2020届高考数学一轮总复习 第六单元 数列与算法 第41讲 数列的综合问题课件 理 新人教A版

高考总复习第（1）轮理科数学第六单元数列与算法第41讲数列的综合问题1．掌握数列的通项、前n项和及等差、等比数列的综合问题处理的方法和技巧．2．培养分析、归纳、抽象、概括的能力．数列的综合应用一是指综合运用数列的各种知识和方法求解问题；二是数列与其他知识相联系的综合问题，解决此类问题应注意数学思想方法的运用．1．(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为()A．－24B．－3C．3D．8解：由已知条件可得a1＝1，d≠0，由a23＝a2a6可得(1＋2d)2＝(1＋d)(1＋5d)，解得d＝－2.所以S6＝6×1＋6×5×－22＝－24.答案：A2．(2017·全国卷Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是()A．440B．330C．220D．110解：设首项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推，则第n组的项数为n，前n组的项数和为n1＋n2.由题意知，N＞100，令n1＋n2＞100⇒n≥14且n∈N*，即N出现在第13组之后．第n组的各项和为1－2n1－2＝2n－1，前n组所有项的和为21－2n1－2－n＝2n＋1－2－n.设N是第n＋1组的第k项，若要使前N项和为2的整数幂，则N－n1＋n2项的和即第n＋1组的前k项的和2k－1应与－2－n互为相反数，即2k－1＝2＋n(k∈N*，n≥14)，k＝log2(n＋3)⇒n最小为29，此时k＝5，则N＝29×1＋292＋5＝440.答案：A数列的通项与求和数列与不等式的综合【例1】已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝12，an＋1＝n＋12nan.(1)证明：数列ann是等比数列；(2)求通项an与前n项的和Sn.考点1·数列的通项与求和解：(1)证明：因为a1＝12，an＋1＝n＋12nan.所以当n∈N*时，ann≠0，又an＋1n＋1ann＝12(n∈N*)为常数，所以ann是以12为公比的等比数列．(2)因为a11＝12，所以ann是以12为首项，12为公比的等比数列．所以ann＝12×(12)n－1，所以an＝n·(12)n.所以Sn＝1·(12)＋2·(12)2＋…＋n·(12)n，12Sn＝1·(12)2＋2·(12)3＋…＋n·(12)n＋1，所以12Sn＝(12)＋(12)2＋…＋(12)n－n·(12)n＋1，所以Sn＝2－(12)n－1－n·(12)n＝2－(n＋2)·(12)n.综上，an＝n·(12)n，Sn＝2－(n＋2)·(12)n.【变式探究】1．(2017·南阳期中)已知数列{an}的各项均为正数，前n项的和为Sn，且Sn＝anan＋12(n∈N*)．(1)求证：数列{an}是等差数列；(2)设bn＝12Sn，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn.解：(1)证明：因为Sn＝anan＋12，n∈N*，所以当n＝1时，a1＝S1＝a1a1＋12(an0)，所以a1＝1.当n≥2时，由2Sn＝a2n＋an，①2Sn－1＝a2n－1＋an－1，②由①－②得2an＝a2n＋an－a2n－1－an－1，即(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0，因为an＋an－10，所以an－an－1＝1(n≥2)，所以数列{an}是以1为首项，以1为公差的等差数列．(2)由(1)可得an＝n，Sn＝nn＋12，bn＝12Sn＝1nn＋1＝1n－1n＋1.所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1.点评：(1)递推数列求通项，其基本的思路就是转化为等差数列或等比数列求解，如例1是通过证明“辅助数列”ann是等比数列达到转化的，而变式1是通过恒等变形得到{an}是等差数列，从而可求出通项．(2)数列求和是高考的热点问题，重点要掌握“错位相减法”和“裂项求和法”等求和方法．【例2】(2018·衡阳二模)已知各项均不为零的数列{an}的前n项和为Sn，且对任意n∈N*，满足Sn＝13a1(an－1)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}满足anbn＝log4an，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn49.考点2·数列与不等式的综合解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝13a1(a1－1)，a1≠0，解得a1＝4.所以Sn＝43(an－1)，当n≥2时，Sn－1＝43(an－1－1)，两式相减得Sn－Sn－1＝43(an－an－1)，即an＝4an－1.所以数列{an}是首项为4，公比为4的等比数列，所以an＝4n，当n＝1时，也成立．所以数列{an}的通项公式为an＝4n.(2)证明：因为数列{bn}满足anbn＝log4an＝n，所以bn＝n4n，所以Tn＝1×(14)1＋2×(14)2＋3×(14)3＋…＋n×(14)n，14Tn＝1×(14)2＋2×(14)3＋3×(14)4＋…＋n×(14)n＋1，两式相减得34Tn＝14＋(14)2＋(14)3＋…＋(14)n－n×(14)n＋1＝14[1－（14）n]1－14－n×(14)n＋1，所以Tn＝49－3n＋49×4n49.【变式探究】2．(经典真题)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.(1)证明an＋12是等比数列，并求{an}的通项公式；(2)证明：1a1＋1a2＋…＋1an32.解：(1)由an＋1＝3an＋1得an＋1＋12＝3(an＋12)．又a1＋12＝32，所以an＋12是首项为32，公比为3的等比数列．所以an＋12＝3n2，因此{an}的通项公式为an＝3n－12.(2)由(1)知1an＝23n－1，因为n≥1时，3n－1≥2×3n－1，所以13n－1≤12×3n－1.于是1a1＋1a2＋…＋1an≤1＋13＋…＋13n－1＝32(1－13n)32.所以1a1＋1a2＋…＋1an32.点评：对于和的形式的不等式的证明常采用放缩法进行，求解时，注意：(1)若和式可以直接求和，则先对和式进行求和然后再进行放缩；(2)若和式不能直接求和，则考虑将通项进行适当放缩，这时要注意两个问题：其一是放缩的方向；其二是从哪一项开始放缩．1．数列的综合应用是高考的难点，经常出现在解答题中，但全国新课标高考的数列题难度有所降低，一般在解答题的第一个位置，主要是数列之间的综合．2．数列自身的综合的问题，要注意熟练掌握等差数列与等比数列两个特殊数列的定义、通项及前n项和公式及其性质，同时要注意掌握几种特殊类型的递推关系求通项的方法及数列求和的常用方法．3．数列可以看作为自变量为正整数的函数，因此，要注意用函数观点来解决有关数列问题．数列与不等式的综合问题，考查方式主要有三种：(1)判断数列问题的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小或借助数列对应的函数的单调性比较大小．(2)以数列为载体，考查不等式恒成立的问题，此类问题可转化为函数的最值．(3)考查与数列有关的不等式证明问题，此类问题一般采用放缩法进行证明，有时也可通过构造函数进行证明．