2020届高考数学一轮总复习 第二单元 函数 第6讲 函数的单调性课件 理 新人教A版

高考总复习第（1）轮理科数学第二单元函数第6讲函数的单调性1．理解函数的单调性及其几何意义．2．会运用函数图象理解和研究函数的性质．3．能够熟练地应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性．1．函数的单调性的定义给定区间D上的函数f(x)，若对于____________∈D，当x1＜x2时，都有f(x1)______f(x2)，则f(x)为区间D上的增函数．对于____________∈D，当x1＜x2时，都有f(x1)______f(x2)，则f(x)为区间D上的减函数．任意的x1，x2任意的x1，x2增函数减函数单调区间增区间减区间2.函数的单调区间的定义如果函数y＝f(x)在某个区间D上是__________或是__________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫作y＝f(x)的__________.如函数是增函数，则称区间D为__________，如函数是减函数，则称区间D为__________.上升下降3.单调函数的图象特征增函数的图象是_______的(如图1)，减函数的图象是_______的(如图2)．图1图21.单调性定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0⇔fx1－fx2x1－x20⇔f(x)在[a，b]上是__________；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0⇔fx1－fx2x1－x20⇔f(x)在[a，b]上是__________.增函数减函数增（减）减（增）增函数减函数递增递减2．判断单调性的常用结论(1)若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)为______函数．(2)若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为_________函数．(3)y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为_________；若f(x)，g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为_________.(4)已知函数y＝f(x)，给定区间D，若对D内任意的x，f′(x)0，则函数f(x)在区间D上单调_______；若对D内任意的x，f′(x)0，则函数f(x)在区间D上单调_______.1．下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)”的是()A．f(x)＝1xB．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝exD．f(x)＝ln(x＋1)解：根据单调性定义，满足条件的函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，分别作出选项A、B、C、D的图象(如下图)，根据图象特征进行判断．由图象可知，应选A.答案：A2．已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a的取值范围为()A．[1,2]B．(1,2)C．(－∞，1)∪(2，＋∞)D．(－∞，1]∪[2，＋∞)解：因为二次函数的单调性以对称轴为分界线，故顶点的横坐标不能落在区间(1,2)内，所以a≥2或a≤1.答案：D3．(2018·广东肇庆第一次月考)若函数y＝ax与y＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是()A．增函数B．减函数C．先增后减D．先减后增解：因为函数y＝ax与y＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，所以a0，b0，所以函数y＝ax2＋bx的图象的对称轴为x＝－b2a0，又a0，所以函数y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是减函数．答案：B4．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A．(－∞，－2)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)解：由x2－2x－80，得x4或x－2.设t＝x2－2x－8，则y＝lnt为增函数．要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8(x4或x－2)的单调递增区间．因为函数t＝x2－2x－8(x4或x－2)的单调递增区间为(4，＋∞)，所以函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．答案：D5．函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为()A.14B.12C.2D.4解：因为y＝ax与y＝loga(x＋1)的单调性相同，所以f(x)＝ax＋loga(x＋1)是单调函数，其最大值和最小值分别在端点处取得，所以最值之和为f(0)＋f(1)＝a0＋loga1＋a＋loga2＝a.所以loga2＋1＝0，所以a＝12.答案：B单调性的判定与证明复合函数的单调性单调性的综合应用考点1·单调性的判定与证明【例1】证明函数f(x)＝x＋ax(a0)在(0，a)上是减函数．分析：因为没有要求一定要用定义进行证明，因此，除定义证明外，还可考虑用导数进行证明．证明：(方法1)设0x1x2a，则f(x1)－f(x2)＝(x1＋ax1)－(x2＋ax2)＝(x1－x2)＋(ax1－ax2)＝(x1－x2)(x1x2－ax1x2)．因为0x1x2a，所以x1－x20,0x1x2a，所以f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)＝x＋ax在(0，a)上是减函数．(方法2)因为0xa，所以f′(x)＝1－ax2＝x2－ax20，所以f(x)在(0，a)上是减函数．【变式探究】1．证明函数f(x)＝x＋ax(a0)在(a，＋∞)上是增函数．证明：(方法1)设ax1x2，则f(x1)－f(x2)＝(x1＋ax1)－(x2＋ax2)＝(x1－x2)＋(ax1－ax2)＝(x1－x2)(x1x2－ax1x2)．因为ax1x2，所以x1－x20，x1x2a，所以f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)＝x＋ax在(a，＋∞)上是增函数．