拼成一个以1为半径的半圆．故所求概率为P＝S阴影部分S△ABC＝12×3×6－12×π×1212×3×6＝1－π18.答案：C点评：(1)求几何概型的基本步骤：第一步，明确取点的区域Ω，确定要求概率的事件A中的点的区域A；第二步，求出区域Ω的几何度量μΩ；第三步，求出区域A的几何度量μA；第四步，计算所求事件的概率P(A)＝μAμΩ.(2)“直线型”“面积型”是几何概型的两种常见类型，几何概型常与其他知识结合(如平面几何、定积分、线性规划等)，要注意相应知识的运用．考点3·互斥事件、对立事件的概率【例3】下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求P(X＝1)的值．解：设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i＝1,2，…，13)．根据题意，P(Ai)＝113，且Ai∩Aj＝∅(i≠j)．(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A5∪A8，所以P(B)＝P(A5∪A8)＝P(A5)＋P(A8)＝213.(2)P(X＝1)＝P(A3∪A6∪A7∪A11)＝P(A3)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A11)＝413.【变式探究】3．在例3的条件下，设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求P(X＝0)及P(X＝2)的值．解：P(X＝2)＝P(A1∪A2∪A12∪A13)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A12)＋P(A13)＝413，又由例3得：P(X＝1)＝413，由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2，所以P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝513.点评：(1)例3及其变式考查古典概型、互斥事件概率的求法，考查阅读图表及根据图表处理数据的能力及分析问题解决问题的能力．(2)对于互斥事件要抓住如下两个特征进行理解：①互斥事件研究的两个(或多个)事件之间的关系；②所研究的事件是在一次试验中涉及的．(3)在应用题背景下，能否把一个复杂事件分解为若干个互斥或相互独立的既不重复又不遗漏的简单事件是解答这类应用题的关键．1．利用古典概型公式求随机事件的概率时，关键是求试验的基本事件的总数n及事件A所包含的基本事件个数m.求m，n时，常常与排列、组合知识相联系，要正确利用两个计数原理和排列组合的概念，合理地分类或分步进行求解．2．求解几何概型与古典概型的思路是相同的，同属于“比例解法”，关键是求得“事件A包含的基本事件所占图形长度(面积或体积)”与“试验的基本事件所占的图形长度(面积或体积)