2020届高考数学一轮复习 第三篇 三角函数、解三角形 第4节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及

第三篇三角函数、解三角形(必修4、必修5)第4节函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用最新考纲2.会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.返回导航返回导航【教材导读】1．得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有哪些方法？提示：有两种方法：一是用五点作图法，列表、描点、连线成图，二是由y＝sinx平移伸缩变换得到．2．如果将函数y＝Asinωx的图象向左平移m个单位或向右平移m(m＞0)个单位，得函数y＝Asin(ωx＋m)或y＝Asin(ωx－m)的图象吗？返回导航提示：不是，常说的“左加右减”指的是向左平移m个单位时，x加上m，向右平移m个单位时，x减去m，而不是ωx加上或减去m，即由y＝Asinωx向左平移m个单位得y＝Asin[ω(x＋m)]，由y＝Asinωx向右平移m个单位得y＝Asin[ω(x－m)]．3．利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移长度一致吗？返回导航提示：不一致，“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为|φ|ω.故当ω≠1时平移的长度不相等．1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相AT＝2πωf＝1T＝ω2π________φ返回导航ωx＋φ2.用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象的一般步骤(1)定点：如表.返回导航【重要结论】1．“五点法”作图中，相邻两点的横向距离均为T4.2．在正弦函数图象、余弦函数图象中，相邻的两个对称中心以及相邻的两条对称轴之间的距离均为半个周期．3．正弦函数和余弦函数一定在对称轴处取得最值．返回导航1．如果函数f(x)＝sin(πx＋θ)(0＜θ＜2π)的最小正周期为T，且当x＝2时，f(x)取得最大值，那么()(A)T＝2，θ＝π2(B)T＝1，θ＝π(C)T＝2，θ＝π(D)T＝1，θ＝π2返回导航A解析：T＝2ππ＝2，当x＝2时，由π×2＋θ＝π2＋2kπ(k∈Z)得θ＝－3π2＋2kπ(k∈Z)，又0＜θ＜2π，∴θ＝π2.故选A.2.函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图，则ω等于()(A)5(B)4(C)3(D)2返回导航B解析：由图象可知T2＝x0＋π4－x0＝π4，即T＝π2＝2πω，故ω＝4.3．定义a1a2a3a4＝a1a4－a2a3，若函数f(x)＝sin2xcos2x13，则将f(x)的图象向右平移π3个单位所得曲线的一条对称轴的方程是()(A)x＝π6(B)x＝π4(C)x＝π2(D)x＝π返回导航A解析：由定义可知，f(x)＝3sin2x－cos2x＝2sin2x－π6，将f(x)的图像向右平移π3个单位得到y＝2sin2x－π3－π6＝2sin2x－5π6，由2x－5π6＝π2＋kπ(k∈Z)，得对称轴为x＝2π3＋kπ2(k∈Z)，当k＝－1时，对称轴为x＝2π3－π2＝π6.故选A.返回导航4．将函数y＝sinx的图象向左平移π2个单位，得到函数y＝f(x)的图象，则下列说法正确的是()(A)y＝f(x)是奇函数(B)y＝f(x)的周期为π(C)y＝f(x)的图象关于直线x＝π2对称(D)y＝f(x)的图象关于点－π2，0对称返回导航D解析：函数y＝sinx的图象向左平移π2个单位，得到函数f(x)＝sinx＋π2＝cosx的图象，f(x)＝cosx为偶函数，排除选项A；f(x)＝cosx的周期为2π，排除选项B；因为fπ2＝cosπ2＝0，所以f(x)＝cosx的图象不关于直线x＝π2对称，排除选项C；f－π2＝cos－π2＝0，所以f(x)＝cosx的图象关于点－π2，0对称．返回导航5．若将函数f(x)＝sin2x＋π4的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是________．返回导航解析：由题意知，平移后所得函数为f(x)＝sin2x－2φ＋π4，若其图象关于y轴对称，则sin－2φ＋π4＝±1，所以－2φ＋π4＝kπ＋π2(k∈Z)，所以φ＝－kπ2－π8(k∈Z)，当k＝－1时，φ取得最小正值3π8.返回导航答案：3π8返回导航考点一函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象及其变换(1)将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω＞0，－π2≤φ＜π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y＝sinx的图象，则fπ6＝________.(2)已知函数f(x)＝2cosxsinx＋π3－3sin2x＋sinxcosx＋2(x∈R)，该函数的图象可由y＝sinx(x∈R)的图象经过怎样的变换得到？解：(1)先将y＝sinx按照题目中相反的方向变换可得函数f(x)的表达式，再求fπ6的值．将y＝sinx的图象向左平移π6个单位长度可得y＝sinx＋π6的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y＝sin12x＋π6的图象，故f(x)＝sin12x＋π6.所以fπ6＝sin12×π6＋π6＝sinπ4＝22.返回导航(2)f(x)＝2cosx(12sinx＋32cosx)－3sin2x＋sinxcosx＋2＝2sinxcosx＋3(cos2x－sin2x)＋2＝sin2x＋3cos2x＋2＝2sin(2x＋π3)＋2.变换途径为：将y＝sinx的图像向左平移π3个单位，得到y＝sin(x＋π3)的图像，保持图像上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得到y＝sin(2x＋π3)的图像，保持图像上各点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到y＝2sin(2x＋π3)的图像，将所得图像向上平移2个单位，得到y＝2sin(2x＋π3)＋2的图像．