2020届高考数学二轮复习 第二部分 专题七 选修4系列 第1讲 坐标系与参数方程（选修4-4）课件

专题七选修4系列第1讲坐标系与参数方程(选修4－4)1．(2019·全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0＞0)在曲线C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A(4，0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当θ0＝π3时，求ρ0及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．解：因为M(ρ0，θ0)在曲线C上，当θ0＝π3时，ρ0＝4sinπ3＝23.由已知得|OP|＝|OA|cosπ3＝2.设Q(ρ，θ)为l上除P外的任意一点．在Rt△OPQ中，ρcosθ－π3＝|OP|＝2.经检验，点P2，π3在曲线ρcosθ－π3＝2上．所以l的极坐标方程为ρcosθ－π3＝2.(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cosθ＝4cosθ，即ρ＝4cosθ.因为P在线段OM上，且AP⊥OM，所以θ的取值范围是π4，π2.所以P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cosθ，θ∈π4，π2.2．(2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝1－t21＋t2，y＝4t1＋t2(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ＋3ρsinθ＋11＝0.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值．解：(1)因为－1＜1－t21＋t2≤1，且x2＋y22＝1－t21＋t22＋4t2（1＋t2）2＝1，所以C的直角坐标方程为x2＋y24＝1(x≠－1)，l的直角坐标方程为2x＋3y＋11＝0.(2)由(1)可设C的参数方程为x＝cosα，y＝2sinα(α为参数，－π＜α＜π)．C上的点到l的距离为|2cosα＋23sinα＋11|7＝4cosα－π3＋117.当α＝－2π3时，4cosα－π3＋11取得最小值7，故C上的点到l的距离的最小值为7.从近几年命题看：本讲命题内容以解答题的形式呈现，以极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的互化为主要内容，考查直线与圆锥曲线的位置关系，难度中等，分值10分．热点1曲线的极坐标方程(讲练互动)1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yx（x≠0）.2．直线的极坐标方程若直线过点M(ρ0，θ0)，且与极轴所成的角为α，则它的方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点：θ＝α和θ＝π＋α；(2)直线过点M(a，0)(a＞0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；(3)直线过Mb，π2且平行于极轴：ρsinθ＝b.3．圆的极坐标方程几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；(2)当圆心位于M(r，0)，半径为r：ρ＝2rcosθ；(3)当圆心位于Mr，π2，半径为r：ρ＝2rsinθ.【例1】(2019·全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox中，A(2，0)，B2，π4，C2，3π4，D(2，π)，弧AB︵，BC︵，CD︵所在圆的圆心分别是(1，0)，1，π2，(1，π)，曲线M1是弧AB︵，曲线M2是弧BC︵，曲线M3是弧CD︵.(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝3，求P的极坐标．解：(1)由题设可得，弧AB︵，BC︵，CD︵所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cosθ，ρ＝2sinθ，ρ＝－2cosθ，所以M1的极坐标方程为ρ＝2cosθ0≤θ≤π4，M2的极坐标方程为ρ＝2sinθπ4≤θ≤3π4，M3的极坐标方程为ρ＝－2cosθ3π4≤θ≤π.(2)设P(ρ，θ)，由题设及(1)知：若0≤θ≤π4，则2cosθ＝3，解得θ＝π6；若π4≤θ≤3π4，则2sinθ＝3，解得θ＝π3或θ＝2π3；若3π4≤θ≤π，则－2cosθ＝3，解得θ＝5π6.综上，P的极坐标为3，π6或3，π3或3，2π3或3，5π6.[思维升华]1．进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yx(x≠0)，要注意ρ，θ的取值范围及其影响，灵活运用代入法和平方法等技巧．2．由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．[变式训练](2019·江苏卷)在极坐标系中，已知两点A3，π4，B2，π2，直线l的方程为ρsinθ＋π4＝3.(1)求A，B两点间的距离；(2)求点B到直线l的距离．解：(1)设极点为O.在△OAB中，A3，π4，B2，π2，由余弦定理，得AB＝32＋（2）2－2×3×2×cosπ2－π4＝5.(2)因为直线l的方程为ρsinθ＋π4＝3，所以直线l过点32，π2，倾斜角为3π4.又点B2，π2，所以点B到直线l的距离为(32－2)sin34π－π2＝2.热点2参数方程及其应用(讲练互动)1．直线的参数方程经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)．设P是直线上的任一点，则t表示有向线段P0P→的数量．2．圆、椭圆的参数方程(1)圆心为点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为x＝x0＋rcosθ，y＝y0＋rsinθ(θ为参数，0≤θ≤2π)．