2020届高考数学二轮复习 第三部分 考前冲刺三 溯源回扣四 数列与不等式课件 理

考前冲刺三考前提醒回扣溯源溯源回扣四数列与不等式环节一：牢记概念公式，避免卡壳1．判断等差数列的常用方法：(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列．(2)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．(3)通项公式法：an＝pn＋q(p，q为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列．(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列．2．判断等比数列的常用方法：(1)定义法：an＋1an＝q(q是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．(2)通项公式法：an＝cqn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．(3)中项公式法：a2n＋1＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列．3．等差数列的通项公式、前n项和公式：(1)an＝a1＋(n－1)d.(2)Sn＝n（a1＋an）2＝na1＋n（n－1）2d.4．等比数列的通项公式、前n项和公式：(1)an＝a1qn－1(q≠0)．(2)当q≠1时，Sn＝a1（1－qn）1－q＝a1－anq1－q；当q＝1时，Sn＝na1.5．an与Sn的关系式：an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.6．不等式的性质：(1)ab，bc⇒ac.(2)ab，c0⇒acbc；ab，c0⇒acbc.(3)ab⇒a＋cb＋c.(4)ab，cd⇒a＋cb＋d.(5)ab0，cd0⇒acbd.(6)ab0，n∈N，n1⇒anbn，nanb.7．一元二次不等式的恒成立问题：(1)ax2＋bc＋c0(a≠0)恒成立的条件是a0，Δ0.(2)ax2＋bx＋c0(a≠0)恒成立的条件是a0，Δ0.环节二：活用结论规律，快速抢分1．等差数列{an}的常用性质．(1)an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d；p＋q＝m＋n⇒ap＋aq＝am＋an.(2){kan}也成等差数列．(3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等差数列．(4)若ap＝q，aq＝p(p≠q)，则ap＋q＝0.2．等比数列的重要规律与推论．(1)an＝a1qn－1＝amqn－m，p＋q＝m＋n⇒ap·aq＝am·an.(2){an}，{bn}成等比数列⇒{anbn}成等比数列．(3)连续m项的和(如Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…)仍然成等比数列(注意：这连续m项的和必须非零才能成立)．(4)若等比数列有2n项，公比为q，奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，则S偶S奇＝q.(5)在等比数列前n项和中，Sm＋n＝Sm＋qmSn.3．几个重要的不等式：(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)设a0，b0，则a＋b2≥ab.(3)a2＋b22≥a＋b2≥ab≥2aba＋b(a0，b0)．4．线性规划中三个重要结论：(1)点M(x0，y0)在直线l：Ax＋By＋C＝0(B0)上方(或下方)⇔Ax0＋By0＋C0(或0)．(2)点A(x1，y1)，B(x2，y2)在直线l：Ax＋By＋C＝0同侧(或异侧)⇔(Ax1＋By1＋C)·(Ax2＋By2＋C)0(或0)．(3)点M(x0，y0)在两条直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0(B1B20)同侧(或异侧)⇔(A1x0＋B1y0＋C1)·(A2x0＋B2y0＋C2)0(或0)．1．已知数列的前n项和Sn求an，易忽视n＝1的情形，直接用Sn－Sn－1表示．事实上，当n＝1时，a1＝S1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1.[回扣问题1]已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋3，则an＝________．解析：当n＝1时，a1＝S1＝5，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1，所以an＝5，n＝1，2n－1，n≥2.答案：an＝5，n＝1，2n－1，n≥22．等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，并灵活整体代换进行基本运算．如等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知SnTn＝n＋12n＋3，求anbn时，无法正确赋值求解．[回扣问题2]等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且SnTn＝3n－12n＋3，则a8b8＝________．