2020届高考数学大二轮复习 冲刺创新专题 题型2 解答题 规范踩点 多得分 第6讲 解析几何 第1

第6讲解析几何第1课时直线与圆锥曲线的位置关系题型2解答题规范踩点多得分[考情分析]直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考解答题的重要位置，题目可能涉及线段中点、弦长等问题，解决这类问题，往往利用数形结合的思想、“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理等，难度属于中上等．1热点题型分析PARTONE热点直线与圆锥曲线的位置关系判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题的两种常用方法：(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程构成方程组，通过消元得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，由方程组的解得交点坐标．(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线，根据图形判断公共点的个数．(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k的直线l与椭圆C：x24＋y23＝1交于A，B两点．线段AB的中点为M(1，m)(m0)．(1)证明：k－12；(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且FP→＋FA→＋FB→＝0.证明：|FA→|，|FP→|，|FB→|成等差数列，并求该数列的公差．解(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x214＋y213＝1，x224＋y223＝1.两式相减，并由y1－y2x1－x2＝k，得x1＋x24＋y1＋y23·k＝0.由题设，知x1＋x22＝1，y1＋y22＝m，于是k＝－34m.①由点M(1，m)在椭圆C内，得m1－14×3＝32，且m0，即0m32，故k－12.(2)由题意，得F(1,0)．设P(x3，y3)，则由(1)及题设，得(x3－1，y3)＋(x1－1，y1)＋(x2－1，y2)＝(0,0)，x3＝3－(x1＋x2)＝1，y3＝－(y1＋y2)＝－2m0.又点P在C上，所以m＝34，从而P1，－32，|FP→|＝32.于是|FA→|＝x1－12＋y21＝x1－12＋31－x214＝2－x12.同理|FB→|＝2－x22.所以|FA→|＋|FB→|＝4－12(x1＋x2)＝3.故2|FP→|＝|FA→|＋|FB→|，即|FA→|，|FP→|，|FB→|成等差数列．设该数列的公差为d，则2|d|＝||FB→|－|FA→||＝12|x1－x2|＝12x1＋x22－4x1x2.②将m＝34代入①，得k＝－1.所以直线l的方程为y＝－x＋74，代入C的方程，并整理，得7x2－14x＋14＝0.故x1＋x2＝2，x1x2＝128，代入②解得|d|＝32128.所以该数列的公差为32128或－32128.解决直线与圆锥曲线位置关系问题的解题步骤：(1)设直线方程及交点坐标(直线方程设为点斜式时，要注意对直线斜率是否存在进行分类讨论；设成x＝my＋n的形式时，要注意对直线是否能与x轴平行进行分类讨论)；(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得一元方程(要注意二次项系数是否为零)；(3)应用根与系数的关系及判别式；(4)结合已知条件和图形分析，利用中点坐标公式、斜率公式、弦长公式及三角形面积公式等进行求解．(2019·全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；(2)若AP→＝3PB→，求|AB|.解设直线l：y＝32x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)由题设得F34，0，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋32.又|AF|＋|BF|＝4，所以x1＋x2＝52.由y＝32x＋t，y2＝3x可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，则x1＋x2＝－12t－19.从而－12t－19＝52，得t＝－78.所以l的方程为y＝32x－78.(2)由AP→＝3PB→可得y1＝－3y2.由y＝32x＋t，y2＝3x可得y2－2y＋2t＝0，所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.代入C的方程得x1＝3，x2＝13，即A(3,3)，B13，－1.故|AB|＝4133.2专题作业PARTTWO1．(2017·天津高考)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，离心率为12.已知A是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，F到抛物线的准线l的距离为12.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；(2)设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B(点B异于点A)，直线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为62，求直线AP的方程．