2020版新教材高中数学 第三章 函数 3.1.1.2 函数概念的综合应用课件 新人教B版必修1

第2课时函数概念的综合应用1.同一个函数前提条件定义域相同对应关系也相同结论这两个函数相同【思考】函数有定义域、对应关系和值域三要素，为什么判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系？提示：由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值域，所以判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系即可.2.常见函数的定义域和值域函数一次函数反比例函数二次函数a0a0对应关系y=ax+b(a≠0)(k≠0)y=ax2+bx+c(a≠0)y=ax2+bx+c(a≠0)kyx函数一次函数反比例函数二次函数a0a0定义域R{x|x≠0}RR值域R{y|y≠0}2{y|y4acb}4a2{y|y4acb}4a【思考】求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值域时为什么分a0和a0两种情况？提示：当a0时，二次函数的图像是开口向上的抛物线，观察图像得值域为当a0时，二次函数的图像是开口向下的抛物线，观察图像得值域为24acb{y|y}.4a24acb{y|y}.4a【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)若两个函数的定义域与值域都相同，则这两个函数是同一个函数.()(2)函数f(x)=x2-x与g(t)=t2-t不是同一个函数.()(3)函数f(x)=+1的值域是(-∞，1)∪(1，+∞).()1x提示：(1)×.例如f(x)=与g(x)=的定义域与值域相同，但这两个函数不是同一个函数.(2)×.函数f(x)=x2-x与g(t)=t2-t的定义域都是R，对应关系完全一致，所以这两个函数是同一个函数.(3)√.因为≠0，所以+1≠1.3x5x1x1x2.若函数y=x2-3x的定义域为{-1，0，2，3}，则其值域为()A.{-2，0，4}B.{-2，0，2，4}C.D.[0，3]9(,]4【解析】选A.依题意，当x=-1时，y=4；当x=0时，y=0；当x=2时，y=-2；当x=3时，y=0.所以函数y=x2-3x的值域为{-2，0，4}.3.设函数f(x)=2x+3的值域是[-1，5]，则其定义域为_______.【解析】由-1≤2x+3≤5，解得-2≤x≤1，即函数定义域为[-2，1].答案：[-2，1]类型一判断两个函数是否是同一个函数【典例】1.若函数f(x)=()2与g(x)=x(x∈D)是同一个函数，则D可以是()A.(-∞，0)B.(0，+∞)C.[0，+∞)D.(-∞，0]x2.判断下列各组中的两个函数是同一个函数的为()世纪金榜导学号(1)y1=y2=x-5.(2)y1=(x3)(x5),x32x1x1,y(x1)(x1).(3)f(x)=x，g(x)=(4)f(x)=F(x)=A.(1)、(2)B.(2)、(3)C.(4)D.(3)2x.343xx,x3x1.【思维·引】1.根据相等函数的定义域相同求D.2.先求定义域，若定义域不同，则不相等；若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同.【解析】1.选C.函数f(x)的定义域为[0，+∞)，即D=[0，+∞).2.选C.对于(1)，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数；对于(2)，两个函数的定义域不同，如当x=-1时函数y1=无意义，但y2=有意义，所以不是同一个函数；对于(3)，g(x)==|x|，两个函数的对应关系不同，所以不是同一个函数；x1x1(x1)(x1)2x对于(4)，f(x)=所以两个函数定义域相同，对应关系相同，是同一个函数.343333xxx(x1)xx1,【内化·悟】判断两个函数是否是同一个函数的步骤是什么？提示：先分别求出两个函数的定义域，若定义域相同则考查解析式是否相同.【类题·通】判断函数是同一函数的三个步骤和两个注意点(1)判断函数是否是同一函数的三个步骤.(2)两个注意点.①在化简解析式时，必须是等价变形；②与用哪个字母表示解析式无关.【习练·破】下列各组函数中表示同一个函数的是()A.y=与y=x+3B.y=与y=x-12x9x3－－2x1－C.y=x0(x≠0)与y=1(x≠0)D.y=2x+1，x∈Z与y=2x-1，x∈Z【解析】选C.选项A中两函数的定义域不同；选项B，D中两函数的对应关系不同.【加练·固】判断下列各组函数是否是同一个函数，并说明理由.(1)f(x)=2x+1(x∈R)，g(x)=2x+1(x∈N*).(2)f(x)=x2，g(x)=(3)y=y=x-1.2xx.2x2x1－，【解析】(1)对应关系一致，但定义域不同，因而不是同一个函数.(2)定义域相同，但对应关系不一致，因而不是同一个函数.(3)y==|x-1|，与函数y=x-1的对应关系不一致，所以两个函数不是同一个函数.2x2x1－类型二利用函数的解析式求值(式)【典例】已知f(x)=g(x)=x2+2.(1)求f(2)，g(2)，f(g(2))；(2)求f(g(x)).1x1，【思维·引】(1)将x分别替换成2求出f(2)，g(2)，再求f(g(2)).