2020届高考数学大二轮复习 刷题首选卷 第二部分 刷题型 解答题（五）课件 理

解答题(五)第二部分刷题型17．(2019·江西省吉安市高三下学期第一次模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB＝2a＋b.(1)求角C的大小；(2)若函数f(x)＝2sin2x＋π6＋mcos2x图象的一条对称轴方程为x＝C2，且fα2＝65，求cos2α－π3的值．解(1)由题意，得2sinCcosB＝2sinA＋sinB，又由A＝π－(B＋C)，得sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，所以2sinCcosB＝2sinBcosC＋2cosBsinC＋sinB，即2sinBcosC＋sinB＝0，又因为B∈(0，π)，则sinB0，所以cosC＝－12，又∵C∈(0，π)，∴C＝2π3.(2)因为f(x)＝2sin2x＋π6＋mcos2x＝2sin2x·cosπ6＋2cos2xsinπ6＋mcos2x＝3sin2x＋(m＋1)·cos2x，又函数f(x)图象的一条对称轴方程为x＝C2＝π3，∴f(0)＝f2π3，得m＋1＝3sin4π3＋(m＋1)cos4π3，解得m＝－2，∴f(x)＝3sin2x－cos2x＝2sin2x－π6，又fα2＝2sinα－π6＝65，∴sinα－π6＝35，∴cos2α－π3＝cos2α－π6＝1－2sin2α－π6＝725.18．(2019·广东汕头一模)如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，且PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，E是BC的中点，F是PC上的点．(1)求证：平面AEF⊥平面PAD；(2)若M是PD的中点，当AB＝AP时，是否存在点F，使直线EM与平面AEF所成角的正弦值为15？若存在，请求出PFPC的值；若不存在，请说明理由．解(1)证明：连接AC，∵底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC是正三角形，∵E是BC的中点，∴AE⊥BC，又AD∥BC，∴AE⊥AD，∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AE，又PA∩AD＝A，∴AE⊥平面PAD，又AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面PAD.(2)以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AB＝AP＝2，则AE＝3，则A(0,0,0)，C(3，1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(3，0,0)，M(0,1,1)，设PF→＝λPC→＝λ(3，1，－2)，则AF→＝AP→＋PF→＝(0,0,2)＋λ(3，1，－2)＝(3λ，λ，2－2λ)，又AE→＝(3，0,0)，设n＝(x，y，z)是平面AEF的一个法向量，则n·AE→＝3x＝0，n·AF→＝3λx＋λy＋2－2λz＝0，取z＝λ，得n＝(0,2λ－2，λ)，设直线EM与平面AEF所成角为θ，由EM→＝(－3，1,1)，得sinθ＝|cos〈EM→，n〉|＝|EM→·n||EM→||n|＝|3λ－2|5·2λ－22＋λ2＝15，化简得10λ2－13λ＋4＝0，解得λ＝12或λ＝45，故存在点F满足题意，此时PFPC为12或45.19．(2019·山东聊城二模)某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举办“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱．现统计了连续5天的售出水量和收益情况，如下表：售出水量x/箱76656收益y/元165142148125150(1)试建立y关于x的线性回归方程；(2)预测售出8箱水的收益；(3)已知售出10箱水时的收益为225元，求残差e^.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b^＝i＝1nxiyi－nx－y－i＝1nx2i－nx－2，a^＝y－－b^x－.解(1)由所给数据计算得x－＝15×(7＋6＋6＋5＋6)＝6，y－＝15×(165＋142＋148＋125＋150)＝146，i＝15xiyi＝7×165＋6×142＋6×148＋5×125＋6×150＝4420，i＝15x2i＝72＋62＋62＋52＋62＝182，所以b^＝i＝15xiyi－5x－y－i＝15x2i－5x－2＝4420－5×6×146182－5×62＝20，所以a^＝y－－b^x－＝146－20×6＝26.故所求线性回归方程为y^＝20x＋26.(2)将x＝8代入线性回归方程y^＝20x＋26中，得y^＝20×8＋26＝186，所以预测售出8箱水的收益为186元．(3)当x＝10时，y^＝20×10＋26＝226，所以残差e^＝225－226＝－1.20．(2019·湖北荆门四校六月考前模拟)已知函数f(x)＝exx＋a(x－lnx)，a∈R.(1)当a＝－e时，求f(x)的最小值；(2)若f(x)有两个零点，求参数a的取值范围．解(1)f(x)＝exx＋a(x－lnx)，定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝exx－1x2＋ax－1x＝x－1ex＋axx2，当a＝－e时，f′(x)＝x－1ex－exx2，由于exex在(0，＋∞)上恒成立，故f(x)在(0,1)上单调递减，f(x)在(1，＋∞)上单调递增．故f(x)min＝f(1)＝e＋a＝0.(2)f′(x)＝x－1ex＋axx2，当a＝－e时，f(x)在(0,1)上单调递减，f(x)在(1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(1)＝e＋a＝0，f(x)只有一个零点．