解(1)设点F的坐标为(－c,0)．依题意，得ca＝12，p2＝a，a－c＝12，解得a＝1，c＝12，p＝2，进而得b2＝a2－c2＝34.所以椭圆的方程为x2＋4y23＝1，抛物线的方程为y2＝4x.(2)设直线AP的方程为x＝my＋1(m≠0)，与直线l的方程x＝－1联立，可得点P的坐标为－1，－2m，故点Q的坐标为－1，2m.将x＝my＋1与x2＋4y23＝1联立，消去x，整理，得(3m2＋4)y2＋6my＝0，解得y＝0或y＝－6m3m2＋4.由点B异于点A，可得点B的坐标为－3m2＋43m2＋4，－6m3m2＋4.由点Q的坐标为－1，2m，可得直线BQ的方程为－6m3m2＋4－2m(x＋1)－－3m2＋43m2＋4＋1y－2m＝0，令y＝0，解得x＝2－3m23m2＋2，故点D的坐标为2－3m23m2＋2，0.所以|AD|＝1－2－3m23m2＋2＝6m23m2＋2.又因为△APD的面积为62，所以12·6m23m2＋2·2|m|＝62，整理，得3m2－26|m|＋2＝0，解得|m|＝63，所以m＝±63.所以直线AP的方程为3x＋6y－3＝0或3x－6y－3＝0.2．(2019·北京高考)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点为(1,0)，且经过点A(0,1)．(1)求椭圆C的方程；(2)设O为原点，直线l：y＝kx＋t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N.若|OM|·|ON|＝2，求证：直线l经过定点．解(1)由题意，得b2＝1，c＝1，所以a2＝b2＋c2＝2.所以椭圆C的方程为x22＋y2＝1.(2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则直线AP的方程为y＝y1－1x1x＋1.令y＝0，得点M的横坐标xM＝－x1y1－1.又y1＝kx1＋t，从而|OM|＝|xM|＝x1kx1＋t－1.同理，|ON|＝x2kx2＋t－1.由y＝kx＋t，x22＋y2＝1，得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0，则x1＋x2＝－4kt1＋2k2，x1x2＝2t2－21＋2k2.所以|OM|·|ON|＝x1kx1＋t－1·x2kx2＋t－1＝x1x2k2x1x2＋kt－1x1＋x2＋t－12＝2t2－21＋2k2k2·2t2－21＋2k2＋kt－1·－4kt1＋2k2＋t－12＝21＋t1－t.又|OM|·|ON|＝2，所以21＋t1－t＝2.解得t＝0，所以直线l经过定点(0,0)．3．(2019·唐山市高三一模)已知椭圆Γ：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点为F，上顶点为A，长轴长为26，B为直线l：x＝－3上的动点，M(m,0)，AM⊥BM.当AB⊥l时，M与F重合．(1)求椭圆Γ的方程；(2)若直线BM交椭圆Γ于P，Q两点，若AP⊥AQ，求m的值．解(1)依题意，得A(0，b)，F(－c,0)，a＝6，当AB⊥l时，B(－3，b)，由AF⊥BF，得kAF·kBF＝bc·b－3＋c＝－1，又b2＋c2＝6.解得c＝2，b＝2.所以，椭圆Γ的方程为x26＋y22＝1.(2)由(1)，得A(0，2)，依题意，显然m≠0，所以kAM＝－2m，又AM⊥BM，所以kBM＝m2，所以直线BM的方程为y＝m2(x－m)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．将y＝m2(x－m)与x26＋y22＝1联立，得(2＋3m2)x2－6m3x＋3m4－12＝0，所以x1＋x2＝6m32＋3m2，x1x2＝3m4－122＋3m2.|PM|·|QM|＝1＋m22|(x1－m)(x2－m)|＝1＋m22·|x1x2－m(x1＋x2)＋m2|＝1＋m22·|2m2－12|2＋3m2＝2＋m2|m2－6|2＋3m2，|AM|2＝2＋m2，由AP⊥AQ，得|AM|2＝|PM|·|QM|，所以|m2－6|2＋3m2＝1，解得m＝±1.4．(2019·四川诊断)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点F(－2,0)，上顶点B(0,2)．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线y＝x＋m与椭圆C交于不同两点M，N，且线段MN的中点G在圆x2＋y2＝1上，求m的值．解(1)由题意可得c＝2，b＝2，由a2＝b2＋c2得a2＝22＋22＝8，故椭圆C的方程为x28＋y24＝1.(2)设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段MN的中点G(x0，y0)，由y＝x＋m，x28＋y24＝1，消去y得3x2＋4mx＋2m2－8＝0，则Δ＝96－8m20，所以－23m23，因为x1＋x2＝－4m3，则x0＝x1＋x22＝－2m3，y0＝x0＋m＝m3，又因为点G(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，所以－23m2＋13m2＝1，解得m＝±355，满足－23m23，所以m的值为±355.本课结束