2020届高考数学一轮总复习 第六单元 数列与算法 第37讲 等差数列的概念及基本运算课件 理 新人

高考总复习第（1）轮理科数学第六单元数列与算法第37讲等差数列的概念及基本运算1．理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式，前n项和公式及其性质．1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从__________起，每一项与它的前一项的_______都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，首项记作a1，公差记作d.符号表示为________________(n∈N*，d为常数)．(2)通项公式：如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则它的通项公式是an＝______________.(3)等差中项：如果三数a，A，b成等差数列，则A叫作a和b的等差中项．即A＝_________.第二项差a1＋(n－1)dan＋1－an＝d2．等差数列{an}的常用性质(其中m，n，p，q∈N*)(1)an＝am＋__________d.(2)若m＋n＝p＋q，则am＋an＝__________.特例：若m＋n＝2p，则am＋an＝__________.(3)等差数列的单调性：若公差d0，则数列为__________数列；若d0，则数列为__________数列；若d＝0，则数列为_______数列．(n－m)ap＋aq2ap递增常递减3．等差数列的前n项和公式(1)前n项和公式：设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝______________＝_________________.(2)等差数列前n项和的性质：Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．1．等差数列的常用判断方法(1)定义：an＋1－an＝d(d为常数)⇔{an}是等差数列．(2)等差中项：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．(3)通项公式：an＝pn＋q(p，q是常数)⇔{an}是等差数列．(4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列．2．等差数列前n项和的最值在等差数列{an}中，a10，d0，则Sn存在最大值；若a10，d0，则Sn存在最小值．1．若an＝an＋b(其中a，b为常数，n∈N*)，则数列{an}是()A．当a≠0时，才是等差数列B．当b≠0时，才是等差数列C．一定是等差数列D．不一定是等差数列解：因为an＋1－an＝a(n∈N*)，由定义知，{an}一定是等差数列，故选C.答案：C2．(经典真题)在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝()A．－1B．0C．1D．6解：(方法１：利用通项公式计算)设数列{an}的公差为d，由a2＝4，a4＝2，a4＝a2＋2d，得2＝4＋2d，所以d＝－1.所以a6＝a4＋(6－4)d＝a4＋2d＝2－2＝0.(方法２：利用中项的概念计算)易知a2，a4，a6成等差数列，所以a4＝a2＋a62，即2＝4＋a62，所以a6＝0.答案：B3.(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{an}的前9项和为27，a10＝8，则a100＝()A.100B.99C.98D．97解：(方法１)因为{an}是等差数列，设其公差为d，所以S9＝92(a1＋a9)＝9a5＝27，所以a5＝3.又因为a10＝8，所以a1＋4d＝3，a1＋9d＝8，所以a1＝－1，d＝1.所以a100＝a1＋99d＝－1＋99×1＝98.故选C.(方法２)因为{an}是等差数列，所以S9＝92(a1＋a9)＝9a5＝27，所以a5＝3.在等差数列{an}中，a5，a10，a15，…，a100成等差数列，且公差d′＝a10－a5＝8－3＝5.故a100＝a5＋(20－1)×5＝98.故选C.答案：C4．(经典真题)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝.解：利用等差数列的性质可得：a3＋a7＝a4＋a6＝2a5，从而a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，所以a5＝5，所以a2＋a8＝2a5＝10.答案：105.若等差数列{an}满足a7＋a8＋a90，a7＋a100，则当n＝时，{an}的前n项和最大．解：a7＋a8＋a9＝3a80，所以a80，因为a7＋a10＝a8＋a90，所以a9－a80.所以数列的前8项和最大，即n＝8.答案：8等差数列的基本运算等差数列的性质及最值等差数列的判断与证明考点1·等差数列的基本运算【例1】(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝A．－12B．－10C．10D．12解：设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，得3[3a1＋3×（3－1）2×d]＝2a1＋2×（2－1）2×d＋4a1＋4×（4－1）2×d，将a1＝2代入上式，解得d＝－3，故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.答案：B1．(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为()A．1B．2C．4D．8解：设{an}的公差为d，则由a4＋a5＝24，S6＝48，得a1＋3d＋a1＋4d＝24，6a1＋6×52d＝48，解得d＝4.答案：C【变式探究】点评：(1)等差数列通项公式及前n项和公式涉及5个量a1，an，d，n，Sn，知道任意3个量，可建立方程组，求出另外两个量，即“知三求二”．(2)等差数列中，a1和d是两个基本量，将等差数列问题化归为基本量的关系来解决是通性解法．考点2·等差数列的性质及最值【例2】(1)(2018·陕西商洛模拟)等差数列{an}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则这个数列的前13项和为（）A.13B.26C.52D．