(2)椭圆x2a2＋y2b2＝1的参数方程为x＝acosθ，y＝bsinθ(θ为参数)．【例2】(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为x＝cosθ，y＝sinθ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．解：(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.当α＝π2时，l与⊙O交于两点．当α≠π2时，记tanα＝k，则l的方程为y＝kx－2.l与⊙O交于两点当且仅当21＋k21，解得k－1或k1，即α∈(π2，3π4)或α∈(π4，π2)．综上，α的取值范围是(π4，3π4)．(2)l的参数方程为x＝tcosα，y＝－2＋tsinαt为参数，π4α3π4.设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝tA＋tB2，且tA，tB满足t2－22tsinα＋1＝0.于是tA＋tB＝22sinα，tP＝2sinα.又点P的坐标(x，y)满足x＝tPcosα，y＝－2＋tPsinα，所以点P的轨迹的参数方程是x＝22sin2α，y＝－22－22cos2α(α为参数，π4α3π4)．[思维升华]1．解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决问题．2．在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解．[变式训练](2019·潍坊质检)已知直线l：x＝t，y＝－3＋3t(t为参数)，曲线C1：x＝cosθ，y＝sinθ(θ为参数)．(1)设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；(2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的12倍，纵坐标压缩为原来的32倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l距离d的最小值．解：(1)直线l的普通方程为y＝3(x－1)，曲线C1的普通方程为x2＋y2＝1.联立方程y＝3（x－1），x2＋y2＝1，得A(1，0)，B12，－32.则|AB|＝1－122＋0＋322＝1.(2)依题意，曲线C2的参数方程为x＝12cosθ，y＝32sinθ，所以点P的坐标为12cosθ，32sinθ.则d＝1（3）2＋1·32cosθ－3－32sinθ＝34[2sinθ－π4＋2]，所以当sinθ－π4＝－1时，d取到最小值为23－64.热点3极坐标与参数方程的综合应用(多维探究)角度极径与参数几何意义的应用【例3】(2019·长郡中学检测)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：x＋y＝1与曲线C2：x＝2＋2cosφ，y＝2sinφ(φ为参数)．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)写出曲线C1，C2的极坐标方程；(2)在极坐标系中，已知l：θ＝α(ρ＞0)与C1，C2的公共点分别为A，B，α∈0，π2，当|OB||OA|＝4时，求α的值．解：(1)由x＋y＝1，得ρcosθ＋ρsinθ＝1，所以曲线C1的极坐标方程ρsinθ＋π4＝22.将曲线C2：x＝2＋2cosφy＝2sinφ消去参数φ，得(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0，所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ.(2)由(1)知|OA|＝ρA＝1cosα＋sinα，|OB|＝ρB＝4cosα，所以|OB||OA|＝4cosα(cosα＋sinα)＝2(1＋cos2α＋sin2α)＝2＋22sin2α＋π4.因为|OB||OA|＝4，所以2＋22sin2α＋π4＝4，则sin2α＋π4＝22.由0＜α＜π2，知π4＜2α＋π4＜5π4，所以2α＋π4＝3π4，故α＝π4.[思维升华]1．涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．2．数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．[变式训练]在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝1－32t，y＝12t(t为参数)，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ.(1)求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；(2)设点P(1，0)，直线l与曲线C相交于A，B，求1|PA|＋1|PB|的值．解：(1)因为x＝1－32t，y＝12t，消去t得直线l的普通方程为x＋3y－1＝0.由ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ，所以x2＋y2＝4x，表示圆(x－2)2＋y2＝4.(2)将x＝1－32t，y＝t2，代入曲线C：x2＋y2－4x＝0，得t2＋3t－3＝0.设A，B两点的对应参数为t1，t2，则t1＋t2＝－3，且t1t2＝－3.不妨设t1＜0，t2＞0.所以1|PA|＋1|PB|＝1|t1|＋1|t2|＝|t1|＋|t2||t1t2|＝|t1－t2||t1t2|＝（t1＋t2）2－4t1t2|t1t2|＝153.角度求最值或取值范围问题【例4】(2019·长沙一中模拟)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsinθ＝4.(1)若M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设直线l的参数方程为x＝tcosα，y＝3＋tsinαt为参数，0≤α＜π2，且直线l与曲线C2相交于A，B两点，求△OAB面积的最大