返回导航【反思归纳】(1)要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；(2)要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；(3)当ω＜0时，先利用诱导公式化为“ω＞0”型，再确定平移方向．返回导航【即时训练】(1)(2017全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin(2x＋2π3)，则下面结论正确的是()(A)把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2(B)把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2返回导航(C)把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2(D)把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2返回导航(2)(2016高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω＞0，|φ|≤π2，x＝－π4为f(x)的零点，x＝π4为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在π18，5π36上单调，则ω的最大值为()(A)11(B)9(C)7(D)5返回导航解析：(1)易知C1：y＝cosx＝sinx＋π2，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin2x＋π2的图像，再把所得函数的图像向左平移π12个单位长度，可得函数y＝sin2x＋π12＋π2＝sin2x＋2π3的图像，即曲线C2，故选D.返回导航(2)先根据函数的零点及图象对称轴，求出ω，φ满足的关系式，再根据函数f(x)在π18，5π36上单调，则π18，5π36的区间长度不大于Z(x)周期的12，然后结合|φ|≤π2计算ω的最大值．因为f(x)＝sin(ωx＋φ)的一个零点为x＝－π4，x＝π4为y＝f(x)图象的对称轴，所以T4·k＝π2(k为奇数)．又T＝2πω，所以ω＝k(k为奇数)．返回导航又函数f(x)在π18，5π36上单调，所以π12≤12×2πω，即ω≤12.若ω＝11，又|φ|≤π2，则ω＝－π4，此时，f(x)＝sin11x－π4，f(x)在π18，3π44上单调递增，在3π44，5π36上单调递减，不满足条件．若ω＝9，又|φ|≤π2，则φ＝π4，此时，f(x)＝sin9x＋π4，满足f(x)在π18，5π36上单调的条件．故选B.返回导航答案：(1)D(2)B考点二求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的解析式已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式是()(A)f(x)＝2sin(2x＋π3)(B)f(x)＝2sin(x＋π3)(C)f(x)＝2sin(2x＋π6)(D)f(x)＝2sin(x＋π6)返回导航B解析：由图像知函数的最大值为2，即A＝2，函数的周期T＝47π6－2π3＝2π＝2πω，解得ω＝1，即f(x)＝2sin(x＋φ)，由题图知2π3＋φ＝π，解得φ＝π3，故f(x)＝2sinx＋π3.返回导航【反思归纳】确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A0，ω0)的解析式的步骤(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝M－m2，B＝M＋m2.(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝2πT.返回导航(3)求φ，常用方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．返回导航【即时训练】(1)如图所示，函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)离y轴最近的零点与最大值均在抛物线y＝－32x2＋12x＋1上，则f(x)＝()返回导航(A)f(x)＝sin16x＋π3(B)f(x)＝sin12x＋π3(C)f(x)＝sinπ2x＋π3(D)f(x)＝sinπ2x＋π6(2)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω＞0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点2，－12，则函数的解析式为____________．返回导航解：(1)令y＝0，得－32x2＋12x＋1＝0，解得x＝－23或x＝1，∴点(－23，0)在函数f(x)的图象上，∴－23ω＋φ＝0，即φ＝23ω①.令ωx＋φ＝π2，得ωx＝π2－φ②.把①代入②得，x＝π2ω－23③，令y＝1，得－32x2＋12x＋1＝1，解得x＝0或x＝13，即π2ω－23＝13，解得ω＝12π，∴φ＝23ω＝π3，∴f(x)＝sinπ2x＋π3.故选C.返回导航(2)据已知两个相邻最高点和最低点距离为22，可得T22＋1＋12＝22，解得T＝4，故ω＝2πT＝π2，即f(x)＝sinπx2＋φ.又函数图象过点2，－12，故f(2)＝sin(π＋φ)＝－sinφ＝－12.返回导航又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6，故f(x)＝sinπx2＋π6.返回导航答案：(1)C(2)f(x)＝sinπx2＋π6考点三三角函数模型的应用青岛第一海水浴场位于汇泉湾畔，拥有长580米，宽40余米的沙滩，是亚洲较大的海水浴场．这里三面环山，绿树葱茏，现代的高层建筑与传统的别墅建筑巧妙地结合在一起，景色非常秀丽．海湾内水清浪小，滩平坡缓，沙质细软，自然条件极为优越．已知海湾内海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)．