2020届高考数学一轮复习 第八篇 平面解析几何 第4节 双曲线课件 理 新人教A版

第八篇平面解析几何(必修2、选修2-1)第4节双曲线最新考纲1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程、知道它的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).2.理解数形结合思想的应用.返回导航返回导航提示：只有当0＜2a＜|F1F2|时，动点的轨迹才是双曲线，当2a＝0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线；当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1、F2为端点的两条射线；当2a＞|F1F2|时，动点的轨迹不存在．【教材导读】1．平面内与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？2．方程Ax2＋By2＝1表示双曲线的条件是什么？返回导航提示：若A＞0，B＜0表示焦点在x轴上的双曲线；若A＜0，B＞0表示焦点在y轴上的双曲线，当上述两种条件都不满足时，不表示双曲线，所以Ax2＋By2＝1表示双曲线的条件是AB＜0.1．双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的______________等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的_________．标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)a、b、c间的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)返回导航差的绝对值焦点焦距2.双曲线的标准方程及简单几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形返回导航性质范围x≥a或x≤－ay≥a或y≤－a对称性对称轴：____________对称中心：____________顶点顶点坐标：A1________，A2_____顶点坐标：A1________，A2________渐近线_____________________________离心率e＝ca，e∈_____________，其中c＝_____________实虚轴线段A1A2叫做双曲线的_______，它的长|A1A2|＝_____；线段B1B2叫做双曲线的________，它的长|B1B2|＝_____；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长返回导航x轴、y轴坐标原点(－a,0)(a,0)(0，－a)(0，a)(1，＋∞)实轴虚轴2a2b3.等轴双曲线的定义及性质实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，离心率e＝2.渐近线方程为__________.它们互相________，并且平分实轴和虚轴所成的角．返回导航y＝±x垂直【重要结论】1．双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)中，过焦点垂直于实轴所在直线的弦长为2b2a.2．双曲线的焦点到渐近线的距离等于其虚半轴长．3．已知双曲线x2a2－y2b2＝λ(a0，b0，λ≠0)求其渐近线的方程只需把λ改写为0整理即可．返回导航1．若实数k满足0k5，则曲线x216－y25－k＝1与曲线x216－k－y25＝1的()(A)实半轴长相等(B)虚半轴长相等(C)离心率相等(D)焦距相等返回导航D解析：因为0k5，所以两曲线都表示双曲线，在x216－y25－k＝1中，a2＝16，b2＝5－k；在x216－k－y25＝1中，a2＝16－k，b2＝5.由c2＝a2＋b2知两双曲线的焦距相等．返回导航2．双曲线x2a2－y2b2＝1(a，b＞0)离心率为3，左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上一点，∠F1PF2的平分线为l，点F1关于l的对称点为Q，|F2Q|＝2，则双曲线方程为()(A)x22－y2＝1(B)x2－y22＝1(C)x2－y23＝1(D)x23－y2＝1返回导航B解析：由题意，得直线l是线段F1Q的中垂线，则2a＝|PF1|－|PF2|＝|PQ|－|PF2|＝|F2Q|＝2，即a＝1，又因为该双曲线的离心率为ca＝3，所以c＝3，b2＝2，即双曲线的方程为x2－y22＝1；故选B.返回导航3．若圆锥曲线C：x2＋my2＝1的离心率为2，则m＝()(A)－33(B)33(C)－13(D)13返回导航C解析：本题考查双曲线的标准方程和几何性质．圆锥曲线C的离心率为2，知C为双曲线，m＜0，标准方程为x2－y21－m＝1，a2＝1，b2＝1－m，则c2＝1＋1－m，离心率e＝ca＝1＋1－m＝2，解得m＝－13，故选C.返回导航4．设双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)上的左焦点为F，P是双曲线虚轴的一个端点，过F的直线交双曲线的右支于Q点，若PF→＋2PQ→＝0，则双曲线的离心率为()(A)25(B)13(C)52(D)132返回导航B解析：设F(－c,0)，P(0，b)，由PF→＋2PQ→＝0可知F，P，Q三点共线且可得Qc2，3b2，代入双曲线方程可得ca＝13，即e＝13.故选B.5．若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，则该双曲线的离心率是________．返回导航解析：设双曲线的一个焦点为(c,0)，一条渐近线为y＝bax，则bca1＋b2a2＝bca2＋b2＝bcc＝b＝14×2c.即c＝2b.所以c＝2c2－a2，即有3c2＝4a2.所以e＝ca＝233.返回导航答案：233返回导航考点一双曲线的定义及其应用(1)P为双曲线x14－y29＝1右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，且PF1→·PF2→＝0，直线PF2交y轴于点A，则△AF1P的内切圆半径为________．(2)根据下列条件，求双曲线的标准方程：①焦距为26，且经过点M(0,12)；②经过两点P(－3,27)和Q(－62，－7)．解析：(1)(1)∵PF1⊥PF2，△APF1的内切圆半径为r，∴|PF1|＋|PA|－|AF1|＝2r，∴|PF2|＋2a＋|PA|－|AF1|＝2r，∴|AF2|－|AF1|＝2r－4，∵由图形的对称性知：|AF2|＝|AF1|，∴r＝2.故答案为：2.返回导航(2)①∵双曲线经过点M(0,12)，∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.