(方法2)因为xa，所以f′(x)＝1－ax2＝x2－ax20，所以f(x)在(a，＋∞)上是增函数．点评：(1)单调性的判定与证明的常用方法：①定义法：基本步骤为：一设，二作差，三比较，四下结论．②导数法：若f(x)在某个区间内可导，当f′(x)＞0时，f(x)为增函数；当f′(x)＜0时，f(x)为减函数．(2)函数y＝x＋ax(a0)是一种常用函数，俗称“双勾函数”，其图象如下图所示．由图象，你能写出它的单调区间吗？能得出它的哪些性质？考点2·复合函数的单调性【例2】函数1223og()2lxyx－＋的单调递增区间为__________，单调递减区间为__________．解：令u＝x2－3x＋2＝(x－32)2－14在[32，＋∞)上递增，在(－∞，32)上递减，又因为x2－3x＋20，所以x2或x1.故u＝x2－3x＋2在(2，＋∞)上递增，在(－∞，1)上递减．又因为12logyu为减函数，所以函数1223og()2lxyx－＋在(2，＋∞)上递减，在(－∞，1)上递增．答案：(－∞，1)(2，＋∞)【变式探究】2．函数y＝x2＋x－6的单调递增区间为____________，单调递减区间为_____________.解：令u＝x2＋x－6，则y＝x2＋x－6可以看作由y＝u与u＝x2＋x－6的复合函数．由u＝x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2.因为u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y＝u在[0，＋∞)上是增函数，所以y＝x2＋x－6的单调递减区间为(－∞，－3]，单调递增区间为[2，＋∞)．点评：复合函数y＝f[g(x)]的单调性可按下列步骤判断：①将复合函数分解成两个简单的函数，y＝f(u)与u＝g(x)；②确定函数的定义域；③分别确定分解成的两个函数的单调性；④其单调性规律：函数单调性u＝g(x)增函数增函数减函数减函数y＝f(u)增函数减函数增函数减函数y＝f[g(x)]增函数减函数减函数增函数复合函数的单调性可概括为一句话：“同增异减”．考点3·单调性的综合应用【例3】(1)(2018·云南昭通月考)已知f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2x11时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)0恒成立，设a＝f(－12)，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为()A．cabB．cbaC．acbD．bac(2)已知f(x)＝log2x＋11－x，若x1∈(1，2)，x2∈(2，＋∞)，则()A．f(x1)0，f(x2)0B．f(x1)0，f(x2)0C．f(x1)0，f(x2)0D．f(x1)0，f(x2)0解：(1)由条件f(x)的图象关于x＝1对称，且f(x)在(1，＋∞)上是减函数，因为a＝f(－12)＝f(52)，且2523，所以bac.(2)因为函数f(x)＝log2x＋11－x在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，所以当x1∈(1，2)时，f(x1)f(2)＝0，当x2∈(2，＋∞)时，f(x2)f(2)＝0，即f(x1)0，f(x2)0.答案：(1)D(2)B【变式探究】3．(1)(2018·山西孝义质检)已知函数f(x)＝x3，x≤0，ln（x＋1），x0.若f(2－x2)f(x)，则实数x的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C．(－1，2)D．(－2，1)【变式探究】3．(2)(2018·相阳教育模拟)若a＝log63，b＝log105，c＝log147，则()A．a＞b＞cB．b＞c＞aC．a＞c＞bD．c＞b＞a解：(1)因为当x＝0时，两个表达式对应的函数值都为0，所以函数图象是一条连续不断的曲线．因为当x≤0时，f(x)＝x3为增函数，当x0时，f(x)＝ln(x＋1)也是增函数，且当x10，x20时，f(x1)f(x2)，所以f(x)是定义在R上的增函数．因此不等式f(2－x2)f(x)等价于2－x2x，即x2＋x－20，解得－2x1，故选D.解：(2)(方法1)a＝log63＝ln3ln6＝ln3ln2＋ln3，同理b＝log105＝ln5ln2＋ln5，c＝log147＝ln7ln2＋ln7，构造函数f(x)＝xln2＋x，因为f′(x)＝ln2（ln2＋x）20，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(ln3)f(ln5)f(ln7)，即cba.(方法2)a＝log63＝log662＝1－log62，同理b＝log105＝1－log102，c＝log147＝1－log142，因为log62log102log142，所以cba.点评：单调性是函数的重要性质，它的应用非常广泛，主要表现在两个方面：(1)根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系，如比较大小、求函数的最值等；(2)根据函数值的大小关系得到自变量的大小关系，如解有关函数不等式等.1．对于单调性的定义的理解，要注意以下四点：(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念．一个函数在不同的区间上可以有不同的单调区间．(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质．因此，定义中的x1，x2具有任意性，不能用特殊值代替．(3)由于定义都是充要性命题，因此由f(x)是增(减)函数，且f(x1)＜f(x2)⇒x1＜x2(或x1＞x2)，这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“互逆互推”，即有x1＜x2⇔f(x1)＜f(x2)(或f(x1)＞f(x2))．(4)若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，而不能写成并集．如f(x)＝1x在(－∞，0)和(0，＋∞)都是减函数，单调区间不能写成(－∞，0)∪(0，＋∞)，事实上，f(x)＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不是减函数．2．证明函数的单调性，一般从定义入手，也可以从导数入手；判断函数的单调性或者求函数的单调区间一般可以：①从定义入手；②从导数入手；③从图象入手；④从熟悉的函数入手