(2)将x替换成代入化简.1x1【解析】(1)f(2)=g(2)=22+2=6，把g(2)=22+2=6代入f(x)=得f(g(2))=f(6)=(2)f(g(x))=f(x2+2)=11213，1x1，11.61721x3．【内化·悟】函数f(x)中的x只能是数字吗？提示：可以是数字，也可以是字母、式子.【类题·通】利用函数的解析式求值函数解析式中的x可以是数字、字母、式子，只要将数字、字母、式子整体代入，即可化简求值，代入遵循从里向外的代入顺序.【习练·破】设f(x)=其中x≠0，且x≠1.则f(f(x))=______.11x，【解析】由f(x)=则f(f(x))=答案：1.1x1f()1x111x111x1xx11x1xx1．x1x【加练·固】设函数f(x)=3x2-1，则f(a)-f(-a)的值是()A.0B.3a2-1C.6a2-2D.6a2【解析】选A.f(a)-f(-a)=3a2-1-[3(-a)2-1]=0.类型三求函数的值域角度1利用不等式的性质求值域【典例】1.已知函数f(x)=则f(x)的值域是()21x2，11A.(,]B[,)221C(0,]D(0)2．．．，2.求函数f(x)=的值域.世纪金榜导学号5x4x1＋－【思维·引】1.利用不等式的性质推导的范围或变形后利用方程有解求值域.2.对解析式变形后利用不等式的性质求值域.21x2【解析】1.选C.方法一：因为x2+2≥2，所以所以f(x)的值域为210x212，1(0,]2．方法二：设t是所求值域中的元素，则关于x的方程应该有解，即x2=-2应该有解，所以-2≥0，即解得0t≤所以所求值域为(0，].21tx21t1t12t0,t1,2122.函数f(x)=的定义域为{x|x≠1}，因为f(x)=5x4x1＋－5x45(x1)995x1x1x1＋，－因为x≠1，所以≠0，所以f(x)≠5，所以函数f(x)=的值域为(-∞，5)∪(5，+∞).9x15x4x1＋－【素养·探】利用不等式求值域时，常常用到核心素养中的数学运算，利用解析式的变形，推导解析式的范围.将本例2中的函数变为f(x)=试求值域.x12x1，【解析】f(x)=的定义域为因为f(x)=所以f(x)≠所以函数的值域为x12x11{x|x}2，x112x212x132x122x122x113,22(2x1)1,211(,)(,).22角度2配方法求值域【典例】求下列函数的值域世纪金榜导学号(1)f(x)=x2-2x+2.(2)f(x)=xx1.－＋【思维·引】(1)先配方再求值域.(2)先换元，再配方求值域.【解析】(1)函数的定义域为R，因为f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1，所以函数的值域为[1，+∞).(2)因为函数有意义当且仅当x+1≥0，即x≥-1，故函数的定义域是[-1，+∞).设t=则x=t2-1(t≥0)，x1＋，于是g(t)=又因为t≥0，故g(t)≥所以函数的值域是2215t1t(t).24－－－5.4－5[,).4【类题·通】求函数值域的常用方法(1)利用不等式的性质：结合定义域，利用x的变形，推导解析式的范围.(2)利用方程有解：设值域内的元素t，用t表示x，根据x的范围求t的范围，即值域.(3)配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法.(4)换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域.对于f(x)=ax+b+(其中a，b，c，d为常数，且ac≠0)型的函数常用换元法.cxd(5)分离常数法：此方法主要是针对分子分母同次的分式，即将分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域.【发散·拓】对于形如y=的函数，还可以把已知函数转化为关于变量的二次方程，再利用方程有解，即判别式非负.从而求得原函数值域的方法叫判别式法.22axbxcdxexf【延伸·练】试用此法求函数y=的值域.2xx1【解析】易知函数的定义域是R，由y=得yx2-x+y=0，当y=0时，x=0，所以y可以为0；2xx1当y≠0时，Δ=1-4y2≥0，所以综上可得，所求函数的值域为11y(y0)22，11[,].22【习练·破】(2019·天津高一检测)求下列函数的值域.(1)f(x)=(2)y=21.xx1x41x.【解析】(1)f(x)=的定义域为R，x2+x+1=所以所以f(x)=的值域为21xx12133(x)244，214(0,]xx13，21xx14(0,].3(2)令t=(t≥0)，则x=1-t2，换元可得函数的解析式：g(t)=1-t2+4t=-(t-2)2+5，又因为t≥0，故g(t)≤5，.所以函数的值域是(-∞，5].1x【加练·固】求下列函数的值域.(1)y=(2)y=(3)y=3x2-x+2.24x.5x1.4x2【解析】(1)方法一：由x2≥0及4-x2≥0，观察得∈[0，2]，故此函数的值域为[0，2].24x方法二：由x2≥0得-x2≤0，得4-x2≤4，所以0≤≤2，故此函数的值域为[0，2].24x(2)y=因为所以y≠所以函数的值域为510(4x2)15x1444x24x2514(4x2)5744.4x242(4x2)702(4x2)，5.455(,)(,).44(3)函数y=值域为22123233xx23(x)61212－＋＝－，23[).12，