解析：a8b8＝2a82b8＝a1＋a15b1＋b15＝S15T15＝3×15－12×15＋3＝43.答案：433．运用等比数列的前n项和公式时，易忘记分类讨论．一定分q＝1和q≠1两种情况进行讨论．[回扣问题3](2017·江苏卷)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3＝74，S6＝634，则a8＝________．解析：设数列{an}的公比为q.若q＝1，则S6＝2S3，与题设矛盾，因此q≠1.则a1（1－q3）1－q＝74，a1（1－q6）1－q＝634，解得a1＝14，q＝2，所以a8＝14×27＝25＝32.答案：324．利用等差数列定义求解问题时，易忽视an－an－1＝d(常数)中，n≥2，n∈N*的限制，类似地，在等比数列中，bn＋1bn＝q(常数且q≠0)，忽视n∈N*的条件限制．[回扣问题4]已知数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋1＝an＋12(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________．解析：因为a2＝1，an＋1＝an＋12(n≥2)，所以数列{an}从第2项起是公差为12的等差数列，所以S9＝a1＋a2＋a3＋…＋a9＝1＋8a2＋8（8－1）2×12＝23.答案：235．对于通项公式中含有(－1)n的一类数列，在求Sn时，切莫忘记讨论n的奇偶性；遇到已知an＋1－an－1＝d或an＋1an－1＝q(n≥2)，求{an}的通项公式，要注意分n的奇偶性讨论．[回扣问题5]若an＝2n－1，bn＝(－1)n－1an，则数列{bn}的前n项和Tn＝______．解析：bn＝(－1)n－1an＝(－1)n－1(2n－1)，当n为偶数时，Tn＝a1－a2＋a3－a4＋…＋an－1－an＝(－2)×n2＝－n.当n为奇数时，Tn＝Tn－1＋bn＝－(n－1)＋an＝n.因此Tn＝－n，n为偶数，n，n为奇数.答案：Tn＝－n，n为偶数，n，n为奇数6．利用错位相减法求和，切忌勿遗漏第一项和最后一项；裂项相消法求和，相消后“前后”项数要相等．[回扣问题6]若数列{an}的通项an＝2n，前n项和为Sn，则数列1Sn的前n项和Tn＝________．解析：由an＝2n，知Sn＝n（2＋2n）2＝n(n＋1)．从而1Sn＝1n（n＋1）＝1n－1n＋1，所以Tn＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1.答案：nn＋17．解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c0时，易忽视系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a0，a0进行讨论．[回扣问题7]若不等式x2＋x－1m2x2－mx对x∈R恒成立，则实数m的取值范围是________．解析：原不等式化为(m2－1)x2－(m＋1)x＋10对x∈R恒成立．(1)当m2－1＝0且m＋1＝0时，不等式恒成立，所以m＝－1.(2)当m2－1≠0时，若不等式恒成立，则m2－10，Δ＝（m＋1）2－4（m2－1）0，即m1或m－1，m53或m－1.所以m53或m－1.综合(1)(2)知，m的取值范围为(－∞，－1]∪53，＋∞.答案：(－∞，－1]∪53，＋∞8．容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数f(x)＝x2＋2＋1x2＋2的最值，就不能利用基本不等式求解最值．[回扣问题8](2019·济南联考)若a＞0，b＞0且2a＋b＝4，则1ab的最小值为()A．2B．12C．4D．14解析：因为a＞0，b＞0，故2a＋b≥22ab(当且仅当2a＝b时取等号)．又因为2a＋b＝4.所以22ab≤4⇒0＜ab≤2.所以1ab≥12，故1ab的最小值为12(当且仅当a＝1，b＝2时等号成立)．答案：B9．求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如y－2x＋2是指已知区域内的点(x，y)与点(－2，2)连线的斜率，而(x－1)2＋(y－1)2是指已知区域内的点(x，y)到点(1，1)的距离的平方等．[回扣问题9](2019·惠州检测)若x，y满足x＋y≥1，mx－y≤0，3x－2y＋2≥0，且z＝3x－y的最大值为2，则实数m的值为()A．13B．23C．1D．2解析：若z＝3x－y的最大值为2，则此时目标函数为y＝3x－2，直线y＝3x－2与3x－2y＋2＝0和x＋y＝1分别交于A(2，4)，B34，14，mx－y＝0经过其中一点，所以m＝2或m＝13，当m＝13时，经检验不符合题意，故m＝2.答案：D10．求解不等式、函数的定义域、值域时，其结果一定要用集合或区间表示，另外一元二次不等式的解集表示形式受到二次项系数符号的影响．[回扣问题10]已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是xx＜－2或x＞－12，则ax2－bx＋c＞0的解集为________．解析：因为ax2＋bx＋c＜0的解集为{xx＜－2或x＞－12}，所以a＜0，且ca＝1，－ba＝－52.因为b＝52a，c＝a，故ax2－bx＋c＞0化为ax2－52ax＋a＞0，即ax2－52x＋1＞0，由于a＜0，得x2－52x＋1＜0，解得12＜x＜2.答案：12，2