当a－e时，ax－ex，故ex＋axex－ex≥0在(0，＋∞)上恒成立，故f(x)在(0,1)上单调递减，f(x)在(1，＋∞)上单调递增．f(x)min＝f(1)＝e＋a0，故当a－e时，f(x)没有零点.当a－e时，令ex＋ax＝0，得exx＝－a，设φ(x)＝exx，则φ′(x)＝x－1exx2，所以φ(x)在(0,1)上单调递减，φ(x)在(1，＋∞)上单调递增．φ(x)min＝φ(1)＝e，设h(x)＝ex＋ax，则h(x)在(0，＋∞)有两个零点x1，x2，且x1x2，则0x11x2，则f(x)在(0，x1)上单调递减，在(x1,1)上单调递增，在(1，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增，f(1)＝e＋a0，又x→0，f(x)→＋∞，x→＋∞，f(x)→＋∞，此时f(x)有两个零点．综上，若f(x)有两个零点，则a－e.21．(2019·湖南株洲二模)已知抛物线E：y2＝2px(p0)经过点A(1,2)，过A作两条不同直线l1，l2，其中直线l1，l2关于直线x＝1对称．(1)求抛物线E的方程及准线方程；(2)设直线l1，l2分别交抛物线E于B，C两点(均不与A重合)，若以线段BC为直径的圆与抛物线E的准线相切，求直线BC的方程．解(1)∵抛物线E过点A(1,2)，∴2p＝4，解得p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.(2)解法一：不妨设B在C的左边，从而可设直线AB的方程为x－1＝m(y－2)(m0)，即x＝my－2m＋1，由x＝my－2m＋1，y2＝4x，整理得y2－4my＋8m－4＝0.设B(xB，yB)，则yB＋2＝4m，故yB＝4m－2，∴xB＝4m2－4m＋1，∴点B的坐标为(4m2－4m＋1,4m－2)．又由条件得AB与AC的倾斜角互补，以－m代替点B坐标中的m，可得点C的坐标为(4m2＋4m＋1，－4m－2)．∴|BC|＝－8m2＋8m2＝82m，且BC的中点的横坐标为xB＋xC2＝4m2＋1，∵以线段BC为直径的圆与抛物线E的准线相切，∴4m2＋1＋1＝|BC|2＝42m，解得m＝22，∴B(3－22，22－2)，C(3＋22，－22－2)，∴kBC＝－1，∴直线BC的方程为y－(22－2)＝－(x－3＋22)，即x＋y－1＝0.解法二：设B(x1，y1)，C(x2，y2)，∵直线l1，l2关于x＝1对称，∴AB与AC的倾斜角互补，∴kAB＋kAC＝y1－2x1－1＋y2－2x2－1＝y1－2y214－1＋y2－2y224－1＝4y1＋2＋4y2＋2＝0，∴y1＋y2＝－4，∴kBC＝y1－y2x1－x2＝y1－y2y214－y224＝4y1＋y2＝－1，设直线BC的方程为y＝－x＋m，由y＝－x＋m，y2＝4x，整理得x2－(2m＋4)x＋m2＝0，∴x1＋x2＝2m＋4，x1x2＝m2，∴|BC|＝2|x1－x2|＝42m＋1，且BC的中点D的横坐标为x1＋x22＝m＋2，∵以线段BC为直径的圆与抛物线的准线x＝－1相切，∴x1＋x22＋1＝|BC|2，即m＋3＝22m＋1，解得m＝1,∴直线BC的方程为y＝－x＋1，即x＋y－1＝0.22．(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcosθ－3＝0.(1)求C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．解(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.(2)解法一：由(1)知C2是圆心为A(－1,0)，半径为2的圆．由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线，曲线C1的方程为y＝kx＋2，x≥0，－kx＋2，x0.记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．当l1与C2只有一个公共点时，点A到l1所在直线的距离为2，所以|－k＋2|k2＋1＝2，故k＝－43或k＝0.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝－43时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．当l2与C2只有一个公共点时，点A到l2所在直线的距离为2，所以|k＋2|k2＋1＝2，故k＝0或k＝43.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝43时，l2与C2没有公共点.综上，所求C1的方程为y＝－43|x|＋2.解法二：因为C2：(x＋1)2＋y2＝4，所以C2是以(－1,0)为圆心，2为半径的圆．又因为C1：y＝k|x|＋2是关于y轴对称的两条射线，且C1：y＝kx＋2，x≥0，－kx＋2，x0，显然，若k＝0时，C1与C2相切，此时只有一个公共点；若k0时，C1与C2无公共点．若C1与C2有且仅有三个公共点，则必须满足k0且y＝kx＋2(x0)与C2相切，设圆心到射线的距离为d，则d＝|2－k|1＋k2＝2，所以k＝0或k＝－43，因为k0，所以k＝－43，所以C1：y＝－43|x|＋2.23．(2018·全国卷Ⅰ)已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)x成立，求a的取值范围．解(1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，即f(x)＝－2，x≤－1，2x，－1x1，2，x≥1.故不等式f(x)1的解集为xx12.(2)当x∈(0,1)时|x＋1|－|ax－1|x成立等价于当x∈(0,1)时|ax－1|1成立．若a≤0，则当x∈(0,1)时，|ax－1|≥1不符合题意；若a0，|ax－1|1的解集为0x2a，所以2a≥1，故0a≤2.综上，a的取值范围为(0,2]．本课结束