∴双曲线的标准方程为y2144－x225＝1.②设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn＞0)．∴9m－28n＝1，72m－49n＝1，解得m＝－175，n＝－125.∴双曲线的标准方程为y225－x275＝1.返回导航【反思归纳】(1)应用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．(2)求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a，b，c的关系易错易混．返回导航【即时训练】(1)已知F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．(2)已知椭圆D：x250＋y225＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，则双曲线G的方程为________．返回导航解析：(1)如图所示，设双曲线的右焦点为E，则E(4,0)．由双曲线的定义及标准方程得|PF|－|PE|＝4，则|PF|＋|PA|＝4＋|PE|＋|PA|.由图可得，当A，P，E三点共线时，(|PE|＋|PA|)min＝|AE|＝5，从而|PF|＋|PA|的最小值为9.返回导航(2)椭圆D的两个焦点分别为F1(－5,0)，F2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5，设双曲线G的方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，则渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25.又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r＝3，∴|5a|b2＋a2＝3，解得a＝3，b＝4.∴双曲线G的方程为x29－y216＝1.返回导航考点二双曲线的几何性质考查角度1：求双曲线的离心率(1)过双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点A，与另一条渐近线交于点B，若FB→＝2FA→，则此双曲线的离心率为()(A)2(B)3(C)2(D)5返回导航(2)已知双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点分别是F1，F2，过F2的直线与E的右支交于A，B两点，M，N分别是AF1，BF1的中点，O为坐标原点，若△MON是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则E的离心率是()(A)5(B)5(C)52(D)102返回导航答案：(1)C(2)D【反思归纳】求双曲线离心率或离心率范围的两种方法一种是直接建立e的关系式求e或e的范围；另一种是建立a，b，c的齐次关系式，将b用a，c表示，令两边同除以a或a2化为e的关系式，进而求解．返回导航考查角度2：由离心率或渐近线确定双曲线方程(1)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝3x，且它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程是()(A)x236－y2108＝1(B)x2108－y236＝1(C)x29－y227＝1(D)x227－y29＝1返回导航(2)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1的离心率e＝54，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的方程为()(A)x24－y23＝1(B)x29－y216＝1(C)x216－y29＝1(D)x23－y24＝1(3)已知双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，且经过点(2,2)，则C的方程为________．返回导航解析：(1)∵双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝3x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线l：x＝－6上，∴ba＝3c＝6c2＝a2＋b2，解得a＝3，b＝33，∴双曲线方程为x9－y227＝1.故选：C.返回导航(2)因为所求双曲线的右焦点为F2(5,0)且离心率为e＝ca＝54，所以c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9，所以所求双曲线方程为x216－y29＝1，故选C.(3)解析：由题意，设双曲线C的方程为y24－x2＝λ(λ≠0)，因为双曲线C过点(2,2)，则224－22＝λ，解得λ＝－3，所以双曲线C的方程为y24－x2＝－3，即x23－y212＝1.返回导航答案：(1)C(2)C(3)x23－y212＝1【反思归纳】求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出a2，b2，写出方程．(2)待定系数法：即“先定位，再定量”，如果不能确定焦点的位置，应注意分类讨论或恰当设置简化讨论．常见设法有：①与双曲线x2a2－y2b2＝1共渐近线的可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)；②若渐近线方程为y＝±bax，则可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)；③若过两个已知点，则设为x2m＋y2n＝1(mn0)．返回导航考查角度3：双曲线几何性质的应用(1)已知P为双曲线y24－x2＝1上任一点，过P点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A，B，则|PA|·|PB|的值为()(A)4(B)5(C)45(D)与点P的位置有关返回导航(2)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线经过圆E：x2＋y2－8x－6y＋16＝0的圆心，则双曲线C的离心率等于________．(3)已知双曲线x2－y23＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则PA1→·PF2→的最小值为________．返回导航答案：(1)C(2)54(3)－2【反思归纳】解决有关渐近线与离心率关系问题的方法(1)已知渐近线方程y＝mx，若焦点位置不明确要分|m|＝ba或|m|＝ab讨论．(2)注意数形结合思想在处理渐近线夹角、离心率范围求法中的应用．返回导航考点三直线与双曲线的位置关系(1)已知F1，