156(2)(2018·长春模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a9＝1，S18＝0，则当Sn取最大值时n的值为（）A.7B.8C.9D．10解：(1)因为a3＋a5＝2a4，a7＋a10＋a13＝3a10，由3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，得6(a4＋a10)＝12a7＝24，所以a7＝2，所以S13＝132(a1＋a13)＝13a7＝26.(2)(方法１)设等差数列{an}的公差为d，因为S18＝18a1＋a182＝9(2a9＋d)＝0，又a9＝1.所以d＝－2，所以a1＝17，所以Sn＝－n2＋18n＝－(n－9)2＋81，所以当n＝9时，Sn取最大值81.(方法２)设等差数列{an}的公差为d，因为S18＝18a1＋a182＝9(2a9＋d)＝0，又a9＝1.所以d＝－2，所以a1＝17，所以an＝19－2n，{an}是递减数列，令an≥0，an＋1≤0，解得8.5≤n≤9.5，又n∈N*，所以数列{an}的前9项为正值，从第10项开始为负值．故Sn的最大值为S9.答案：(1)B(2)C【变式探究】2．(1)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝18，则a8＝.(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，S3＝S6，则数列{an}的前_______项之和最大，最大值为_______.解：(1)由等差数列的性质可得S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，因为S3＝3，S6－S3＝15，S9－S6＝a7＋a8＋a9＝3a8，所以2×15＝3＋3a8，解得a8＝9.(2)(方法１)因为S3＝S6，所以a4＋a5＋a6＝0.所以a4＋a6＝2a5＝0，所以a5＝0.因为a1＝2，由a4＋a6＝0，得a40，a60，且a1＋3d＋a1＋5d＝0，所以d＝－12.所以当n＝4或n＝5时，Sn取最大值，其最大值S4＝S5＝4×2＋4×32×(－12)＝5.(方法２)由a1＝2，S3＝S6，得3×2＋3×22·d＝6×2＋6×52·d，解得d＝－12.所以Sn＝2n＋nn－12×(－12)＝－14(n2－9n)＝－14[(n－92)2－814]，因此，当n＝4或n＝5时，Sn取最大值5.点评：(1)运用等差数列的性质，要关注下标的特点，重点要掌握好如下两条性质：①若p＋q＝m＋n，则ap＋aq＝am＋an；②数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．(2)应用等差数列的性质解决某些问题，突出了整体思想，因而可减少运算量．(3)求等差数列前n项和的最值，可以将Sn化为关于n的二次函数，利用求二次函数的最值的方法求出最值，但要注意n∈N*.若利用等差数列的单调性，结合等差数列的性质，找到正、负项的分界点，则可快速解决．考点3·等差数列的判断与证明【例3】(2018·广州天河月考)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝12.(1)求证：1Sn是等差数列；(2)求an的表达式．解：(1)证明：因为an＝Sn－Sn－1(n≥2)，所以Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，Sn≠0，所以1Sn－1Sn－1＝2(n≥2)．由等差数列的定义知1Sn是以1S1＝1a1＝2为首项，以2为公差的等差数列．(2)由(1)知1Sn＝1S1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，所以Sn＝12n.当n≥2时，an＝－2Sn·Sn－1＝－12nn－1，又n＝1时，a1＝12.所以an＝12n＝1，－12nn－1n≥2.【变式探究】3．(经典真题)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．(1)证明：an＋2－an＝λ；(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．解：(1)证明：由题设，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1.两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1.由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.(2)由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.由(1)知，a3＝λ＋1.令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列．点评：(1)等差数列的判定方法：①定义法：即证明an＋1－an＝d(d是常数，n∈N*)．②中项公式法：即证明2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)．(2)利用an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2，可将含an与Sn的关系转化为只含an或Sn来研究．1．等差数列中含有五个量：a1，d，an，n，Sn，通项公式和前n项和公式是连接这五个量的关系式，通过这两个公式，知道其中任意三个可以求出另外两个．但在计算时，要注意设元技巧，注意等差数列性质的运用．2．等差数列的证明一般采用定义法，即证明an＋1－an＝d.若要判定一个数列是不是等差数列还可采用如下结论：①用中项公式判定：2an＋1＝an＋an＋2⇔{an}是等差数列；②用通项公式判定：an＝kn＋b⇔{an}是等差数列；③用求和公式判定：Sn＝an2＋bn⇔{an}是等差数列．3．等差数列的前n项和公式是特殊的二次函数关系式，对前n项和的最大值或最小值的求解可以借助函数求最值的方法进行，也可以利用数列的通项公式进行求解．一般地，有如下结论：①如果d＞0，则Sn有最小值．当a1＞0时，Sn的最小值就是S1＝a1；当a1＜0时，数列中一定存在am≤0，而am＋1≥0，Sn的最小值就是Sm；②如果d＜0，则Sn有最大值．当a1＜0时，Sn的最大值就是S1＝a1；当a1＞0时，数列中一定存在am≥0，而am＋1≤0，Sn的最大值就是Sm.